Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) - Contribuciones del usuario [es]

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T19:35:54Z

Rosa F R: /* Ejercicios */

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T19:04:33Z

Rosa F R: /* Ejercicios */

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T19:03:14Z

Rosa F R: /* Solución */

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T19:02:57Z

Rosa F R: /* Ejercicio 3 */

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T19:02:35Z

Rosa F R: /* Ejercicios */

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T19:01:38Z

Rosa F R: /* Solución */

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T19:01:04Z

Rosa F R: /* Ejercicio 3 */

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T19:00:38Z

Rosa F R: /* Solución */

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T19:00:17Z

Rosa F R: /* Ejercicio 3 */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
* [[Ejercicio 1 de Selectividad]].
* [[Ejercicio 2 de Selectividad]].
* [[Ejercicio 3 de Selectividad]].

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>
=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>
=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T18:59:53Z

Rosa F R: /* Solución */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
* [[Ejercicio 1 de Selectividad]].
* [[Ejercicio 2 de Selectividad]].
* [[Ejercicio 3 de Selectividad]].

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>
=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>
=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T18:59:37Z

Rosa F R: /* Enunciado */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
* [[Ejercicio 1 de Selectividad]].
* [[Ejercicio 2 de Selectividad]].
* [[Ejercicio 3 de Selectividad]].

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>
=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>
=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T18:51:13Z

Rosa F R: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
* [[Ejercicio 1 de Selectividad]].
* [[Ejercicio 2 de Selectividad]].
* [[Ejercicio 3 de Selectividad]].

=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>
=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>
=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>

Ejercicios de selectividad

2010-05-13T18:46:01Z

Rosa F R:

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
* [[Ejercicio 1 de Selectividad]].
* [[Ejercicio 2 de Selectividad]].

=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>
=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>
=== Enunciado===

Halla, en función de a, el valor del determinante:

:<math>\left|
\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}
\right|
</math>

=== Solución===

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$
(%i2) determinant(A)$
(%i3) ratsimp(%);

:(%o3) <math>a^4-6*a^3+12*a^2-8*a</math>

== Ejercicio 3 ==
=== Enunciado===
Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
: <math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

: <math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

=== Apartado a===
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

=== Solución===

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.
(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$
En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):
(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2) 0.32732683535399

=== Apartado b ===
Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>

2010 Ejercicios 5: Programación

2010-05-08T15:36:00Z

Rosa F R: /* Ejercicio 2.2. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

== Solución ==

(%i1)tangente(f,a):=
(define(D(x),diff(f(x),x)),
y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$
(%i2) f(x):=x^3$
(%i3) tangente(f,2);
(%o3) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

== Solución ==

(%i1) f(x):=log(tan(abs(x)))$
(%i2) tangente(f,-%pi/12);
(%o2) y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

== Solución ==

(%i1)signosTrinomio(a,b,c):=block([S,td,td2],
S:realroots(a*x^2+b*x+c),
if length(S)=0 then
if a>0 then "[[-inf,+inf],+]"
else "[[-inf,+inf],-]"
elseif length(S)=1 then
(td:rhs(first(S)),
if a>0 then
[[["-inf",td],"+"],[td,0],[[td,"+inf"],"+"]]
else
[[["-inf",td],"-"],[td,0],[[td,"+inf"],"-"]])
else
(td:rhs(first(S)),
td2:rhs(second(S)),
if a>0 then [[["-inf",td],"+"],[td,0],[[td,td2],"-"],[td2,0],[[td2,"+inf"],"+"]]
else [[["-inf",td],"-"],[td,0],[[td,td2],"+"],[td2,0],[[td2,"+inf"],"-"]]))$

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Solución ==

(%i1) float(signosTrinomio(-6,-3,14/3));
(%o1) [[[-inf,-1.166666656732559],-],[-1.166666656732559,0.0],[[-1.166666656732559,0.66666665673256],+],[
0.66666665673256,0.0],[[0.66666665673256,+inf],-]]

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

(%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
first(reverse(lista)))$

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

(%i2)goldbach(2010);
(%02)[7,2003]

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if member([n-k,k],lista) then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

%Otra forma
(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

(%i1)goldbachTodas(2010);
(%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
[59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
[137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
[227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
[311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
[389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
[457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
[523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
[643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
[751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
[829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
[919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]

2010 Ejercicios 5: Programación

2010-05-08T15:33:59Z

Rosa F R: /* Solución */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

== Solución ==

(%i1)tangente(f,a):=
(define(D(x),diff(f(x),x)),
y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$
(%i2) f(x):=x^3$
(%i3) tangente(f,2);
(%o3) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

== Solución ==

(%i1) f(x):=log(tan(abs(x)))$
(%i2) tangente(f,-%pi/12);
(%o2) y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

== Solución ==

(%i1)signosTrinomio(a,b,c):=block([S,td,td2],
S:realroots(a*x^2+b*x+c),
if length(S)=0 then
if a>0 then "[[-inf,+inf],+]"
else "[[-inf,+inf],-]"
elseif length(S)=1 then
(td:rhs(first(S)),
if a>0 then
[[["-inf",td],"+"],[td,0],[[td,"+inf"],"+"]]
else
[[["-inf",td],"-"],[td,0],[[td,"+inf"],"-"]])
else
(td:rhs(first(S)),
td2:rhs(second(S)),
if a>0 then [[["-inf",td],"+"],[td,0],[[td,td2],"-"],[td2,0],[[td2,"+inf"],"+"]]
else [[["-inf",td],"-"],[td,0],[[td,td2],"+"],[td2,0],[[td2,"+inf"],"-"]]))$

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

(%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
first(reverse(lista)))$

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

(%i2)goldbach(2010);
(%02)[7,2003]

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if member([n-k,k],lista) then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

%Otra forma
(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

(%i1)goldbachTodas(2010);
(%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
[59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
[137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
[227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
[311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
[389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
[457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
[523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
[643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
[751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
[829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
[919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]

2010 Ejercicios 5: Programación

2010-05-08T15:25:34Z

Rosa F R: /* Solución */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

== Solución ==

(%i1)tangente(f,a):=
(define(D(x),diff(f(x),x)),
y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$
(%i2) f(x):=x^3$
(%i3) tangente(f,2);
(%o3) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

== Solución ==

(%i1) f(x):=log(tan(abs(x)))$
(%i2) tangente(f,-%pi/12);
(%o2) y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

== Solución ==

(%i1) signosTrinomio(a,b,c):=block([S,td,td2],
S:realroots(a*x^2+b*x+c),
if length(S)=0 then
if a>0 then print("[[-inf,+inf],+]")
else print("[[-inf,+inf],-]")
elseif length(S)=1 then
(td:rhs(first(S)),
if a>0 then
print([[["-inf",td],"+"],[td,0],[[td,"+inf"],"+"]])
else
print([[["-inf",td],"-"],[td,0],[[td,"+inf"],"-"]]))
else
(td:rhs(first(S)),
td2:rhs(second(S)),
if a>0 then print([[["-inf",td],"+"],[td,0],[[td,td2],"-"],[td2,0],[[td2,"+inf"],"+"]])
else print([[["-inf",td],"-"],[td,0],[[td,td2],"+"],[td2,0],[[td2,"+inf"],"-"]])))$

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

(%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
first(reverse(lista)))$

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

(%i2)goldbach(2010);
(%02)[7,2003]

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if member([n-k,k],lista) then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

%Otra forma
(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

(%i1)goldbachTodas(2010);
(%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
[59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
[137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
[227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
[311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
[389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
[457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
[523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
[643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
[751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
[829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
[919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]

2010 Ejercicios 5: Programación

2010-05-08T15:25:03Z

Rosa F R: /* Ejercicio 2.1. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

== Solución ==

(%i1)tangente(f,a):=
(define(D(x),diff(f(x),x)),
y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$
(%i2) f(x):=x^3$
(%i3) tangente(f,2);
(%o3) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

== Solución ==

(%i1) f(x):=log(tan(abs(x)))$
(%i2) tangente(f,-%pi/12);
(%o2) y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

== Solución ==

(%i1) signosTrinomio(a,b,c):=block([S,td,td2],
S:realroots(a*x^2+b*x+c),
if length(S)=0 then
if a>0 then print("[[-inf,+inf],+]")
else print("[[-inf,+inf],-]")
elseif length(S)=1 then
(td:rhs(first(S)),
if a>0 then
print([[["-inf",td],"+"],[td,0],[[td,"+inf"],"+"]])
else
print([[["-inf",td],"-"],[td,0],[[td,"+inf"],"-"]]))
else
(td:rhs(first(S)),
td2:rhs(second(S)),
if a>0 then print([[["-inf",td],"+"],[td,0],[[td,td2],"-"],[td2,0],[[td2,"+inf"],"+"]])
else print([[["-inf",td],"-"],[td,0],[[td,td2],"+"],[td2,0],[[td2,"+inf"],"-"]])))$

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

(%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
first(reverse(lista)))$

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

(%i2)goldbach(2010);
(%02)[7,2003]

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if member([n-k,k],lista) then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

%Otra forma
(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

(%i1)goldbachTodas(2010);
(%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
[59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
[137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
[227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
[311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
[389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
[457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
[523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
[643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
[751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
[829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
[919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]

2010 Ejercicios 5: Programación

2010-05-08T15:21:45Z

Rosa F R: /* Solución */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

== Solución ==

(%i1)tangente(f,a):=
(define(D(x),diff(f(x),x)),
y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$
(%i2) f(x):=x^3$
(%i3) tangente(f,2);
(%o3) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

== Solución ==

(%i1) f(x):=log(tan(abs(x)))$
(%i2) tangente(f,-%pi/12);
(%o2) y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

(%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
first(reverse(lista)))$

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

(%i2)goldbach(2010);
(%02)[7,2003]

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if member([n-k,k],lista) then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

%Otra forma
(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

(%i1)goldbachTodas(2010);
(%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
[59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
[137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
[227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
[311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
[389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
[457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
[523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
[643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
[751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
[829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
[919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]

2010 Ejercicios 5: Programación

2010-05-08T15:20:40Z

Rosa F R: /* Ejercicio 2.1. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

== Solución ==

(%i1)tangente(f,a):=
(define(D(x),diff(f(x),x)),
y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$
(%i2) f(x):=x^3$
(%i3) tangente(f,2);
(%o3) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

== Solución ==

(%i1) f(x):=log(tan(abs(x)))$
(%i2) tangente(f,-%pi/12);
(%o2) y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

== Solución ==

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

(%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
first(reverse(lista)))$

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

(%i2)goldbach(2010);
(%02)[7,2003]

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if member([n-k,k],lista) then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

%Otra forma
(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

(%i1)goldbachTodas(2010);
(%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
[59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
[137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
[227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
[311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
[389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
[457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
[523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
[643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
[751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
[829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
[919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]

2010 Ejercicios 5: Programación

2010-05-08T12:21:00Z

Rosa F R: /* Ejercicio 1.2. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

== Solución ==

(%i1)tangente(f,a):=
(define(D(x),diff(f(x),x)),
y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$
(%i2) f(x):=x^3$
(%i3) tangente(f,2);
(%o3) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

== Solución ==

(%i1) f(x):=log(tan(abs(x)))$
(%i2) tangente(f,-%pi/12);
(%o2) y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

(%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
first(reverse(lista)))$

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

(%i2)goldbach(2010);
(%02)[7,2003]

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if member([n-k,k],lista) then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

%Otra forma
(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

(%i1)goldbachTodas(2010);
(%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
[59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
[137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
[227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
[311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
[389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
[457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
[523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
[643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
[751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
[829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
[919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]

2010 Ejercicios 5: Programación

2010-05-08T12:20:19Z

Rosa F R: /* Solución */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

== Solución ==

(%i1)tangente(f,a):=
(define(D(x),diff(f(x),x)),
y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$
(%i2) f(x):=x^3$
(%i3) tangente(f,2);
(%o3) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

(%i1) f(x):=log(tan(abs(x)))$
(%i2) tangente(f,-%pi/12);
(%o2) y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

(%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
first(reverse(lista)))$

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

(%i2)goldbach(2010);
(%02)[7,2003]

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if member([n-k,k],lista) then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

%Otra forma
(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

(%i1)goldbachTodas(2010);
(%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
[59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
[137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
[227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
[311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
[389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
[457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
[523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
[643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
[751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
[829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
[919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]

2010 Ejercicios 5: Programación

2010-05-08T12:19:24Z

Rosa F R: /* Ejercicio 1.2. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

== Solución ==

(%i1)tangente(f,a):=
(define(D(x),diff(f(x),x)),
y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$

(%i2) f(x):=x^3$

(%i3) tangente(f,2);

(%o3) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

(%i1) f(x):=log(tan(abs(x)))$
(%i2) tangente(f,-%pi/12);
(%o2) y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

(%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
first(reverse(lista)))$

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

(%i2)goldbach(2010);
(%02)[7,2003]

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if member([n-k,k],lista) then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

%Otra forma
(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

(%i1)goldbachTodas(2010);
(%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
[59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
[137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
[227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
[311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
[389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
[457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
[523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
[643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
[751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
[829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
[919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]

2010 Ejercicios 5: Programación

2010-05-08T12:18:51Z

Rosa F R: /* Ejercicio 1.2. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

== Solución ==

(%i1)tangente(f,a):=
(define(D(x),diff(f(x),x)),
y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$

(%i2) f(x):=x^3$

(%i3) tangente(f,2);

(%o3) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

(%i1) f(x):=log(tan(abs(x)))$
(%i2) tangente(f,-%pi/12);
(%o2) y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

(%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
first(reverse(lista)))$

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

(%i2)goldbach(2010);
(%02)[7,2003]

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if member([n-k,k],lista) then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

%Otra forma
(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

(%i1)goldbachTodas(2010);
(%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
[59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
[137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
[227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
[311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
[389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
[457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
[523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
[643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
[751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
[829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
[919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]

2010 Ejercicios 5: Programación

2010-05-08T12:13:13Z

Rosa F R: /* Ejercicio 1.1. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

== Solución ==

(%i1)tangente(f,a):=
(define(D(x),diff(f(x),x)),
y=ratsimp(f(a)+D(a)*(x-a)))$

(%i2) f(x):=x^3$

(%i3) tangente(f,2);

(%o3) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

(%i1)goldbach(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
first(reverse(lista)))$

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

(%i2)goldbach(2010);
(%02)[7,2003]

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if member([n-k,k],lista) then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

%Otra forma
(%i1)goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 2 thru n do
(if primep(k) and primep(n-k) then
(if k>=n-k then lista
else lista : cons([k,n-k],lista))),
reverse(lista))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

(%i1)goldbachTodas(2010);
(%01)[[7,2003],[11,1999],[13,1997],[17,1993],[23,1987],[31,1979],[37,1973],
[59,1951],[61,1949],[79,1931],[97,1913],[103,1907],[109,1901],[131,1879],
[137,1873],[139,1871],[149,1861],[163,1847],[179,1831],[199,1811],[223,1787],
[227,1783],[233,1777],[251,1759],[257,1753],[263,1747],[269,1741],[277,1733],
[311,1699],[313,1697],[317,1693],[347,1663],[353,1657],[373,1637],[383,1627],
[389,1621],[397,1613],[401,1609],[409,1601],[431,1579],[439,1571],[443,1567],
[457,1553],[461,1549],[467,1543],[479,1531],[487,1523],[499,1511],[521,1489],
[523,1487],[557,1453],[563,1447],[571,1439],[577,1433],[587,1423],[601,1409],
[643,1367],[683,1327],[691,1319],[709,1301],[719,1291],[727,1283],[733,1277],
[751,1259],[761,1249],[773,1237],[787,1223],[797,1213],[809,1201],[823,1187],
[829,1181],[839,1171],[857,1153],[859,1151],[881,1129],[887,1123],[907,1103],
[919,1091],[941,1069],[947,1063],[971,1039],[977,1033],[991,1019],[997,1013]]

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T11:42:12Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%o3) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.

(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es (2,-3,1):

(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2) 0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T11:41:15Z

Rosa F R: /* Apartado b */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%o3) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.

(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2) 0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T11:40:49Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%o3) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.

(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2) 0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.

Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos P. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

<math>s=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -1 & + & 2a \\
y= & & - & 3a \\
z= & & & a
\end{array}\right.</math>

(%i1) solve(2*(-1+2*a)-3*(-3*a)+a+1=0,a);
(%o1) [a=1/14]
(%i2) a:1/14$
(%i3) P:[-1+2*a,-3*a,a];
(%o3) [-6/7,-3/14,1/14]

Calculamos ahora la proyección de B=(-2,-1,2)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math> y la llamaremos Q. La recta que pasa por B y es perpendicular al plano es:

<math>t=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & -2 & + & 2b \\
y= & -1 & - & 3b \\
z= & 2 & + & b
\end{array}\right.</math>

(%i4) solve(2*(-2+2*b)-3*(-1-3*b)+2+b+1=0,b);
(%o4) [b=-1/7]
(%i5) b:-1/7$
(%i6) Q:[-2+2*b,-1-3*b,2+b];
(%o6) [-16/7,-4/7,13/7]

El vector director de la recta proyección r' sería:

(%i7) PQ: [first(Q)-first(P),second(Q)-second(P),last(Q)-last(P)];
(%o7) [-10/7,-5/14,25/14]

Por tanto la recta r' es:

<math>r'=\left\{\begin{array}{cccc}
x= & \displaystyle\frac{-6}{7} & + & \displaystyle\frac{-10}{7}u \\
y= & \displaystyle\frac{-3}{14} & + & \displaystyle\frac{-5}{14}u \\
z= & \displaystyle\frac{1}{14} & + & \displaystyle\frac{25}{14}u
\end{array}\right.</math>

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:55:20Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%o3) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.

(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2) 0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math>. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

(%i1)A:(-1,0,0)$
(%i2)n:(2,-3,1)$
(%i3)solve(2*(-1+2*a)-3*(3*a)+a-1=0,a);
(%o3)[a=-3/4]
(%i4)a:-3/4$
(%i5)P:[1+2*a,-3*a,a];
(%o5)[-1/2,9/4,-3/4]

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:54:58Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.

(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2) 0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Para calcular la recta r', proyección ortogonal de r sobre <math>\displaystyle\pi</math>, basta tomar dos puntos de la recta r y calcular sus proyecciones sobre <math>\displaystyle\pi</math>.
Calculamos la proyección de A=(-1,0,0)<math>\in</math>r sobre <math>\displaystyle\pi</math>. La recta que pasa por A y es perpendicular al plano es:

(%i1)A:(-1,0,0)$
(%i2)n:(2,-3,1)$
(%i3)solve(2*(-1+2*a)-3*(3*a)+a-1=0,a);
(%o3)[a=-3/4]
(%i4)a:-3/4$
(%i5)P:[1+2*a,-3*a,a];
(%o5)[-1/2,9/4,-3/4]

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:40:11Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.

(%i1) senoangulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2) senoangulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2) 0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:39:35Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano cualesquiera, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.

(%i1) angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2) angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2) 0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:38:51Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano. Es decir:

(%i1) angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2) angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2) 0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:36:45Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano. Es decir:

(%i1) angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2) angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2) 0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:36:07Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano. Es decir:

(%i1) angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2) angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2) 0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:35:02Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.Es decir:

(%i1) angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2)angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2)0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:33:25Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir del vector director de la recta y del vector normal del plano.Es decir:

(%i1) angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2)angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2)0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:30:28Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir
del vector director de la recta y del vector normal del plano.Es decir:

(%i1) angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2)angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2)0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:28:22Z

Rosa F R: /* Apartado b */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir
del vector director de la recta y del vector normal del plano.Es decir:

(%i1)angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],

prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),

modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),

modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),

float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2)angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2)0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:27:40Z

Rosa F R: /* Apartado a) */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir
del vector director de la recta y del vector normal del plano.Es decir:

(%i1)angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],

prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),

modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),

modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),

float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2)angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);

(%o2)0.32732683535399

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir
del vector director de la recta y del vector normal del plano.Es decir:

(%i1)angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2)angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2)0.32732683535399

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:26:37Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a)==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Apartado b==

Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir
del vector director de la recta y del vector normal del plano.Es decir:

(%i1)angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2)angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2)0.32732683535399

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:25:43Z

Rosa F R: /* Enunciado */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

== Apartado a)==
Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

b) Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir
del vector director de la recta y del vector normal del plano.Es decir:

(%i1)angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2)angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2)0.32732683535399

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:23:00Z

Rosa F R: /* Solución */

En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Enunciado==

Se consideran las matrices A y B (dadas a continuación), donde t es un número real.

a) Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?
(X,C dadas a continuación).

(%i1) A: matrix(
[1,2,t],
[1,-1,-1]
);

(%o1) matrix([1,2,t],[1,-1,-1])
(%i2) B: matrix(
[1,3],
[t,0],
[0,2]
);

(%o2) matrix([1,3],[t,0],[0,2])

(%i3) X: matrix(
[x],
[y],
[z]
);
(%o3) matrix([x],[y],[z])

(%i4) C: matrix(
[a],
[b]
);
(%o4) matrix([a],[b])

== Solución==

a)Encontrar los valores de t para los que AB es invertible.

Para que una matriz sea invertible su derteminante tiene que ser distinto
de 0.
A continuación calcularemos el producto AB.

(%i5) A.B;

(%o5) matrix([2*t+1,2*t+3],[1-t,1])

(%i6) determinant(%);

(%o6) -(1-t)*(2*t+3)+2*t+1

(%i7)ratsimp(%);

(%o7) 2*t^2+3*t-2

Para los valores de t que se anule el determinate de AB, la matriz no será
invertible.

(%i8) solve([2*t^2+3*t-2], [t]);

(%o8) [t=-2,t=1/2]

Luego si t es distinto de -2 o 1/2 la matriz es ivertible.

b) Encontrar los valores de t para los que BA es invertible.

(%i9) B.A;

(%o9) matrix([4,-1,t-3],[t,2*t,t^2],[2,-2,-2])

(%i10) determinant(%);

(%o10) 4*(2*t^2-4*t)-2*t^2-6*(t-3)*t-2*t

(%i11) ratsimp(%);

(%o11) 0

La matriz BA no es invertible pues el determinante se anula para todo valor de t.
c) Dados a y b, números reales cualesquiera ¿Puede ser el AX=C compatible determinado?.

Para que el sistema sea compatible el rango de A debe ser 3, igual al número de
incógnitas, lo que es claramente imposible pues A es una matriz de 2x3 y por lo
tanto su rango no puede ser mayor que 2.

== Enunciado==

* [[Ejercicio 2: Halla, en función de a, el valor del determinante:
<math>\left|\begin{array}{cccc}
a & a & a & a \\
2 & a & a & a \\
3 & 2 & a & a \\
4 & 3 & 2 & a
\end{array}\right|</math> ]]

== Solución==

(%i1) A: matrix([a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a])$

(%i2) determinant(A)$

(%i3) ratsimp(%);

(%03) a^4-6*a^3+12*a^2-8*a

== Enunciado==

*[[Ejercicio 3: Sean la recta r y el plano <math>\pi</math> dados por:
<math>r=\left\{\begin{array}{lll}
x= & -1 & -\lambda \\
y= & & -\lambda \\
z= & & 2\lambda
\end{array}\right.</math>

<math> \displaystyle\pi: 2x-3y+z+1=0 </math>

a) Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano <math>\pi</math>.

== Solución==

b) Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r sobre <math>\pi</math>.

El siguiente programa calcula el seno del ángulo formado por una recta y un plano, a partir
del vector director de la recta y del vector normal del plano.Es decir:

(%i1)angulo(v,n):=block([prodesc,modv,modn,dist],
prodesc: first(v)*first(n)+second(v)*second(n)+last(v)*last(n),
modv:sqrt(first(v)^2+second(v)^2+last(v)^2),
modn:sqrt(first(n)^2+second(n)^2+last(n)^2),
float(dist:prodesc/(modv*modn)))$

En nuestro caso el vector director es (-1,-1,2) y el vector normal es(2,-3,1):

(%i2)angulo([-1,-1,2],[2,-3,1]);
(%o2)0.32732683535399

== Solución==

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:14:18Z

Rosa F R: /* Enunciado */

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:12:15Z

Rosa F R: /* Enunciado */

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:09:35Z

Rosa F R: /* Enunciado */

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:08:25Z

Rosa F R: /* Enunciado */

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:06:01Z

Rosa F R: /* Enunciado */

Ejercicios de selectividad

2010-05-08T10:05:39Z

Rosa F R:

Ejercicios de selectividad

2010-05-07T12:40:45Z

Rosa F R: /* Solución */

Ejercicios de selectividad

2010-05-07T12:40:06Z

Rosa F R: /* Solución */