https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Marjimcru 2026-07-17T07:58:48Z Contribuciones del usuario MediaWiki 1.31.0 https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n_definida_a_trozos&diff=967 2011-04-19T12:39:33Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x&lt;=1 y 1+lnx si x&gt;1)<br /> 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.<br /> 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.<br /> 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos<br /> y mínimos relativos.<br /> 4. Representar su gráfica.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> Dominio, puntos de corte, asíntotas<br /> ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);<br /> ( %i2) h(x):=1+log(x);<br /> El dominio de g es todo R <br /> ( %i3) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i4) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i5) is(1+x^2&gt;0);<br /> <br /> Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas,<br /> ( %i7) solve(g(x)=0,x);<br /> ( %i8) solve(h(x)=0,x);<br /> El único punto de corte es x = 1<br /> <br /> Puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0,<br /> ( %i9) g(0);<br /> <br /> Asintotas verticales, horizontales y oblicuas<br /> ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);<br /> ( %i11) limit(g(x),x,minf);<br /> ( %i12) limit(h(x),x,inf);<br /> f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la<br /> recta y = 0) cuando x tiende a menos infito.<br /> <br /> Continuidad, derivabilidad<br /> Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por<br /> lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones<br /> donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este<br /> punto son distintos, pues<br /> ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);<br /> ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);<br /> f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).<br /> Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de<br /> R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos<br /> dominios). Puesto que<br /> ( %i15) diff(g(x),x);<br /> ( %i16) diff(h(x),x);<br /> <br /> Crecimiento, extremos relativos<br /> ( %i22) assume(x&gt;1);<br /> ( %i23) is(1/x&gt;0);<br /> f es decreciente en el intervalo 1, más infinito y en el resto es creciente.<br /> <br /> Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:<br /> ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);<br /> ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);<br /> Tiene punto crítico en x=0, para ver si es un mínimo o un máximo estudiamos el signo de la segunda derivada.<br /> ( %i26) diff(g(x),x,2);<br /> ( %i27) %,x=0;<br /> f tiene un máximo relativo en x = 0.<br /> <br /> Representación:<br /> ( %i33) f(x):= if(x&lt;1) then g(x) else h(x);<br /> ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);<br /> ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, &quot;set zeroaxis&quot;],<br /> [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, &quot;grafica.eps&quot;]);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n_definida_a_trozos&diff=966 2011-04-19T12:38:53Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x&lt;=1 y 1+lnx si x&gt;1)<br /> 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.<br /> 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.<br /> 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos<br /> y mínimos relativos.<br /> 4. Representar su gráfica.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> Dominio, puntos de corte, asíntotas<br /> ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);<br /> ( %i2) h(x):=1+log(x);<br /> El dominio de g es todo R <br /> ( %i3) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i4) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i5) is(1+x^2&gt;0);<br /> <br /> Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas,<br /> ( %i7) solve(g(x)=0,x);<br /> ( %i8) solve(h(x)=0,x);<br /> El único punto de corte es x = 1<br /> <br /> Puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0,<br /> ( %i9) g(0);<br /> <br /> Asintotas verticales, horizontales y oblicuas<br /> ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);<br /> ( %i11) limit(g(x),x,minf);<br /> ( %i12) limit(h(x),x,inf);<br /> f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la<br /> recta y = 0) cuando x tiende a menos infito.<br /> <br /> Continuidad, derivabilidad<br /> Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por<br /> lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones<br /> donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este<br /> punto son distintos, pues<br /> ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);<br /> ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);<br /> f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).<br /> Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de<br /> R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos<br /> dominios). Puesto que<br /> ( %i15) diff(g(x),x);<br /> ( %i16) diff(h(x),x);<br /> <br /> Crecimiento, extremos relativos<br /> ( %i22) assume(x&gt;1);<br /> ( %i23) is(1/x&gt;0);<br /> f es decreciente en el intervalo 1, más infinito y en el resto es creciente.<br /> <br /> Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:<br /> ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);<br /> ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);<br /> Tiene punto crítico en x=0, para ver si es un mínimo o un máximo estudiamos el signo de la segunda derivada.<br /> ( %i26) diff(g(x),x,2);<br /> ( %i27) %,x=0;<br /> f tiene un máximo relativo en x = 0.<br /> <br /> Representación:<br /> ( %i33) f(x):= if(x&lt;1) then g(x) else h(x);<br /> ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);<br /> edicate:<br /> ** error while printing error message **<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M<br /> #0: f(x=x)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, &quot;set zeroaxis&quot;],<br /> [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, &quot;grafica.eps&quot;]);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n_definida_a_trozos&diff=965 2011-04-19T12:34:32Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x&lt;=1 y 1+lnx si x&gt;1)<br /> 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.<br /> 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.<br /> 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos<br /> y mínimos relativos.<br /> 4. Representar su gráfica.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> Dominio, puntos de corte, asíntotas<br /> ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);<br /> ( %i2) h(x):=1+log(x);<br /> El dominio de g es todo R <br /> ( %i3) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i4) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i5) is(1+x^2&gt;0);<br /> <br /> Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas,<br /> ( %i7) solve(g(x)=0,x);<br /> ( %i8) solve(h(x)=0,x);<br /> El único punto de corte es x = 1<br /> <br /> Puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0,<br /> ( %i9) g(0);<br /> <br /> Asintotas verticales, horizontales y oblicuas<br /> ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);<br /> ( %i11) limit(g(x),x,minf);<br /> ( %i12) limit(h(x),x,inf);<br /> f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la<br /> recta y = 0) cuando x tiende a menos infito.<br /> <br /> Continuidad, derivabilidad<br /> Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por<br /> lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones<br /> donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este<br /> punto son distintos, pues<br /> ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);<br /> ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);<br /> f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).<br /> Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de<br /> R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos<br /> dominios). Puesto que<br /> ( %i15) diff(g(x),x);<br /> ( %i16) diff(h(x),x);<br /> <br /> Crecimiento, extremos relativos<br /> ( %i22) assume(x&gt;1);<br /> ( %i23) is(1/x&gt;0);<br /> f es creciente en (􀀀1; 0) [ (1;+1) y decreciente en (0; 1).<br /> Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:<br /> ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);<br /> ( %o24)<br /> [x = 0]<br /> ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);<br /> ( %o25)<br /> []<br /> Esto es, h no tiene puntos críticos y g tiene un punto crítico, x = 0. Cuando x = 0<br /> la función f es igual a g, luego éste es un punto crítico de f. Para saber si se trata de<br /> un máximo o un mínimo, podemos estudiar el signo de la segunda derivada:<br /> ( %i26) diff(g(x),x,2);<br /> ( %o26)<br /> 8 x2<br /> (x2 + 1)3 􀀀<br /> 2<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i27) %,x=0;<br /> ( %o27)<br /> 􀀀2<br /> Por lo tanto, f00(0) = g00(0) = 􀀀2 &lt; 0, es decir, f tiene un máximo relativo en x = 0.<br /> Representación gráfica<br /> Para representar la gráfica de f, podemos definir:<br /> ( %i33) f(x):= if(x&lt;1) then g(x) else h(x);<br /> ( %o33)<br /> f (x) := if x &lt; 1 then g (x) else h (x)<br /> El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo<br /> de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.<br /> ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:<br /> ** error while printing error message **<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M<br /> #0: f(x=x)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, &quot;set zeroaxis&quot;],<br /> [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, &quot;grafica.eps&quot;]);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n_definida_a_trozos&diff=964 2011-04-19T12:33:15Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x&lt;=1 y 1+lnx si x&gt;1)<br /> 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.<br /> 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.<br /> 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos<br /> y mínimos relativos.<br /> 4. Representar su gráfica.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> Dominio, puntos de corte, asíntotas<br /> ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);<br /> ( %i2) h(x):=1+log(x);<br /> El dominio de g es todo R <br /> ( %i3) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i4) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i5) is(1+x^2&gt;0);<br /> <br /> Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas,<br /> ( %i7) solve(g(x)=0,x);<br /> ( %i8) solve(h(x)=0,x);<br /> El único punto de corte es x = 1<br /> <br /> Puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0,<br /> ( %i9) g(0);<br /> <br /> Asintotas verticales, horizontales y oblicuas<br /> ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);<br /> ( %i11) limit(g(x),x,minf);<br /> ( %i12) limit(h(x),x,inf);<br /> f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la<br /> recta y = 0) cuando x tiende a menos infito.<br /> <br /> Continuidad, derivabilidad<br /> Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por<br /> lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones<br /> donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este<br /> punto son distintos, pues<br /> ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);<br /> ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);<br /> f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).<br /> Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de<br /> R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos<br /> dominios). Puesto que<br /> ( %i15) diff(g(x),x);<br /> ( %i16) diff(h(x),x);<br /> <br /> Crecimiento, extremos relativos<br /> El crecimiento de f depende del signo de la función derivada, f0(x), calculada en el<br /> apartado anterior. Cuando x &gt; 1, obviamente, 1<br /> x &gt; 0 y por lo tanto, f0(x) &gt; 0. Aunque<br /> es un caso tan sencillo que no merece la pena recurrir al ordenador, puede servir como<br /> ilustración la forma en que se podría comprobar lo anterior, utilizando los comandos<br /> “assume” e “is”:<br /> ( %i22) assume(x&gt;1);<br /> ( %o22)<br /> [x &gt; 1]<br /> ( %i23) is(1/x&gt;0);<br /> ( %o23)<br /> true<br /> cuando x &lt; 1, el asunto es diferente, pues el signo de f0(x) dependerá de la expresión<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 ; (B.1)<br /> que depende del signo de 􀀀2x (puesto que el denominador es siempre estrictamente<br /> positivo), siendo, negativo cuando x &gt; 0 y positivo en caso contrario.<br /> Por lo tanto<br /> 129<br /> f es creciente en (􀀀1; 0) [ (1;+1) y decreciente en (0; 1).<br /> Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:<br /> ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);<br /> ( %o24)<br /> [x = 0]<br /> ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);<br /> ( %o25)<br /> []<br /> Esto es, h no tiene puntos críticos y g tiene un punto crítico, x = 0. Cuando x = 0<br /> la función f es igual a g, luego éste es un punto crítico de f. Para saber si se trata de<br /> un máximo o un mínimo, podemos estudiar el signo de la segunda derivada:<br /> ( %i26) diff(g(x),x,2);<br /> ( %o26)<br /> 8 x2<br /> (x2 + 1)3 􀀀<br /> 2<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i27) %,x=0;<br /> ( %o27)<br /> 􀀀2<br /> Por lo tanto, f00(0) = g00(0) = 􀀀2 &lt; 0, es decir, f tiene un máximo relativo en x = 0.<br /> Representación gráfica<br /> Para representar la gráfica de f, podemos definir:<br /> ( %i33) f(x):= if(x&lt;1) then g(x) else h(x);<br /> ( %o33)<br /> f (x) := if x &lt; 1 then g (x) else h (x)<br /> El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo<br /> de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.<br /> ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:<br /> ** error while printing error message **<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M<br /> #0: f(x=x)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, &quot;set zeroaxis&quot;],<br /> [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, &quot;grafica.eps&quot;]);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n_definida_a_trozos&diff=963 2011-04-19T12:30:23Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x&lt;=1 y 1+lnx si x&gt;1)<br /> 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.<br /> 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.<br /> 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos<br /> y mínimos relativos.<br /> 4. Representar su gráfica.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> Dominio, puntos de corte, asíntotas<br /> ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);<br /> ( %i2) h(x):=1+log(x);<br /> El dominio de g es todo R <br /> ( %i3) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i4) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i5) is(1+x^2&gt;0);<br /> <br /> Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas,<br /> ( %i7) solve(g(x)=0,x);<br /> ( %i8) solve(h(x)=0,x);<br /> El único punto de corte es x = 1<br /> <br /> Puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0,<br /> ( %i9) g(0);<br /> <br /> Asintotas verticales, horizontales y oblicuas<br /> ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);<br /> ( %i11) limit(g(x),x,minf);<br /> ( %i12) limit(h(x),x,inf);<br /> f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la<br /> recta y = 0) cuando x ! 􀀀1.<br /> Continuidad, derivabilidad<br /> Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por<br /> lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones<br /> donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este<br /> punto son distintos, pues<br /> ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);<br /> ( %o13)<br /> 1<br /> 2<br /> ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);<br /> ( %o14)<br /> 1<br /> en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).<br /> 128 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de<br /> R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos<br /> dominios). Puesto que<br /> ( %i15) diff(g(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 􀀀<br /> 2 x<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i16) diff(h(x),x);<br /> ( %o16)<br /> 1<br /> x<br /> podemos concluir que la función derivada de f es:<br /> f0(x) =<br /> 8&gt;&lt;<br /> &gt;:<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 si x &lt; 1<br /> 1<br /> x<br /> si x &gt; 1<br /> Crecimiento, extremos relativos<br /> El crecimiento de f depende del signo de la función derivada, f0(x), calculada en el<br /> apartado anterior. Cuando x &gt; 1, obviamente, 1<br /> x &gt; 0 y por lo tanto, f0(x) &gt; 0. Aunque<br /> es un caso tan sencillo que no merece la pena recurrir al ordenador, puede servir como<br /> ilustración la forma en que se podría comprobar lo anterior, utilizando los comandos<br /> “assume” e “is”:<br /> ( %i22) assume(x&gt;1);<br /> ( %o22)<br /> [x &gt; 1]<br /> ( %i23) is(1/x&gt;0);<br /> ( %o23)<br /> true<br /> cuando x &lt; 1, el asunto es diferente, pues el signo de f0(x) dependerá de la expresión<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 ; (B.1)<br /> que depende del signo de 􀀀2x (puesto que el denominador es siempre estrictamente<br /> positivo), siendo, negativo cuando x &gt; 0 y positivo en caso contrario.<br /> Por lo tanto<br /> 129<br /> f es creciente en (􀀀1; 0) [ (1;+1) y decreciente en (0; 1).<br /> Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:<br /> ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);<br /> ( %o24)<br /> [x = 0]<br /> ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);<br /> ( %o25)<br /> []<br /> Esto es, h no tiene puntos críticos y g tiene un punto crítico, x = 0. Cuando x = 0<br /> la función f es igual a g, luego éste es un punto crítico de f. Para saber si se trata de<br /> un máximo o un mínimo, podemos estudiar el signo de la segunda derivada:<br /> ( %i26) diff(g(x),x,2);<br /> ( %o26)<br /> 8 x2<br /> (x2 + 1)3 􀀀<br /> 2<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i27) %,x=0;<br /> ( %o27)<br /> 􀀀2<br /> Por lo tanto, f00(0) = g00(0) = 􀀀2 &lt; 0, es decir, f tiene un máximo relativo en x = 0.<br /> Representación gráfica<br /> Para representar la gráfica de f, podemos definir:<br /> ( %i33) f(x):= if(x&lt;1) then g(x) else h(x);<br /> ( %o33)<br /> f (x) := if x &lt; 1 then g (x) else h (x)<br /> El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo<br /> de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.<br /> ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:<br /> ** error while printing error message **<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M<br /> #0: f(x=x)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, &quot;set zeroaxis&quot;],<br /> [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, &quot;grafica.eps&quot;]);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n_definida_a_trozos&diff=962 2011-04-19T12:28:51Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x&lt;=1 y 1+lnx si x&gt;1)<br /> 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.<br /> 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.<br /> 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos<br /> y mínimos relativos.<br /> 4. Representar su gráfica.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> Dominio, puntos de corte, asíntotas<br /> ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);<br /> ( %i2) h(x):=1+log(x);<br /> El dominio de g es todo R <br /> ( %i3) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i4) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i5) is(1+x^2&gt;0);<br /> <br /> Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas,<br /> ( %i7) solve(g(x)=0,x);<br /> ( %i8) solve(h(x)=0,x);<br /> El único punto de corte es x = 1<br /> <br /> Puntos de corte con el eje vertical, cuando x = 0,<br /> ( %i9) g(0);<br /> <br /> Asintotas verticales, horizontales y oblicuas<br /> En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador<br /> es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical<br /> en x = 0, debido al logaritmo:<br /> ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);<br /> ( %o10)<br /> 􀀀1<br /> Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los<br /> valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical.<br /> Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x)<br /> cuando x ! 􀀀1 (en cuyo caso f = g) y cuando x ! +1 (en cuyo caso f = h),<br /> ( %i11) limit(g(x),x,minf);<br /> ( %o11)<br /> 0<br /> ( %i12) limit(h(x),x,inf);<br /> ( %o12)<br /> 1<br /> Por lo tanto, podemos concluir que:<br /> f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la<br /> recta y = 0) cuando x ! 􀀀1.<br /> Continuidad, derivabilidad<br /> Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por<br /> lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones<br /> donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este<br /> punto son distintos, pues<br /> ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);<br /> ( %o13)<br /> 1<br /> 2<br /> ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);<br /> ( %o14)<br /> 1<br /> en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).<br /> 128 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de<br /> R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos<br /> dominios). Puesto que<br /> ( %i15) diff(g(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 􀀀<br /> 2 x<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i16) diff(h(x),x);<br /> ( %o16)<br /> 1<br /> x<br /> podemos concluir que la función derivada de f es:<br /> f0(x) =<br /> 8&gt;&lt;<br /> &gt;:<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 si x &lt; 1<br /> 1<br /> x<br /> si x &gt; 1<br /> Crecimiento, extremos relativos<br /> El crecimiento de f depende del signo de la función derivada, f0(x), calculada en el<br /> apartado anterior. Cuando x &gt; 1, obviamente, 1<br /> x &gt; 0 y por lo tanto, f0(x) &gt; 0. Aunque<br /> es un caso tan sencillo que no merece la pena recurrir al ordenador, puede servir como<br /> ilustración la forma en que se podría comprobar lo anterior, utilizando los comandos<br /> “assume” e “is”:<br /> ( %i22) assume(x&gt;1);<br /> ( %o22)<br /> [x &gt; 1]<br /> ( %i23) is(1/x&gt;0);<br /> ( %o23)<br /> true<br /> cuando x &lt; 1, el asunto es diferente, pues el signo de f0(x) dependerá de la expresión<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 ; (B.1)<br /> que depende del signo de 􀀀2x (puesto que el denominador es siempre estrictamente<br /> positivo), siendo, negativo cuando x &gt; 0 y positivo en caso contrario.<br /> Por lo tanto<br /> 129<br /> f es creciente en (􀀀1; 0) [ (1;+1) y decreciente en (0; 1).<br /> Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:<br /> ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);<br /> ( %o24)<br /> [x = 0]<br /> ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);<br /> ( %o25)<br /> []<br /> Esto es, h no tiene puntos críticos y g tiene un punto crítico, x = 0. Cuando x = 0<br /> la función f es igual a g, luego éste es un punto crítico de f. Para saber si se trata de<br /> un máximo o un mínimo, podemos estudiar el signo de la segunda derivada:<br /> ( %i26) diff(g(x),x,2);<br /> ( %o26)<br /> 8 x2<br /> (x2 + 1)3 􀀀<br /> 2<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i27) %,x=0;<br /> ( %o27)<br /> 􀀀2<br /> Por lo tanto, f00(0) = g00(0) = 􀀀2 &lt; 0, es decir, f tiene un máximo relativo en x = 0.<br /> Representación gráfica<br /> Para representar la gráfica de f, podemos definir:<br /> ( %i33) f(x):= if(x&lt;1) then g(x) else h(x);<br /> ( %o33)<br /> f (x) := if x &lt; 1 then g (x) else h (x)<br /> El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo<br /> de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.<br /> ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:<br /> ** error while printing error message **<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M<br /> #0: f(x=x)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, &quot;set zeroaxis&quot;],<br /> [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, &quot;grafica.eps&quot;]);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n_definida_a_trozos&diff=961 2011-04-19T12:26:37Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x&lt;=1 y 1+lnx si x&gt;1)<br /> 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.<br /> 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.<br /> 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos<br /> y mínimos relativos.<br /> 4. Representar su gráfica.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> Dominio, puntos de corte, asíntotas<br /> ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);<br /> ( %i2) h(x):=1+log(x);<br /> El dominio de g es todo R <br /> ( %i3) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i4) solve(1+x^2=0);<br /> ( %i5) is(1+x^2&gt;0);<br /> <br /> Por otra parte, la función h(x) solamente está bien definida para aquellos valores de<br /> x para los que tiene sentido log(x), es decir, el dominio de h es fx 2 R = x &gt; 0g. Luego<br /> El dominio de la función f(x) es todo R, pues cuando x � 1 es igual a g, que<br /> está perfectamente definida, y cuando x &gt; 1 coincide con h(x), que no tiene<br /> ningún problema para estos valores de x.<br /> Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, planteamos<br /> ( %i7) solve(g(x)=0,x);<br /> ( %o7)<br /> []<br /> ( %i8) solve(h(x)=0,x);<br /> ( %o8) �<br /> x = e􀀀1�<br /> El único punto de corte es x = 1<br /> e . En cuanto a posibles puntos de corte con el eje<br /> vertical, cuando x = 0 nuestra función toma el valor f(0) = g(0) = 1:<br /> ( %i9) g(0);<br /> ( %o9)<br /> 1<br /> En definitiva:<br /> Los puntos de corte de f(x) son (0; 1) y ( 1<br /> e ; 0).<br /> 127<br /> En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador<br /> es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical<br /> en x = 0, debido al logaritmo:<br /> ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);<br /> ( %o10)<br /> 􀀀1<br /> Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los<br /> valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical.<br /> Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x)<br /> cuando x ! 􀀀1 (en cuyo caso f = g) y cuando x ! +1 (en cuyo caso f = h),<br /> ( %i11) limit(g(x),x,minf);<br /> ( %o11)<br /> 0<br /> ( %i12) limit(h(x),x,inf);<br /> ( %o12)<br /> 1<br /> Por lo tanto, podemos concluir que:<br /> f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la<br /> recta y = 0) cuando x ! 􀀀1.<br /> Continuidad, derivabilidad<br /> Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por<br /> lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones<br /> donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este<br /> punto son distintos, pues<br /> ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);<br /> ( %o13)<br /> 1<br /> 2<br /> ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);<br /> ( %o14)<br /> 1<br /> en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).<br /> 128 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de<br /> R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos<br /> dominios). Puesto que<br /> ( %i15) diff(g(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 􀀀<br /> 2 x<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i16) diff(h(x),x);<br /> ( %o16)<br /> 1<br /> x<br /> podemos concluir que la función derivada de f es:<br /> f0(x) =<br /> 8&gt;&lt;<br /> &gt;:<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 si x &lt; 1<br /> 1<br /> x<br /> si x &gt; 1<br /> Crecimiento, extremos relativos<br /> El crecimiento de f depende del signo de la función derivada, f0(x), calculada en el<br /> apartado anterior. Cuando x &gt; 1, obviamente, 1<br /> x &gt; 0 y por lo tanto, f0(x) &gt; 0. Aunque<br /> es un caso tan sencillo que no merece la pena recurrir al ordenador, puede servir como<br /> ilustración la forma en que se podría comprobar lo anterior, utilizando los comandos<br /> “assume” e “is”:<br /> ( %i22) assume(x&gt;1);<br /> ( %o22)<br /> [x &gt; 1]<br /> ( %i23) is(1/x&gt;0);<br /> ( %o23)<br /> true<br /> cuando x &lt; 1, el asunto es diferente, pues el signo de f0(x) dependerá de la expresión<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 ; (B.1)<br /> que depende del signo de 􀀀2x (puesto que el denominador es siempre estrictamente<br /> positivo), siendo, negativo cuando x &gt; 0 y positivo en caso contrario.<br /> Por lo tanto<br /> 129<br /> f es creciente en (􀀀1; 0) [ (1;+1) y decreciente en (0; 1).<br /> Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:<br /> ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);<br /> ( %o24)<br /> [x = 0]<br /> ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);<br /> ( %o25)<br /> []<br /> Esto es, h no tiene puntos críticos y g tiene un punto crítico, x = 0. Cuando x = 0<br /> la función f es igual a g, luego éste es un punto crítico de f. Para saber si se trata de<br /> un máximo o un mínimo, podemos estudiar el signo de la segunda derivada:<br /> ( %i26) diff(g(x),x,2);<br /> ( %o26)<br /> 8 x2<br /> (x2 + 1)3 􀀀<br /> 2<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i27) %,x=0;<br /> ( %o27)<br /> 􀀀2<br /> Por lo tanto, f00(0) = g00(0) = 􀀀2 &lt; 0, es decir, f tiene un máximo relativo en x = 0.<br /> Representación gráfica<br /> Para representar la gráfica de f, podemos definir:<br /> ( %i33) f(x):= if(x&lt;1) then g(x) else h(x);<br /> ( %o33)<br /> f (x) := if x &lt; 1 then g (x) else h (x)<br /> El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo<br /> de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.<br /> ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:<br /> ** error while printing error message **<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M<br /> #0: f(x=x)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, &quot;set zeroaxis&quot;],<br /> [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, &quot;grafica.eps&quot;]);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n_definida_a_trozos&diff=960 2011-04-19T12:24:54Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x&lt;=1 y 1+lnx si x&gt;1)<br /> 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.<br /> 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.<br /> 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos<br /> y mínimos relativos.<br /> 4. Representar su gráfica.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> Dominio, puntos de corte, asíntotas<br /> Definimos:<br /> ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);<br /> ( %o1)<br /> g (x) :=<br /> 1<br /> 1 + x2<br /> ( %i2) h(x):=1+log(x);<br /> ( %o2)<br /> h (x) := 1 + log x<br /> El dominio de g es todo R pues, evidentemente, 1 + x2 6= 0 8x 2 R. Pero, por<br /> si hubiera alguna duda, el alumno podría utilizar Maxima para comprobar que no<br /> existe ninguna solución real (todas sus soluciones son imaginarios puros):<br /> ( %i3) solve(1+x^2=0);<br /> 126 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %o3)<br /> [x = 􀀀i; x = i]<br /> ( %i4) solve(1+x^2=0);<br /> ( %o4)<br /> [x = 􀀀i; x = i]<br /> Maxima es incluso capaz de asegurarnos que 1+x2 es estrictamente positivo (independientemente<br /> del valor de x) si utilizamos la función is:<br /> ( %i5) is(1+x^2&gt;0);<br /> ( %o5)<br /> true<br /> Por otra parte, la función h(x) solamente está bien definida para aquellos valores de<br /> x para los que tiene sentido log(x), es decir, el dominio de h es fx 2 R = x &gt; 0g. Luego<br /> El dominio de la función f(x) es todo R, pues cuando x � 1 es igual a g, que<br /> está perfectamente definida, y cuando x &gt; 1 coincide con h(x), que no tiene<br /> ningún problema para estos valores de x.<br /> Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, planteamos<br /> ( %i7) solve(g(x)=0,x);<br /> ( %o7)<br /> []<br /> ( %i8) solve(h(x)=0,x);<br /> ( %o8) �<br /> x = e􀀀1�<br /> El único punto de corte es x = 1<br /> e . En cuanto a posibles puntos de corte con el eje<br /> vertical, cuando x = 0 nuestra función toma el valor f(0) = g(0) = 1:<br /> ( %i9) g(0);<br /> ( %o9)<br /> 1<br /> En definitiva:<br /> Los puntos de corte de f(x) son (0; 1) y ( 1<br /> e ; 0).<br /> 127<br /> En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador<br /> es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical<br /> en x = 0, debido al logaritmo:<br /> ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);<br /> ( %o10)<br /> 􀀀1<br /> Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los<br /> valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical.<br /> Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x)<br /> cuando x ! 􀀀1 (en cuyo caso f = g) y cuando x ! +1 (en cuyo caso f = h),<br /> ( %i11) limit(g(x),x,minf);<br /> ( %o11)<br /> 0<br /> ( %i12) limit(h(x),x,inf);<br /> ( %o12)<br /> 1<br /> Por lo tanto, podemos concluir que:<br /> f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la<br /> recta y = 0) cuando x ! 􀀀1.<br /> Continuidad, derivabilidad<br /> Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por<br /> lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones<br /> donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este<br /> punto son distintos, pues<br /> ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);<br /> ( %o13)<br /> 1<br /> 2<br /> ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);<br /> ( %o14)<br /> 1<br /> en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).<br /> 128 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de<br /> R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos<br /> dominios). Puesto que<br /> ( %i15) diff(g(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 􀀀<br /> 2 x<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i16) diff(h(x),x);<br /> ( %o16)<br /> 1<br /> x<br /> podemos concluir que la función derivada de f es:<br /> f0(x) =<br /> 8&gt;&lt;<br /> &gt;:<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 si x &lt; 1<br /> 1<br /> x<br /> si x &gt; 1<br /> Crecimiento, extremos relativos<br /> El crecimiento de f depende del signo de la función derivada, f0(x), calculada en el<br /> apartado anterior. Cuando x &gt; 1, obviamente, 1<br /> x &gt; 0 y por lo tanto, f0(x) &gt; 0. Aunque<br /> es un caso tan sencillo que no merece la pena recurrir al ordenador, puede servir como<br /> ilustración la forma en que se podría comprobar lo anterior, utilizando los comandos<br /> “assume” e “is”:<br /> ( %i22) assume(x&gt;1);<br /> ( %o22)<br /> [x &gt; 1]<br /> ( %i23) is(1/x&gt;0);<br /> ( %o23)<br /> true<br /> cuando x &lt; 1, el asunto es diferente, pues el signo de f0(x) dependerá de la expresión<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 ; (B.1)<br /> que depende del signo de 􀀀2x (puesto que el denominador es siempre estrictamente<br /> positivo), siendo, negativo cuando x &gt; 0 y positivo en caso contrario.<br /> Por lo tanto<br /> 129<br /> f es creciente en (􀀀1; 0) [ (1;+1) y decreciente en (0; 1).<br /> Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:<br /> ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);<br /> ( %o24)<br /> [x = 0]<br /> ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);<br /> ( %o25)<br /> []<br /> Esto es, h no tiene puntos críticos y g tiene un punto crítico, x = 0. Cuando x = 0<br /> la función f es igual a g, luego éste es un punto crítico de f. Para saber si se trata de<br /> un máximo o un mínimo, podemos estudiar el signo de la segunda derivada:<br /> ( %i26) diff(g(x),x,2);<br /> ( %o26)<br /> 8 x2<br /> (x2 + 1)3 􀀀<br /> 2<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i27) %,x=0;<br /> ( %o27)<br /> 􀀀2<br /> Por lo tanto, f00(0) = g00(0) = 􀀀2 &lt; 0, es decir, f tiene un máximo relativo en x = 0.<br /> Representación gráfica<br /> Para representar la gráfica de f, podemos definir:<br /> ( %i33) f(x):= if(x&lt;1) then g(x) else h(x);<br /> ( %o33)<br /> f (x) := if x &lt; 1 then g (x) else h (x)<br /> El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo<br /> de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.<br /> ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:<br /> ** error while printing error message **<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M<br /> #0: f(x=x)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, &quot;set zeroaxis&quot;],<br /> [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, &quot;grafica.eps&quot;]);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n_definida_a_trozos&diff=959 2011-04-19T12:24:06Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Dada la función f(x) =(1/(1+x^2) si x&lt;=1 y 1+lnx si x&gt;1)<br /> 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.<br /> 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.<br /> 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos<br /> y mínimos relativos.<br /> 4. Representar su gráfica.<br /> Dominio, puntos de corte, asíntotas<br /> Definimos:<br /> ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);<br /> ( %o1)<br /> g (x) :=<br /> 1<br /> 1 + x2<br /> ( %i2) h(x):=1+log(x);<br /> ( %o2)<br /> h (x) := 1 + log x<br /> El dominio de g es todo R pues, evidentemente, 1 + x2 6= 0 8x 2 R. Pero, por<br /> si hubiera alguna duda, el alumno podría utilizar Maxima para comprobar que no<br /> existe ninguna solución real (todas sus soluciones son imaginarios puros):<br /> ( %i3) solve(1+x^2=0);<br /> 126 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %o3)<br /> [x = 􀀀i; x = i]<br /> ( %i4) solve(1+x^2=0);<br /> ( %o4)<br /> [x = 􀀀i; x = i]<br /> Maxima es incluso capaz de asegurarnos que 1+x2 es estrictamente positivo (independientemente<br /> del valor de x) si utilizamos la función is:<br /> ( %i5) is(1+x^2&gt;0);<br /> ( %o5)<br /> true<br /> Por otra parte, la función h(x) solamente está bien definida para aquellos valores de<br /> x para los que tiene sentido log(x), es decir, el dominio de h es fx 2 R = x &gt; 0g. Luego<br /> El dominio de la función f(x) es todo R, pues cuando x � 1 es igual a g, que<br /> está perfectamente definida, y cuando x &gt; 1 coincide con h(x), que no tiene<br /> ningún problema para estos valores de x.<br /> Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, planteamos<br /> ( %i7) solve(g(x)=0,x);<br /> ( %o7)<br /> []<br /> ( %i8) solve(h(x)=0,x);<br /> ( %o8) �<br /> x = e􀀀1�<br /> El único punto de corte es x = 1<br /> e . En cuanto a posibles puntos de corte con el eje<br /> vertical, cuando x = 0 nuestra función toma el valor f(0) = g(0) = 1:<br /> ( %i9) g(0);<br /> ( %o9)<br /> 1<br /> En definitiva:<br /> Los puntos de corte de f(x) son (0; 1) y ( 1<br /> e ; 0).<br /> 127<br /> En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador<br /> es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical<br /> en x = 0, debido al logaritmo:<br /> ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);<br /> ( %o10)<br /> 􀀀1<br /> Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los<br /> valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical.<br /> Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x)<br /> cuando x ! 􀀀1 (en cuyo caso f = g) y cuando x ! +1 (en cuyo caso f = h),<br /> ( %i11) limit(g(x),x,minf);<br /> ( %o11)<br /> 0<br /> ( %i12) limit(h(x),x,inf);<br /> ( %o12)<br /> 1<br /> Por lo tanto, podemos concluir que:<br /> f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la<br /> recta y = 0) cuando x ! 􀀀1.<br /> Continuidad, derivabilidad<br /> Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por<br /> lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones<br /> donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este<br /> punto son distintos, pues<br /> ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);<br /> ( %o13)<br /> 1<br /> 2<br /> ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);<br /> ( %o14)<br /> 1<br /> en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).<br /> 128 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de<br /> R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos<br /> dominios). Puesto que<br /> ( %i15) diff(g(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 􀀀<br /> 2 x<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i16) diff(h(x),x);<br /> ( %o16)<br /> 1<br /> x<br /> podemos concluir que la función derivada de f es:<br /> f0(x) =<br /> 8&gt;&lt;<br /> &gt;:<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 si x &lt; 1<br /> 1<br /> x<br /> si x &gt; 1<br /> Crecimiento, extremos relativos<br /> El crecimiento de f depende del signo de la función derivada, f0(x), calculada en el<br /> apartado anterior. Cuando x &gt; 1, obviamente, 1<br /> x &gt; 0 y por lo tanto, f0(x) &gt; 0. Aunque<br /> es un caso tan sencillo que no merece la pena recurrir al ordenador, puede servir como<br /> ilustración la forma en que se podría comprobar lo anterior, utilizando los comandos<br /> “assume” e “is”:<br /> ( %i22) assume(x&gt;1);<br /> ( %o22)<br /> [x &gt; 1]<br /> ( %i23) is(1/x&gt;0);<br /> ( %o23)<br /> true<br /> cuando x &lt; 1, el asunto es diferente, pues el signo de f0(x) dependerá de la expresión<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 ; (B.1)<br /> que depende del signo de 􀀀2x (puesto que el denominador es siempre estrictamente<br /> positivo), siendo, negativo cuando x &gt; 0 y positivo en caso contrario.<br /> Por lo tanto<br /> 129<br /> f es creciente en (􀀀1; 0) [ (1;+1) y decreciente en (0; 1).<br /> Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:<br /> ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);<br /> ( %o24)<br /> [x = 0]<br /> ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);<br /> ( %o25)<br /> []<br /> Esto es, h no tiene puntos críticos y g tiene un punto crítico, x = 0. Cuando x = 0<br /> la función f es igual a g, luego éste es un punto crítico de f. Para saber si se trata de<br /> un máximo o un mínimo, podemos estudiar el signo de la segunda derivada:<br /> ( %i26) diff(g(x),x,2);<br /> ( %o26)<br /> 8 x2<br /> (x2 + 1)3 􀀀<br /> 2<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i27) %,x=0;<br /> ( %o27)<br /> 􀀀2<br /> Por lo tanto, f00(0) = g00(0) = 􀀀2 &lt; 0, es decir, f tiene un máximo relativo en x = 0.<br /> Representación gráfica<br /> Para representar la gráfica de f, podemos definir:<br /> ( %i33) f(x):= if(x&lt;1) then g(x) else h(x);<br /> ( %o33)<br /> f (x) := if x &lt; 1 then g (x) else h (x)<br /> El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo<br /> de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.<br /> ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:<br /> ** error while printing error message **<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M<br /> #0: f(x=x)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, &quot;set zeroaxis&quot;],<br /> [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, &quot;grafica.eps&quot;]);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n_definida_a_trozos&diff=958 2011-04-19T12:22:40Z

<p>Marjimcru: Página creada con &#039; &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039; Dada la función f(x) = ( 1 1+x2 si x � 1 1 + ln x si x &gt; 1 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas. 2. Analizar su continuidad y su derivabi…&#039;</p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Dada la función<br /> f(x) =<br /> (<br /> 1<br /> 1+x2 si x � 1<br /> 1 + ln x si x &gt; 1<br /> 1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.<br /> 2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.<br /> 3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos<br /> y mínimos relativos.<br /> 4. Representar su gráfica.<br /> Dominio, puntos de corte, asíntotas<br /> Definimos:<br /> ( %i1) g(x):=1/(1+x^2);<br /> ( %o1)<br /> g (x) :=<br /> 1<br /> 1 + x2<br /> ( %i2) h(x):=1+log(x);<br /> ( %o2)<br /> h (x) := 1 + log x<br /> El dominio de g es todo R pues, evidentemente, 1 + x2 6= 0 8x 2 R. Pero, por<br /> si hubiera alguna duda, el alumno podría utilizar Maxima para comprobar que no<br /> existe ninguna solución real (todas sus soluciones son imaginarios puros):<br /> ( %i3) solve(1+x^2=0);<br /> 126 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %o3)<br /> [x = 􀀀i; x = i]<br /> ( %i4) solve(1+x^2=0);<br /> ( %o4)<br /> [x = 􀀀i; x = i]<br /> Maxima es incluso capaz de asegurarnos que 1+x2 es estrictamente positivo (independientemente<br /> del valor de x) si utilizamos la función is:<br /> ( %i5) is(1+x^2&gt;0);<br /> ( %o5)<br /> true<br /> Por otra parte, la función h(x) solamente está bien definida para aquellos valores de<br /> x para los que tiene sentido log(x), es decir, el dominio de h es fx 2 R = x &gt; 0g. Luego<br /> El dominio de la función f(x) es todo R, pues cuando x � 1 es igual a g, que<br /> está perfectamente definida, y cuando x &gt; 1 coincide con h(x), que no tiene<br /> ningún problema para estos valores de x.<br /> Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, planteamos<br /> ( %i7) solve(g(x)=0,x);<br /> ( %o7)<br /> []<br /> ( %i8) solve(h(x)=0,x);<br /> ( %o8) �<br /> x = e􀀀1�<br /> El único punto de corte es x = 1<br /> e . En cuanto a posibles puntos de corte con el eje<br /> vertical, cuando x = 0 nuestra función toma el valor f(0) = g(0) = 1:<br /> ( %i9) g(0);<br /> ( %o9)<br /> 1<br /> En definitiva:<br /> Los puntos de corte de f(x) son (0; 1) y ( 1<br /> e ; 0).<br /> 127<br /> En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador<br /> es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical<br /> en x = 0, debido al logaritmo:<br /> ( %i10) limit(h(x),x,0,plus);<br /> ( %o10)<br /> 􀀀1<br /> Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los<br /> valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical.<br /> Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x)<br /> cuando x ! 􀀀1 (en cuyo caso f = g) y cuando x ! +1 (en cuyo caso f = h),<br /> ( %i11) limit(g(x),x,minf);<br /> ( %o11)<br /> 0<br /> ( %i12) limit(h(x),x,inf);<br /> ( %o12)<br /> 1<br /> Por lo tanto, podemos concluir que:<br /> f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la<br /> recta y = 0) cuando x ! 􀀀1.<br /> Continuidad, derivabilidad<br /> Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por<br /> lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones<br /> donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este<br /> punto son distintos, pues<br /> ( %i13) limit(g(x),x,1,minus);<br /> ( %o13)<br /> 1<br /> 2<br /> ( %i14) limit(h(x),x,1,plus);<br /> ( %o14)<br /> 1<br /> en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).<br /> 128 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de<br /> R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos<br /> dominios). Puesto que<br /> ( %i15) diff(g(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 􀀀<br /> 2 x<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i16) diff(h(x),x);<br /> ( %o16)<br /> 1<br /> x<br /> podemos concluir que la función derivada de f es:<br /> f0(x) =<br /> 8&gt;&lt;<br /> &gt;:<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 si x &lt; 1<br /> 1<br /> x<br /> si x &gt; 1<br /> Crecimiento, extremos relativos<br /> El crecimiento de f depende del signo de la función derivada, f0(x), calculada en el<br /> apartado anterior. Cuando x &gt; 1, obviamente, 1<br /> x &gt; 0 y por lo tanto, f0(x) &gt; 0. Aunque<br /> es un caso tan sencillo que no merece la pena recurrir al ordenador, puede servir como<br /> ilustración la forma en que se podría comprobar lo anterior, utilizando los comandos<br /> “assume” e “is”:<br /> ( %i22) assume(x&gt;1);<br /> ( %o22)<br /> [x &gt; 1]<br /> ( %i23) is(1/x&gt;0);<br /> ( %o23)<br /> true<br /> cuando x &lt; 1, el asunto es diferente, pues el signo de f0(x) dependerá de la expresión<br /> 􀀀<br /> 2x<br /> (x2 + 1)2 ; (B.1)<br /> que depende del signo de 􀀀2x (puesto que el denominador es siempre estrictamente<br /> positivo), siendo, negativo cuando x &gt; 0 y positivo en caso contrario.<br /> Por lo tanto<br /> 129<br /> f es creciente en (􀀀1; 0) [ (1;+1) y decreciente en (0; 1).<br /> Para hallar máximos y mínimos relativos, calculemos los puntos críticos de f:<br /> ( %i24) solve( diff(g(x),x)=0, x);<br /> ( %o24)<br /> [x = 0]<br /> ( %i25) solve( diff(h(x),x)=0, x);<br /> ( %o25)<br /> []<br /> Esto es, h no tiene puntos críticos y g tiene un punto crítico, x = 0. Cuando x = 0<br /> la función f es igual a g, luego éste es un punto crítico de f. Para saber si se trata de<br /> un máximo o un mínimo, podemos estudiar el signo de la segunda derivada:<br /> ( %i26) diff(g(x),x,2);<br /> ( %o26)<br /> 8 x2<br /> (x2 + 1)3 􀀀<br /> 2<br /> (x2 + 1)2<br /> ( %i27) %,x=0;<br /> ( %o27)<br /> 􀀀2<br /> Por lo tanto, f00(0) = g00(0) = 􀀀2 &lt; 0, es decir, f tiene un máximo relativo en x = 0.<br /> Representación gráfica<br /> Para representar la gráfica de f, podemos definir:<br /> ( %i33) f(x):= if(x&lt;1) then g(x) else h(x);<br /> ( %o33)<br /> f (x) := if x &lt; 1 then g (x) else h (x)<br /> El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo<br /> de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.<br /> ( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:<br /> ** error while printing error message **<br /> Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M<br /> #0: f(x=x)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> 130 Problema resuelto 2: estudio de una función definida a trozos<br /> ( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, &quot;set zeroaxis&quot;],<br /> [gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, &quot;grafica.eps&quot;]);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Ejercicios_libres&diff=957 2011-04-19T12:22:11Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div>En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.<br /> <br /> == Ejercicios ==<br /> * [[El factorial de 100]].<br /> * [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].<br /> * [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].<br /> * [[Definir y dibujar una función]].<br /> * [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].<br /> * [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].<br /> * [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].<br /> * [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].<br /> * [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].<br /> * [[Problema 12 del proyecto Euler]].<br /> * [[Problema 20 del proyecto Euler]].<br /> * [[Estudio de una función]].<br /> * [[Estudio de una función definida a trozos]].</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n&diff=956 2011-04-19T12:19:01Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea f(x) = (x^2-9)/x<br /> * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> * Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> * Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> * Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> * Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> * Calcula una primitiva de f(x).<br /> * Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> * Puntos de corte<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> <br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> <br /> Los puntos de corte con OY verifican x = 0:<br /> ( %i3) f(0);<br /> <br /> Valores de f(n)<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %i6) %,numer;<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> <br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, <br /> ( %i8) limit(f(x),x,0); <br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> f(x) no tiene asíntotas horizontales <br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> <br /> Gráfica<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> <br /> Derivada <br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %i16) ratsimp(%); <br /> Derivada para a=3<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> <br /> La recta tangente <br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %i22) expand(%);<br /> <br /> Representación<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> <br /> Primitiva <br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> <br /> Àrea<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %i33) %,numer;</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n&diff=955 2011-04-19T12:18:33Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea f(x) = (x^2-9)/x<br /> * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> * Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> * Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> * Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> * Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> * Calcula una primitiva de f(x).<br /> * Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> * Puntos de corte<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> <br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> <br /> Los puntos de corte con OY verifican x = 0:<br /> ( %i3) f(0);<br /> <br /> Valores de f(n)<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %i6) %,numer;<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> <br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, <br /> ( %i8) limit(f(x),x,0); <br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> f(x) no tiene asíntotas horizontales <br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> <br /> Gráfica<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> <br /> Derivada <br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %i16) ratsimp(%); <br /> Derivada para a=3<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> <br /> La recta tangente <br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %i22) expand(%);<br /> <br /> Representación<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> <br /> Primitiva <br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> <br /> Àrea<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %i33) %,numer;<br /> 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %o33)<br /> 0;910861347933972</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n&diff=954 2011-04-19T12:14:19Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea f(x) = (x^2-9)/x<br /> * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> * Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> * Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> * Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> * Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> * Calcula una primitiva de f(x).<br /> * Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> * Puntos de corte<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> <br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> <br /> Los puntos de corte con OY verifican x = 0:<br /> ( %i3) f(0);<br /> <br /> Valores de f(n)<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %i6) %,numer;<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> <br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, <br /> ( %i8) limit(f(x),x,0); <br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> f(x) no tiene asíntotas horizontales <br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> <br /> Gráfica<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> <br /> Derivada <br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %i16) ratsimp(%); <br /> Derivada para a=3<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> <br /> La recta tangente <br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %i22) expand(%);<br /> <br /> Representación<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> <br /> Primitiva y área<br /> Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,<br /> tendremos:<br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> ( %o24)<br /> x2<br /> 2<br /> 􀀀 9 log x<br /> Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) &gt; 0 en [3;+1), pues hemos visto que<br /> f(3) = 0 y si x &gt; 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos<br /> 123<br /> (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos<br /> más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida:<br /> Z 4<br /> 3<br /> f(x)dx<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %o25)<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %o26)<br /> x2 􀀀 9<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %o27)<br /> x<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %o28)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %o29)<br /> true<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %o30)<br /> true<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %o31)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %o32)<br /> 􀀀9 log 4 + 9 log 3 +<br /> 7<br /> 2<br /> ( %i33) %,numer;<br /> 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %o33)<br /> 0;910861347933972</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n&diff=953 2011-04-19T12:10:31Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea f(x) = (x^2-9)/x<br /> * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> * Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> * Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> * Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> * Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> * Calcula una primitiva de f(x).<br /> * Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> * Puntos de corte<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> <br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> <br /> Los puntos de corte con OY verifican x = 0:<br /> ( %i3) f(0);<br /> <br /> Valores de f(n)<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %i6) %,numer;<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> <br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, <br /> ( %i8) limit(f(x),x,0); <br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> f(x) no tiene asíntotas horizontales <br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> <br /> Gráfica<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> <br /> Derivada <br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %i16) ratsimp(%);<br /> <br /> Derivada para a=3<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %o17)<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> ( %o18)<br /> 2<br /> Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor<br /> x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene<br /> pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado<br /> de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la<br /> última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la<br /> derivada de f(x)».<br /> También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que<br /> podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos<br /> más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la<br /> derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede<br /> leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)<br /> la derivada (diff ) de f(x)»<br /> Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta<br /> tangente como<br /> y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)<br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %o19)<br /> Df (x) :=<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %o20)<br /> 2<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %o21)<br /> y = 2 (x 􀀀 3)<br /> 122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i22) expand(%);<br /> ( %o22)<br /> y = 2 x 􀀀 6<br /> Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la<br /> gráfica:<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o23)<br /> El resultado se puede apreciar en la figura A.2<br /> Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto su recta tengente en x = 3<br /> Primitiva y área<br /> Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,<br /> tendremos:<br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> ( %o24)<br /> x2<br /> 2<br /> 􀀀 9 log x<br /> Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) &gt; 0 en [3;+1), pues hemos visto que<br /> f(3) = 0 y si x &gt; 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos<br /> 123<br /> (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos<br /> más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida:<br /> Z 4<br /> 3<br /> f(x)dx<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %o25)<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %o26)<br /> x2 􀀀 9<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %o27)<br /> x<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %o28)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %o29)<br /> true<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %o30)<br /> true<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %o31)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %o32)<br /> 􀀀9 log 4 + 9 log 3 +<br /> 7<br /> 2<br /> ( %i33) %,numer;<br /> 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %o33)<br /> 0;910861347933972</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n&diff=952 2011-04-19T12:08:23Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea f(x) = (x^2-9)/x<br /> * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> * Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> * Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> * Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> * Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> * Calcula una primitiva de f(x).<br /> * Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> * Puntos de corte<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> <br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> <br /> Los puntos de corte con OY verifican x = 0:<br /> ( %i3) f(0);<br /> <br /> Valores de f(n)<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %i6) %,numer;<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> <br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, <br /> ( %i8) limit(f(x),x,0); <br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> f(x) no tiene asíntotas horizontales <br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> <br /> Gráfica<br /> Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se<br /> encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [􀀀20; 20],<br /> y 2 [􀀀20; 100]:<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o14)<br /> Figura A.1: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto a su asíntota oblicua y = x<br /> Derivada y recta tangente<br /> A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y<br /> hallamos f0(a).<br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 2 􀀀<br /> x2 􀀀 9<br /> x2<br /> 121<br /> ( %i16) ratsimp(%);<br /> ( %o16)<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %o17)<br /> 3<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> ( %o18)<br /> 2<br /> Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor<br /> x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene<br /> pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado<br /> de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la<br /> última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la<br /> derivada de f(x)».<br /> También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que<br /> podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos<br /> más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la<br /> derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede<br /> leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)<br /> la derivada (diff ) de f(x)»<br /> Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta<br /> tangente como<br /> y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)<br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %o19)<br /> Df (x) :=<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %o20)<br /> 2<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %o21)<br /> y = 2 (x 􀀀 3)<br /> 122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i22) expand(%);<br /> ( %o22)<br /> y = 2 x 􀀀 6<br /> Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la<br /> gráfica:<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o23)<br /> El resultado se puede apreciar en la figura A.2<br /> Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto su recta tengente en x = 3<br /> Primitiva y área<br /> Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,<br /> tendremos:<br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> ( %o24)<br /> x2<br /> 2<br /> 􀀀 9 log x<br /> Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) &gt; 0 en [3;+1), pues hemos visto que<br /> f(3) = 0 y si x &gt; 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos<br /> 123<br /> (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos<br /> más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida:<br /> Z 4<br /> 3<br /> f(x)dx<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %o25)<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %o26)<br /> x2 􀀀 9<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %o27)<br /> x<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %o28)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %o29)<br /> true<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %o30)<br /> true<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %o31)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %o32)<br /> 􀀀9 log 4 + 9 log 3 +<br /> 7<br /> 2<br /> ( %i33) %,numer;<br /> 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %o33)<br /> 0;910861347933972</div>

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<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea f(x) = (x^2-9)/x<br /> * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> * Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> * Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> * Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> * Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> * Calcula una primitiva de f(x).<br /> * Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> * Puntos de corte<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> <br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> <br /> Los puntos de corte con OY verifican x = 0:<br /> ( %i3) f(0);<br /> <br /> Valores de f(n)<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %i6) %,numer;<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> <br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, de hecho<br /> ( %i8) limit(f(x),x,0); <br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> f(x) no tiene asíntotas horizontales <br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua, de la forma y = 1 � x + a, donde a viene dado por el<br /> siguiente límite:<br /> 120 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> ( %o13)<br /> 0<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> Gráfica<br /> Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se<br /> encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [􀀀20; 20],<br /> y 2 [􀀀20; 100]:<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o14)<br /> Figura A.1: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto a su asíntota oblicua y = x<br /> Derivada y recta tangente<br /> A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y<br /> hallamos f0(a).<br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 2 􀀀<br /> x2 􀀀 9<br /> x2<br /> 121<br /> ( %i16) ratsimp(%);<br /> ( %o16)<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %o17)<br /> 3<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> ( %o18)<br /> 2<br /> Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor<br /> x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene<br /> pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado<br /> de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la<br /> última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la<br /> derivada de f(x)».<br /> También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que<br /> podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos<br /> más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la<br /> derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede<br /> leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)<br /> la derivada (diff ) de f(x)»<br /> Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta<br /> tangente como<br /> y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)<br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %o19)<br /> Df (x) :=<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %o20)<br /> 2<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %o21)<br /> y = 2 (x 􀀀 3)<br /> 122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i22) expand(%);<br /> ( %o22)<br /> y = 2 x 􀀀 6<br /> Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la<br /> gráfica:<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o23)<br /> El resultado se puede apreciar en la figura A.2<br /> Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto su recta tengente en x = 3<br /> Primitiva y área<br /> Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,<br /> tendremos:<br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> ( %o24)<br /> x2<br /> 2<br /> 􀀀 9 log x<br /> Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) &gt; 0 en [3;+1), pues hemos visto que<br /> f(3) = 0 y si x &gt; 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos<br /> 123<br /> (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos<br /> más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida:<br /> Z 4<br /> 3<br /> f(x)dx<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %o25)<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %o26)<br /> x2 􀀀 9<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %o27)<br /> x<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %o28)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %o29)<br /> true<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %o30)<br /> true<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %o31)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %o32)<br /> 􀀀9 log 4 + 9 log 3 +<br /> 7<br /> 2<br /> ( %i33) %,numer;<br /> 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %o33)<br /> 0;910861347933972</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n&diff=948 2011-04-19T12:03:25Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea f(x) = (x^2-9)/x<br /> * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> * Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> * Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> * Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> * Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> * Calcula una primitiva de f(x).<br /> * Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> * Puntos de corte<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> <br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> <br /> Los puntos de corte con OY verifican x = 0:<br /> ( %i3) f(0);<br /> <br /> Valores de f(n)<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %i6) %,numer;<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> <br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, de hecho<br /> l��m<br /> x!0+<br /> f(x) = 􀀀1 l��m<br /> x!0􀀀<br /> f(x) = +1<br /> ( %i8) limit(f(x),x,0);<br /> ( %o8)<br /> und<br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %o9)<br /> 􀀀1<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> ( %o10)<br /> 1<br /> Por otra parte, f(x) no tiene asíntotas horizontales en +1(como vimos, el límite<br /> es +1) y tampoco en 􀀀1, como vemos ahora:<br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %o11)<br /> 􀀀1<br /> Y, por otro lado, puesto que<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> ( %o12)<br /> 1<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua, de la forma y = 1 � x + a, donde a viene dado por el<br /> siguiente límite:<br /> 120 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> ( %o13)<br /> 0<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> Gráfica<br /> Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se<br /> encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [􀀀20; 20],<br /> y 2 [􀀀20; 100]:<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o14)<br /> Figura A.1: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto a su asíntota oblicua y = x<br /> Derivada y recta tangente<br /> A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y<br /> hallamos f0(a).<br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 2 􀀀<br /> x2 􀀀 9<br /> x2<br /> 121<br /> ( %i16) ratsimp(%);<br /> ( %o16)<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %o17)<br /> 3<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> ( %o18)<br /> 2<br /> Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor<br /> x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene<br /> pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado<br /> de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la<br /> última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la<br /> derivada de f(x)».<br /> También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que<br /> podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos<br /> más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la<br /> derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede<br /> leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)<br /> la derivada (diff ) de f(x)»<br /> Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta<br /> tangente como<br /> y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)<br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %o19)<br /> Df (x) :=<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %o20)<br /> 2<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %o21)<br /> y = 2 (x 􀀀 3)<br /> 122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i22) expand(%);<br /> ( %o22)<br /> y = 2 x 􀀀 6<br /> Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la<br /> gráfica:<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o23)<br /> El resultado se puede apreciar en la figura A.2<br /> Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto su recta tengente en x = 3<br /> Primitiva y área<br /> Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,<br /> tendremos:<br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> ( %o24)<br /> x2<br /> 2<br /> 􀀀 9 log x<br /> Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) &gt; 0 en [3;+1), pues hemos visto que<br /> f(3) = 0 y si x &gt; 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos<br /> 123<br /> (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos<br /> más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida:<br /> Z 4<br /> 3<br /> f(x)dx<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %o25)<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %o26)<br /> x2 􀀀 9<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %o27)<br /> x<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %o28)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %o29)<br /> true<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %o30)<br /> true<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %o31)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %o32)<br /> 􀀀9 log 4 + 9 log 3 +<br /> 7<br /> 2<br /> ( %i33) %,numer;<br /> 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %o33)<br /> 0;910861347933972</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n&diff=947 2011-04-19T12:02:12Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea f(x) = (x^2-9)/x<br /> * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> * Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> * Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> * Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> * Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> * Calcula una primitiva de f(x).<br /> * Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> * Puntos de corte<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> <br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> <br /> Los puntos de corte con OY verifican x = 0:<br /> ( %i3) f(0);<br /> <br /> Valores de f(n)<br /> Podríamos calcular uno a uno los valores de f(n) pero es más rápido, como<br /> vimos en el tema anterior, utilizar la función “map”, que es especialmente apropiada<br /> para crear tablas de valores:<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %o4)<br /> [100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900; 1000; 1100; 1200; 1300; 1400; 1500]<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %o5)<br /> �<br /> 9991<br /> 100<br /> ;<br /> 39991<br /> 200<br /> ;<br /> 29997<br /> 100<br /> ;<br /> 159991<br /> 400<br /> ;<br /> 249991<br /> 500<br /> ;<br /> 119997<br /> 200<br /> ;<br /> 489991<br /> 700<br /> ;<br /> 639991<br /> 800<br /> ;<br /> 89999<br /> 100<br /> ;<br /> 999991<br /> 1000<br /> ;<br /> 1209991<br /> 1100<br /> ;<br /> 479997<br /> 400<br /> ;<br /> 16899130( %i6) %,numer;<br /> ( %o6)<br /> [99;909999999999997; 199;95500000000001; 299;97000000000003; 399;97750000000002; 499;982000000000Parece que<br /> l��m<br /> x!+1<br /> f(x) = +1;<br /> pero es mejor confirmarlo con Maxima. Efectivamente:<br /> 119<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> ( %o7)<br /> 1<br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, de hecho<br /> l��m<br /> x!0+<br /> f(x) = 􀀀1 l��m<br /> x!0􀀀<br /> f(x) = +1<br /> ( %i8) limit(f(x),x,0);<br /> ( %o8)<br /> und<br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %o9)<br /> 􀀀1<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> ( %o10)<br /> 1<br /> Por otra parte, f(x) no tiene asíntotas horizontales en +1(como vimos, el límite<br /> es +1) y tampoco en 􀀀1, como vemos ahora:<br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %o11)<br /> 􀀀1<br /> Y, por otro lado, puesto que<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> ( %o12)<br /> 1<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua, de la forma y = 1 � x + a, donde a viene dado por el<br /> siguiente límite:<br /> 120 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> ( %o13)<br /> 0<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> Gráfica<br /> Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se<br /> encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [􀀀20; 20],<br /> y 2 [􀀀20; 100]:<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o14)<br /> Figura A.1: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto a su asíntota oblicua y = x<br /> Derivada y recta tangente<br /> A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y<br /> hallamos f0(a).<br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 2 􀀀<br /> x2 􀀀 9<br /> x2<br /> 121<br /> ( %i16) ratsimp(%);<br /> ( %o16)<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %o17)<br /> 3<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> ( %o18)<br /> 2<br /> Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor<br /> x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene<br /> pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado<br /> de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la<br /> última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la<br /> derivada de f(x)».<br /> También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que<br /> podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos<br /> más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la<br /> derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede<br /> leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)<br /> la derivada (diff ) de f(x)»<br /> Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta<br /> tangente como<br /> y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)<br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %o19)<br /> Df (x) :=<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %o20)<br /> 2<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %o21)<br /> y = 2 (x 􀀀 3)<br /> 122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i22) expand(%);<br /> ( %o22)<br /> y = 2 x 􀀀 6<br /> Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la<br /> gráfica:<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o23)<br /> El resultado se puede apreciar en la figura A.2<br /> Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto su recta tengente en x = 3<br /> Primitiva y área<br /> Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,<br /> tendremos:<br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> ( %o24)<br /> x2<br /> 2<br /> 􀀀 9 log x<br /> Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) &gt; 0 en [3;+1), pues hemos visto que<br /> f(3) = 0 y si x &gt; 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos<br /> 123<br /> (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos<br /> más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida:<br /> Z 4<br /> 3<br /> f(x)dx<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %o25)<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %o26)<br /> x2 􀀀 9<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %o27)<br /> x<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %o28)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %o29)<br /> true<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %o30)<br /> true<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %o31)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %o32)<br /> 􀀀9 log 4 + 9 log 3 +<br /> 7<br /> 2<br /> ( %i33) %,numer;<br /> 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %o33)<br /> 0;910861347933972</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n&diff=946 2011-04-19T12:00:41Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea f(x) = (x^2-9)/x<br /> * Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> * Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> * Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> * Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> * Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> * Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> * Calcula una primitiva de f(x).<br /> * Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> * Puntos de corte<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> Comenzamos definiendo f(x):<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> ( %o1)<br /> f (x) :=<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> 118 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> ( %o2)<br /> [x = 􀀀3; x = 3]<br /> así que tenemos (􀀀3; 0) y (3; 0). Los puntos de corte con OY verifican x = 0, pero<br /> ( %i3) f(0);<br /> Division by 0<br /> #0: f(x=0)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> Evidentemente, el punto x = 0 no está en el dominio, pues el denominador se hace cero<br /> (y Maxima nos da el error anterior).<br /> Valores de f(n)<br /> Podríamos calcular uno a uno los valores de f(n) pero es más rápido, como<br /> vimos en el tema anterior, utilizar la función “map”, que es especialmente apropiada<br /> para crear tablas de valores:<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %o4)<br /> [100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900; 1000; 1100; 1200; 1300; 1400; 1500]<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %o5)<br /> �<br /> 9991<br /> 100<br /> ;<br /> 39991<br /> 200<br /> ;<br /> 29997<br /> 100<br /> ;<br /> 159991<br /> 400<br /> ;<br /> 249991<br /> 500<br /> ;<br /> 119997<br /> 200<br /> ;<br /> 489991<br /> 700<br /> ;<br /> 639991<br /> 800<br /> ;<br /> 89999<br /> 100<br /> ;<br /> 999991<br /> 1000<br /> ;<br /> 1209991<br /> 1100<br /> ;<br /> 479997<br /> 400<br /> ;<br /> 16899130( %i6) %,numer;<br /> ( %o6)<br /> [99;909999999999997; 199;95500000000001; 299;97000000000003; 399;97750000000002; 499;982000000000Parece que<br /> l��m<br /> x!+1<br /> f(x) = +1;<br /> pero es mejor confirmarlo con Maxima. Efectivamente:<br /> 119<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> ( %o7)<br /> 1<br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, de hecho<br /> l��m<br /> x!0+<br /> f(x) = 􀀀1 l��m<br /> x!0􀀀<br /> f(x) = +1<br /> ( %i8) limit(f(x),x,0);<br /> ( %o8)<br /> und<br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %o9)<br /> 􀀀1<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> ( %o10)<br /> 1<br /> Por otra parte, f(x) no tiene asíntotas horizontales en +1(como vimos, el límite<br /> es +1) y tampoco en 􀀀1, como vemos ahora:<br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %o11)<br /> 􀀀1<br /> Y, por otro lado, puesto que<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> ( %o12)<br /> 1<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua, de la forma y = 1 � x + a, donde a viene dado por el<br /> siguiente límite:<br /> 120 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> ( %o13)<br /> 0<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> Gráfica<br /> Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se<br /> encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [􀀀20; 20],<br /> y 2 [􀀀20; 100]:<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o14)<br /> Figura A.1: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto a su asíntota oblicua y = x<br /> Derivada y recta tangente<br /> A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y<br /> hallamos f0(a).<br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 2 􀀀<br /> x2 􀀀 9<br /> x2<br /> 121<br /> ( %i16) ratsimp(%);<br /> ( %o16)<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %o17)<br /> 3<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> ( %o18)<br /> 2<br /> Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor<br /> x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene<br /> pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado<br /> de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la<br /> última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la<br /> derivada de f(x)».<br /> También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que<br /> podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos<br /> más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la<br /> derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede<br /> leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)<br /> la derivada (diff ) de f(x)»<br /> Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta<br /> tangente como<br /> y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)<br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %o19)<br /> Df (x) :=<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %o20)<br /> 2<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %o21)<br /> y = 2 (x 􀀀 3)<br /> 122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i22) expand(%);<br /> ( %o22)<br /> y = 2 x 􀀀 6<br /> Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la<br /> gráfica:<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o23)<br /> El resultado se puede apreciar en la figura A.2<br /> Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto su recta tengente en x = 3<br /> Primitiva y área<br /> Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,<br /> tendremos:<br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> ( %o24)<br /> x2<br /> 2<br /> 􀀀 9 log x<br /> Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) &gt; 0 en [3;+1), pues hemos visto que<br /> f(3) = 0 y si x &gt; 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos<br /> 123<br /> (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos<br /> más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida:<br /> Z 4<br /> 3<br /> f(x)dx<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %o25)<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %o26)<br /> x2 􀀀 9<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %o27)<br /> x<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %o28)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %o29)<br /> true<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %o30)<br /> true<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %o31)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %o32)<br /> 􀀀9 log 4 + 9 log 3 +<br /> 7<br /> 2<br /> ( %i33) %,numer;<br /> 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %o33)<br /> 0;910861347933972</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n&diff=944 2011-04-19T11:58:57Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea f(x) = (x^2-9)/x<br /> Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> Calcula una primitiva de f(x).<br /> Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> Puntos de corte<br /> Comenzamos definiendo f(x):<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> ( %o1)<br /> f (x) :=<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> 118 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> ( %o2)<br /> [x = 􀀀3; x = 3]<br /> así que tenemos (􀀀3; 0) y (3; 0). Los puntos de corte con OY verifican x = 0, pero<br /> ( %i3) f(0);<br /> Division by 0<br /> #0: f(x=0)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> Evidentemente, el punto x = 0 no está en el dominio, pues el denominador se hace cero<br /> (y Maxima nos da el error anterior).<br /> Valores de f(n)<br /> Podríamos calcular uno a uno los valores de f(n) pero es más rápido, como<br /> vimos en el tema anterior, utilizar la función “map”, que es especialmente apropiada<br /> para crear tablas de valores:<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %o4)<br /> [100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900; 1000; 1100; 1200; 1300; 1400; 1500]<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %o5)<br /> �<br /> 9991<br /> 100<br /> ;<br /> 39991<br /> 200<br /> ;<br /> 29997<br /> 100<br /> ;<br /> 159991<br /> 400<br /> ;<br /> 249991<br /> 500<br /> ;<br /> 119997<br /> 200<br /> ;<br /> 489991<br /> 700<br /> ;<br /> 639991<br /> 800<br /> ;<br /> 89999<br /> 100<br /> ;<br /> 999991<br /> 1000<br /> ;<br /> 1209991<br /> 1100<br /> ;<br /> 479997<br /> 400<br /> ;<br /> 16899130( %i6) %,numer;<br /> ( %o6)<br /> [99;909999999999997; 199;95500000000001; 299;97000000000003; 399;97750000000002; 499;982000000000Parece que<br /> l��m<br /> x!+1<br /> f(x) = +1;<br /> pero es mejor confirmarlo con Maxima. Efectivamente:<br /> 119<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> ( %o7)<br /> 1<br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, de hecho<br /> l��m<br /> x!0+<br /> f(x) = 􀀀1 l��m<br /> x!0􀀀<br /> f(x) = +1<br /> ( %i8) limit(f(x),x,0);<br /> ( %o8)<br /> und<br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %o9)<br /> 􀀀1<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> ( %o10)<br /> 1<br /> Por otra parte, f(x) no tiene asíntotas horizontales en +1(como vimos, el límite<br /> es +1) y tampoco en 􀀀1, como vemos ahora:<br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %o11)<br /> 􀀀1<br /> Y, por otro lado, puesto que<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> ( %o12)<br /> 1<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua, de la forma y = 1 � x + a, donde a viene dado por el<br /> siguiente límite:<br /> 120 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> ( %o13)<br /> 0<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> Gráfica<br /> Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se<br /> encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [􀀀20; 20],<br /> y 2 [􀀀20; 100]:<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o14)<br /> Figura A.1: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto a su asíntota oblicua y = x<br /> Derivada y recta tangente<br /> A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y<br /> hallamos f0(a).<br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 2 􀀀<br /> x2 􀀀 9<br /> x2<br /> 121<br /> ( %i16) ratsimp(%);<br /> ( %o16)<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %o17)<br /> 3<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> ( %o18)<br /> 2<br /> Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor<br /> x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene<br /> pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado<br /> de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la<br /> última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la<br /> derivada de f(x)».<br /> También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que<br /> podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos<br /> más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la<br /> derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede<br /> leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)<br /> la derivada (diff ) de f(x)»<br /> Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta<br /> tangente como<br /> y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)<br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %o19)<br /> Df (x) :=<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %o20)<br /> 2<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %o21)<br /> y = 2 (x 􀀀 3)<br /> 122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i22) expand(%);<br /> ( %o22)<br /> y = 2 x 􀀀 6<br /> Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la<br /> gráfica:<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o23)<br /> El resultado se puede apreciar en la figura A.2<br /> Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto su recta tengente en x = 3<br /> Primitiva y área<br /> Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,<br /> tendremos:<br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> ( %o24)<br /> x2<br /> 2<br /> 􀀀 9 log x<br /> Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) &gt; 0 en [3;+1), pues hemos visto que<br /> f(3) = 0 y si x &gt; 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos<br /> 123<br /> (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos<br /> más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida:<br /> Z 4<br /> 3<br /> f(x)dx<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %o25)<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %o26)<br /> x2 􀀀 9<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %o27)<br /> x<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %o28)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %o29)<br /> true<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %o30)<br /> true<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %o31)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %o32)<br /> 􀀀9 log 4 + 9 log 3 +<br /> 7<br /> 2<br /> ( %i33) %,numer;<br /> 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %o33)<br /> 0;910861347933972</div>

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<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea<br /> f(x) = (x^2-9)/x<br /> Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> Calcula una primitiva de f(x).<br /> Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> Puntos de corte<br /> Comenzamos definiendo f(x):<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> ( %o1)<br /> f (x) :=<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> 118 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> ( %o2)<br /> [x = 􀀀3; x = 3]<br /> así que tenemos (􀀀3; 0) y (3; 0). Los puntos de corte con OY verifican x = 0, pero<br /> ( %i3) f(0);<br /> Division by 0<br /> #0: f(x=0)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> Evidentemente, el punto x = 0 no está en el dominio, pues el denominador se hace cero<br /> (y Maxima nos da el error anterior).<br /> Valores de f(n)<br /> Podríamos calcular uno a uno los valores de f(n) pero es más rápido, como<br /> vimos en el tema anterior, utilizar la función “map”, que es especialmente apropiada<br /> para crear tablas de valores:<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %o4)<br /> [100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900; 1000; 1100; 1200; 1300; 1400; 1500]<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %o5)<br /> �<br /> 9991<br /> 100<br /> ;<br /> 39991<br /> 200<br /> ;<br /> 29997<br /> 100<br /> ;<br /> 159991<br /> 400<br /> ;<br /> 249991<br /> 500<br /> ;<br /> 119997<br /> 200<br /> ;<br /> 489991<br /> 700<br /> ;<br /> 639991<br /> 800<br /> ;<br /> 89999<br /> 100<br /> ;<br /> 999991<br /> 1000<br /> ;<br /> 1209991<br /> 1100<br /> ;<br /> 479997<br /> 400<br /> ;<br /> 16899130( %i6) %,numer;<br /> ( %o6)<br /> [99;909999999999997; 199;95500000000001; 299;97000000000003; 399;97750000000002; 499;982000000000Parece que<br /> l��m<br /> x!+1<br /> f(x) = +1;<br /> pero es mejor confirmarlo con Maxima. Efectivamente:<br /> 119<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> ( %o7)<br /> 1<br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, de hecho<br /> l��m<br /> x!0+<br /> f(x) = 􀀀1 l��m<br /> x!0􀀀<br /> f(x) = +1<br /> ( %i8) limit(f(x),x,0);<br /> ( %o8)<br /> und<br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %o9)<br /> 􀀀1<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> ( %o10)<br /> 1<br /> Por otra parte, f(x) no tiene asíntotas horizontales en +1(como vimos, el límite<br /> es +1) y tampoco en 􀀀1, como vemos ahora:<br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %o11)<br /> 􀀀1<br /> Y, por otro lado, puesto que<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> ( %o12)<br /> 1<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua, de la forma y = 1 � x + a, donde a viene dado por el<br /> siguiente límite:<br /> 120 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> ( %o13)<br /> 0<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> Gráfica<br /> Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se<br /> encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [􀀀20; 20],<br /> y 2 [􀀀20; 100]:<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o14)<br /> Figura A.1: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto a su asíntota oblicua y = x<br /> Derivada y recta tangente<br /> A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y<br /> hallamos f0(a).<br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 2 􀀀<br /> x2 􀀀 9<br /> x2<br /> 121<br /> ( %i16) ratsimp(%);<br /> ( %o16)<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %o17)<br /> 3<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> ( %o18)<br /> 2<br /> Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor<br /> x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene<br /> pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado<br /> de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la<br /> última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la<br /> derivada de f(x)».<br /> También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que<br /> podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos<br /> más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la<br /> derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede<br /> leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)<br /> la derivada (diff ) de f(x)»<br /> Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta<br /> tangente como<br /> y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)<br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %o19)<br /> Df (x) :=<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %o20)<br /> 2<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %o21)<br /> y = 2 (x 􀀀 3)<br /> 122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i22) expand(%);<br /> ( %o22)<br /> y = 2 x 􀀀 6<br /> Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la<br /> gráfica:<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o23)<br /> El resultado se puede apreciar en la figura A.2<br /> Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto su recta tengente en x = 3<br /> Primitiva y área<br /> Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,<br /> tendremos:<br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> ( %o24)<br /> x2<br /> 2<br /> 􀀀 9 log x<br /> Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) &gt; 0 en [3;+1), pues hemos visto que<br /> f(3) = 0 y si x &gt; 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos<br /> 123<br /> (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos<br /> más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida:<br /> Z 4<br /> 3<br /> f(x)dx<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %o25)<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %o26)<br /> x2 􀀀 9<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %o27)<br /> x<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %o28)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %o29)<br /> true<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %o30)<br /> true<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %o31)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %o32)<br /> 􀀀9 log 4 + 9 log 3 +<br /> 7<br /> 2<br /> ( %i33) %,numer;<br /> 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %o33)<br /> 0;910861347933972</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Estudio_de_una_funci%C3%B3n&diff=941 2011-04-19T11:57:19Z

<p>Marjimcru: Página creada con &#039; &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039; Sea f(x) = x2 􀀀 9 x Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 150…&#039;</p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Sea<br /> f(x) =<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas<br /> Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas<br /> que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.<br /> Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).<br /> Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.<br /> Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.<br /> Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.<br /> Calcula una primitiva de f(x).<br /> Sea A el área limitada por la gráfica de f(x) y el eje OX entre x = 3 y x = 4. ¿Es A<br /> mayor que uno?<br /> Puntos de corte<br /> Comenzamos definiendo f(x):<br /> ( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;<br /> ( %o1)<br /> f (x) :=<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> 118 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:<br /> ( %i2) solve(f(x)=0,x);<br /> ( %o2)<br /> [x = 􀀀3; x = 3]<br /> así que tenemos (􀀀3; 0) y (3; 0). Los puntos de corte con OY verifican x = 0, pero<br /> ( %i3) f(0);<br /> Division by 0<br /> #0: f(x=0)<br /> - an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);<br /> Evidentemente, el punto x = 0 no está en el dominio, pues el denominador se hace cero<br /> (y Maxima nos da el error anterior).<br /> Valores de f(n)<br /> Podríamos calcular uno a uno los valores de f(n) pero es más rápido, como<br /> vimos en el tema anterior, utilizar la función “map”, que es especialmente apropiada<br /> para crear tablas de valores:<br /> ( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);<br /> ( %o4)<br /> [100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900; 1000; 1100; 1200; 1300; 1400; 1500]<br /> ( %i5) tabla:map(f,lista);<br /> ( %o5)<br /> �<br /> 9991<br /> 100<br /> ;<br /> 39991<br /> 200<br /> ;<br /> 29997<br /> 100<br /> ;<br /> 159991<br /> 400<br /> ;<br /> 249991<br /> 500<br /> ;<br /> 119997<br /> 200<br /> ;<br /> 489991<br /> 700<br /> ;<br /> 639991<br /> 800<br /> ;<br /> 89999<br /> 100<br /> ;<br /> 999991<br /> 1000<br /> ;<br /> 1209991<br /> 1100<br /> ;<br /> 479997<br /> 400<br /> ;<br /> 16899130( %i6) %,numer;<br /> ( %o6)<br /> [99;909999999999997; 199;95500000000001; 299;97000000000003; 399;97750000000002; 499;982000000000Parece que<br /> l��m<br /> x!+1<br /> f(x) = +1;<br /> pero es mejor confirmarlo con Maxima. Efectivamente:<br /> 119<br /> ( %i7) limit(f(x),x,inf);<br /> ( %o7)<br /> 1<br /> Asíntotas<br /> Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, de hecho<br /> l��m<br /> x!0+<br /> f(x) = 􀀀1 l��m<br /> x!0􀀀<br /> f(x) = +1<br /> ( %i8) limit(f(x),x,0);<br /> ( %o8)<br /> und<br /> ( %i9) limit(f(x),x,0,plus);<br /> ( %o9)<br /> 􀀀1<br /> ( %i10) limit(f(x),x,0,minus);<br /> ( %o10)<br /> 1<br /> Por otra parte, f(x) no tiene asíntotas horizontales en +1(como vimos, el límite<br /> es +1) y tampoco en 􀀀1, como vemos ahora:<br /> ( %i11) limit(f(x),x,minf);<br /> ( %o11)<br /> 􀀀1<br /> Y, por otro lado, puesto que<br /> ( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);<br /> ( %o12)<br /> 1<br /> f(x) tiene una asíntota oblicua, de la forma y = 1 � x + a, donde a viene dado por el<br /> siguiente límite:<br /> 120 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);<br /> ( %o13)<br /> 0<br /> Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.<br /> Gráfica<br /> Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se<br /> encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [􀀀20; 20],<br /> y 2 [􀀀20; 100]:<br /> ( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o14)<br /> Figura A.1: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto a su asíntota oblicua y = x<br /> Derivada y recta tangente<br /> A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y<br /> hallamos f0(a).<br /> ( %i15) diff(f(x),x);<br /> ( %o15)<br /> 2 􀀀<br /> x2 􀀀 9<br /> x2<br /> 121<br /> ( %i16) ratsimp(%);<br /> ( %o16)<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i17) a:3;<br /> ( %o17)<br /> 3<br /> ( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;<br /> ( %o18)<br /> 2<br /> Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor<br /> x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene<br /> pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado<br /> de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la<br /> última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la<br /> derivada de f(x)».<br /> También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que<br /> podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos<br /> más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la<br /> derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede<br /> leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)<br /> la derivada (diff ) de f(x)»<br /> Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta<br /> tangente como<br /> y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)<br /> ( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));<br /> ( %o19)<br /> Df (x) :=<br /> x2 + 9<br /> x2<br /> ( %i20) m:Df(a);<br /> ( %o20)<br /> 2<br /> ( %i21) y-f(a)=m*(x-a);<br /> ( %o21)<br /> y = 2 (x 􀀀 3)<br /> 122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %i22) expand(%);<br /> ( %o22)<br /> y = 2 x 􀀀 6<br /> Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la<br /> gráfica:<br /> ( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,&quot;set<br /> zeroaxis;&quot;]);<br /> ( %o23)<br /> El resultado se puede apreciar en la figura A.2<br /> Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9<br /> 2 junto su recta tengente en x = 3<br /> Primitiva y área<br /> Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,<br /> tendremos:<br /> ( %i24) integrate(f(x),x);<br /> ( %o24)<br /> x2<br /> 2<br /> 􀀀 9 log x<br /> Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) &gt; 0 en [3;+1), pues hemos visto que<br /> f(3) = 0 y si x &gt; 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos<br /> 123<br /> (en Maxima esto se puede comprobar con las órdenes “assume” e “is”, como vemos<br /> más abajo). Por lo tanto, el área del recinto coincide con la siguiente integral definida:<br /> Z 4<br /> 3<br /> f(x)dx<br /> ( %i25) f(x);<br /> ( %o25)<br /> x2 􀀀 9<br /> x<br /> ( %i26) numerador:num(f(x));<br /> ( %o26)<br /> x2 􀀀 9<br /> ( %i27) denominador:denom(f(x));<br /> ( %o27)<br /> x<br /> ( %i28) assume(x&gt;3);<br /> ( %o28)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i29) is(numerador&gt;0);<br /> ( %o29)<br /> true<br /> ( %i30) is(denominador&gt;0);<br /> ( %o30)<br /> true<br /> ( %i31) forget(x&gt;3);<br /> ( %o31)<br /> [x &gt; 3]<br /> ( %i32) integrate(f(x),x,3,4);<br /> ( %o32)<br /> 􀀀9 log 4 + 9 log 3 +<br /> 7<br /> 2<br /> ( %i33) %,numer;<br /> 124 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función<br /> ( %o33)<br /> 0;910861347933972</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Ejercicios_libres&diff=938 2011-04-19T11:32:59Z

<p>Marjimcru: </p> <hr /> <div>En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.<br /> <br /> == Ejercicios ==<br /> * [[El factorial de 100]].<br /> * [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].<br /> * [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].<br /> * [[Definir y dibujar una función]].<br /> * [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].<br /> * [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].<br /> * [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].<br /> * [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].<br /> * [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].<br /> * [[Problema 12 del proyecto Euler]].<br /> * [[Problema 20 del proyecto Euler]].<br /> * [[Estudio de una función]].</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Problema_20_del_proyecto_Euler&diff=937 2011-04-19T11:20:40Z

<p>Marjimcru: Página creada con &#039; &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039; n ! significa n ( n 1) ... 3 2 1 Por ejemplo, 10! = 109 ... 3 2 1 = 3.628.800, y la suma de los dígitos en el número 10! es de 3 + 6 + 2 + 8 + 8 + 0 + 0 = …&#039;</p> <hr /> <div> &#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039;<br /> n ! significa n ( n 1) ... 3 2 1<br /> <br /> Por ejemplo, 10! = 109 ... 3 2 1 = 3.628.800,<br /> y la suma de los dígitos en el número 10! es de 3 + 6 + 2 + 8 + 8 + 0 + 0 = 27.<br /> <br /> Encuentra la suma de los dígitos en el número 100!<br /> <br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) set_display(ascii);<br /> (%i2) suma(n):=block([aux,sol],<br /> aux : n!,<br /> sol : 0,<br /> while aux&gt;=10 do<br /> (sol : sol + mod(sol,10),<br /> aux : gcd(aux,10)),<br /> print(sol))$<br /> suma(100);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Ejercicios_libres&diff=936 2011-04-19T11:19:00Z

<p>Marjimcru: /* Ejercicios */</p> <hr /> <div>En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.<br /> <br /> == Ejercicios ==<br /> * [[El factorial de 100]].<br /> * [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].<br /> * [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].<br /> * [[Definir y dibujar una función]].<br /> * [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].<br /> * [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].<br /> * [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].<br /> * [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].<br /> * [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].<br /> * [[Problema 12 del proyecto Euler]].<br /> * [[Problema 20 del proyecto Euler]].</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Problema_12_del_proyecto_Euler&diff=935 2011-04-19T11:15:04Z

<p>Marjimcru: Página creada con &#039;&#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039; La secuencia de los números del triángulo se genera mediante la adición de los números naturales. Así que el 7 º número triángulo sería de 1 + 2 + 3 +…&#039;</p> <hr /> <div>&#039;&#039;&#039;Enunciado: &#039;&#039;&#039; La secuencia de los números del triángulo se genera mediante la adición de los números naturales. Así que el 7 º número triángulo sería de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Los diez primeros términos sería:<br /> <br /> 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...<br /> <br /> Vamos a enumerar los factores de los números triángulo siete primeros:<br /> <br /> 1 : 1<br /> 3 : 1,3<br /> 6 : 1,2,3,6<br /> 10 : 1,2,5,10<br /> 15 : 1,3,5,15<br /> 21 : 1,3,7,21<br /> 28 : 1,2,4,7,14,28<br /> Podemos ver que el 28 es el número primer triángulo de tener más de cinco divisores.<br /> <br /> ¿Cuál es el valor del número de primer triángulo de tener más de quinientos divisores?<br /> <br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución: &#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) sumandos(n):=block([ac,suma],<br /> ac : 2,<br /> suma : 1,<br /> while length(divisors(suma))&lt;=n do<br /> (suma : suma + ac,<br /> ac: ac + 1),<br /> print(suma))$<br /> <br /> sumandos(500);</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Ejercicios_libres&diff=933 2011-04-19T11:06:14Z

<p>Marjimcru: /* Ejercicios */</p> <hr /> <div>En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.<br /> <br /> == Ejercicios ==<br /> * [[El factorial de 100]].<br /> * [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].<br /> * [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].<br /> * [[Definir y dibujar una función]].<br /> * [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].<br /> * [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].<br /> * [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].<br /> * [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].<br /> * [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].<br /> * [[Problema 12 del proyecto Euler]].</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Ejercicios_de_introducci%C3%B3n_a_Maxima&diff=678 2011-04-01T21:24:51Z

<p>Marjimcru: /* Ejercicio 7 */</p> <hr /> <div>__NOTOC__<br /> &#039;&#039;&#039;Funciones y variables a utilizar:&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;float&#039;&#039;, &#039;&#039;is&#039;&#039;, &#039;&#039;expand&#039;&#039;, &#039;&#039;fpprec&#039;&#039;, &#039;&#039;bfloat&#039;&#039;, &#039;&#039;solve&#039;&#039;, &#039;&#039;factor&#039;&#039;, &#039;&#039;rectform&#039;&#039;, &#039;&#039;abs&#039;&#039;, &#039;&#039;carg&#039;&#039;, &#039;&#039;plot2D&#039;&#039; y &#039;&#039;find_root&#039;&#039;.<br /> <br /> == Ejercicio 1 ==<br /> === Ejercicio 1.1 ===<br /> Definir la constante &lt;math&gt;a = (20+14\sqrt{2})^{1/3} + (20-14\sqrt{2})^{1/3}&lt;/math&gt;.<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%1) a : (20+14*sqrt(2))^(1/3) + (20-14*sqrt(2))^(1/3)$<br /> <br /> === Ejercicio 1.2 ===<br /> Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) float(a);<br /> (%o1) 3.999999999999996<br /> <br /> == Ejercicio 2 ==<br /> Ejercicio 2. Escribir el número &lt;math&gt;\left(sin\frac{\pi}{3}+cos\frac{\pi}{3}\right)^9&lt;/math&gt; en la forma &lt;math&gt;a + b \ast c^d&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;a, b, c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; son números racionales.<br /> <br /> &#039;&#039;Nota&#039;&#039;: Cambiar el valor de la variable &#039;&#039;%piargs&#039;&#039; a &#039;&#039;true&#039;&#039; y usar &#039;&#039;radcan&#039;&#039; para la simplificación de radicales.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 3 ==<br /> Calcular la cifra 149 del número &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) fpprec : 149;<br /> (%o1) 149<br /> (%i2) bfloat(1000*%pi);<br /> (%02) 3.1415926535897932384626433832[92 digits]0938446095505822317253594081b3<br /> <br /> Cifra 149: 1<br /> <br /> == Ejercicio 4 ==<br /> Se considera el polinomio &lt;math&gt;p = x^4-x^3-7x^2-8x-6&lt;/math&gt;.<br /> (%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> <br /> === Ejercicio 4.1. ===<br /> Calcular las raices reales de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> &lt;math&gt;x=1-\sqrt(7), x=1+\sqrt(7)&lt;/math&gt;<br /> <br /> Comentario de J.A. Alonso: En la solución hay que escribir la sesión con Maxima.<br /> <br /> Ok, éste es el proceso y de todas las soluciones posibles tomo las reales.<br /> <br /> (%o1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> solve(p);<br /> <br /> (%o2) [x=1-sqrt(7),x=sqrt(7)+1,x=-(sqrt(3)*%i+1)/2,x=(sqrt(3)*%i-1)/2]<br /> <br /> &lt;math&gt;x=1-\sqrt(7),x=1+\sqrt(7),x=-(\sqrt(3)i+1)/2,x=(\sqrt(3)i-1)/2&lt;/math&gt;<br /> <br /> === Ejercicio 4.2 ===<br /> Factorizar al máximo el polinomio &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> &lt;math&gt;(x^2-2x-6)(x^2+x+1)&lt;/math&gt;<br /> <br /> Comentario de J.A. Alonso: En la solución hay que escribir la sesión con Maxima.<br /> <br /> Ok, en Maxima sería:<br /> <br /> (%o3) factor(p);<br /> (x^2-2*x-6)*(x^2+x+1)<br /> <br /> &lt;math&gt;(x^2-2x-6)(x^2+x+1)&lt;/math&gt;<br /> <br /> == Ejercicio 5 ==<br /> Sea &lt;math&gt;z=\left(\frac{1-i\sqrt 3}{1+i}\right)^{20}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> (%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$<br /> <br /> === Ejercicio 5.1 === <br /> Calcular la parte real y la parte imaginaria de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> La parte real sería:<br /> (%i1) realpart(z);<br /> <br /> La parte imaginaria sería:<br /> (%i2) imagpart(z);<br /> <br /> === Ejercicio 5.2 === <br /> Calcular el módulo y el argumento de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> El módulo sería:<br /> (%i1) abs(Z);<br /> <br /> El argumento sería:<br /> (%i2) carg(z);<br /> <br /> == Ejercicio 6 ==<br /> <br /> === Ejercicio 6.1 === <br /> Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación<br /> :&lt;math&gt;\sin x=1-x^4&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> La representación sería : <br /> (%i1) plot2d([sin(x)-1+x^4],[x,-100,100],[y,-10,10]);<br /> <br /> === Ejercicio 6.2 === <br /> Dar una aproximación de cada solución.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) solve(sin(x)-1+x^4=0);<br /> <br /> Las soluciones obtenidas son:<br /> [x=%i*(1-sin(x))^(1/4),x=-(1-sin(x))^(1/4),x=-%i*(1-sin(x))^(1/4),x=(1-sin(x))^(1/4)]<br /> <br /> == Ejercicio 7 ==<br /> Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros <br /> &lt;math&gt;a, b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;:<br /> :&lt;math&gt;<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> x+ay+a^2 z=0 \\<br /> x+by+b^2 z=0 \\<br /> x+cy+c^2z=1<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> Esto se resuelve de la siguiente manera:<br /> (%i1) a1:x+a*y+a^2*z=0;<br /> (%i2) a2:x+b*y+b^2*z=0;<br /> (%i3) a3:x+c*y+c^2*z=1;<br /> (%i4) linsolve([a1,a2,a3], [x,y,z]);<br /> <br /> Y obtenemos las soluciones siguientes:<br /> (%i5) a^2*z+a*y+x=0<br /> (%i6) b^2*z+b*y+x=0<br /> (%i7) c^2*z+c*y+x=1<br /> (%i8) [x=(a*b)/(c^2-b*c+a*(b-c)),y=-(b+a)/(c^2-b*c+a*(b-c)),z=1/(c^2-b*c+a*(b-c))]</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Ejercicios_de_introducci%C3%B3n_a_Maxima&diff=677 2011-04-01T20:52:50Z

<p>Marjimcru: /* Ejercicio 6.2 */</p> <hr /> <div>__NOTOC__<br /> &#039;&#039;&#039;Funciones y variables a utilizar:&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;float&#039;&#039;, &#039;&#039;is&#039;&#039;, &#039;&#039;expand&#039;&#039;, &#039;&#039;fpprec&#039;&#039;, &#039;&#039;bfloat&#039;&#039;, &#039;&#039;solve&#039;&#039;, &#039;&#039;factor&#039;&#039;, &#039;&#039;rectform&#039;&#039;, &#039;&#039;abs&#039;&#039;, &#039;&#039;carg&#039;&#039;, &#039;&#039;plot2D&#039;&#039; y &#039;&#039;find_root&#039;&#039;.<br /> <br /> == Ejercicio 1 ==<br /> === Ejercicio 1.1 ===<br /> Definir la constante &lt;math&gt;a = (20+14\sqrt{2})^{1/3} + (20-14\sqrt{2})^{1/3}&lt;/math&gt;.<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%1) a : (20+14*sqrt(2))^(1/3) + (20-14*sqrt(2))^(1/3)$<br /> <br /> === Ejercicio 1.2 ===<br /> Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) float(a);<br /> (%o1) 3.999999999999996<br /> <br /> == Ejercicio 2 ==<br /> Ejercicio 2. Escribir el número &lt;math&gt;\left(sin\frac{\pi}{3}+cos\frac{\pi}{3}\right)^9&lt;/math&gt; en la forma &lt;math&gt;a + b \ast c^d&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;a, b, c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; son números racionales.<br /> <br /> &#039;&#039;Nota&#039;&#039;: Cambiar el valor de la variable &#039;&#039;%piargs&#039;&#039; a &#039;&#039;true&#039;&#039; y usar &#039;&#039;radcan&#039;&#039; para la simplificación de radicales.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 3 ==<br /> Calcular la cifra 149 del número &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) fpprec : 149;<br /> (%o1) 149<br /> (%i2) bfloat(1000*%pi);<br /> (%02) 3.1415926535897932384626433832[92 digits]0938446095505822317253594081b3<br /> <br /> Cifra 149: 1<br /> <br /> == Ejercicio 4 ==<br /> Se considera el polinomio &lt;math&gt;p = x^4-x^3-7x^2-8x-6&lt;/math&gt;.<br /> (%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> <br /> === Ejercicio 4.1. ===<br /> Calcular las raices reales de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> &lt;math&gt;x=1-\sqrt(7), x=1+\sqrt(7)&lt;/math&gt;<br /> <br /> Comentario de J.A. Alonso: En la solución hay que escribir la sesión con Maxima.<br /> <br /> Ok, éste es el proceso y de todas las soluciones posibles tomo las reales.<br /> <br /> (%o1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> solve(p);<br /> <br /> (%o2) [x=1-sqrt(7),x=sqrt(7)+1,x=-(sqrt(3)*%i+1)/2,x=(sqrt(3)*%i-1)/2]<br /> <br /> &lt;math&gt;x=1-\sqrt(7),x=1+\sqrt(7),x=-(\sqrt(3)i+1)/2,x=(\sqrt(3)i-1)/2&lt;/math&gt;<br /> <br /> === Ejercicio 4.2 ===<br /> Factorizar al máximo el polinomio &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> &lt;math&gt;(x^2-2x-6)(x^2+x+1)&lt;/math&gt;<br /> <br /> Comentario de J.A. Alonso: En la solución hay que escribir la sesión con Maxima.<br /> <br /> Ok, en Maxima sería:<br /> <br /> (%o3) factor(p);<br /> (x^2-2*x-6)*(x^2+x+1)<br /> <br /> &lt;math&gt;(x^2-2x-6)(x^2+x+1)&lt;/math&gt;<br /> <br /> == Ejercicio 5 ==<br /> Sea &lt;math&gt;z=\left(\frac{1-i\sqrt 3}{1+i}\right)^{20}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> (%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$<br /> <br /> === Ejercicio 5.1 === <br /> Calcular la parte real y la parte imaginaria de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> La parte real sería:<br /> (%i1) realpart(z);<br /> <br /> La parte imaginaria sería:<br /> (%i2) imagpart(z);<br /> <br /> === Ejercicio 5.2 === <br /> Calcular el módulo y el argumento de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> El módulo sería:<br /> (%i1) abs(Z);<br /> <br /> El argumento sería:<br /> (%i2) carg(z);<br /> <br /> == Ejercicio 6 ==<br /> <br /> === Ejercicio 6.1 === <br /> Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación<br /> :&lt;math&gt;\sin x=1-x^4&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> La representación sería : <br /> (%i1) plot2d([sin(x)-1+x^4],[x,-100,100],[y,-10,10]);<br /> <br /> === Ejercicio 6.2 === <br /> Dar una aproximación de cada solución.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) solve(sin(x)-1+x^4=0);<br /> <br /> Las soluciones obtenidas son:<br /> [x=%i*(1-sin(x))^(1/4),x=-(1-sin(x))^(1/4),x=-%i*(1-sin(x))^(1/4),x=(1-sin(x))^(1/4)]<br /> <br /> == Ejercicio 7 ==<br /> Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros <br /> &lt;math&gt;a, b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;:<br /> :&lt;math&gt;<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> x+ay+a^2 z=0 \\<br /> x+by+b^2 z=0 \\<br /> x+cy+c^2z=1<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div>

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<p>Marjimcru: /* Ejercicio 6.1 */</p> <hr /> <div>__NOTOC__<br /> &#039;&#039;&#039;Funciones y variables a utilizar:&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;float&#039;&#039;, &#039;&#039;is&#039;&#039;, &#039;&#039;expand&#039;&#039;, &#039;&#039;fpprec&#039;&#039;, &#039;&#039;bfloat&#039;&#039;, &#039;&#039;solve&#039;&#039;, &#039;&#039;factor&#039;&#039;, &#039;&#039;rectform&#039;&#039;, &#039;&#039;abs&#039;&#039;, &#039;&#039;carg&#039;&#039;, &#039;&#039;plot2D&#039;&#039; y &#039;&#039;find_root&#039;&#039;.<br /> <br /> == Ejercicio 1 ==<br /> === Ejercicio 1.1 ===<br /> Definir la constante &lt;math&gt;a = (20+14\sqrt{2})^{1/3} + (20-14\sqrt{2})^{1/3}&lt;/math&gt;.<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%1) a : (20+14*sqrt(2))^(1/3) + (20-14*sqrt(2))^(1/3)$<br /> <br /> === Ejercicio 1.2 ===<br /> Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) float(a);<br /> (%o1) 3.999999999999996<br /> <br /> == Ejercicio 2 ==<br /> Ejercicio 2. Escribir el número &lt;math&gt;\left(sin\frac{\pi}{3}+cos\frac{\pi}{3}\right)^9&lt;/math&gt; en la forma &lt;math&gt;a + b \ast c^d&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;a, b, c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; son números racionales.<br /> <br /> &#039;&#039;Nota&#039;&#039;: Cambiar el valor de la variable &#039;&#039;%piargs&#039;&#039; a &#039;&#039;true&#039;&#039; y usar &#039;&#039;radcan&#039;&#039; para la simplificación de radicales.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 3 ==<br /> Calcular la cifra 149 del número &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) fpprec : 149;<br /> (%o1) 149<br /> (%i2) bfloat(1000*%pi);<br /> (%02) 3.1415926535897932384626433832[92 digits]0938446095505822317253594081b3<br /> <br /> Cifra 149: 1<br /> <br /> == Ejercicio 4 ==<br /> Se considera el polinomio &lt;math&gt;p = x^4-x^3-7x^2-8x-6&lt;/math&gt;.<br /> (%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> <br /> === Ejercicio 4.1. ===<br /> Calcular las raices reales de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> &lt;math&gt;x=1-\sqrt(7), x=1+\sqrt(7)&lt;/math&gt;<br /> <br /> Comentario de J.A. Alonso: En la solución hay que escribir la sesión con Maxima.<br /> <br /> Ok, éste es el proceso y de todas las soluciones posibles tomo las reales.<br /> <br /> (%o1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> solve(p);<br /> <br /> (%o2) [x=1-sqrt(7),x=sqrt(7)+1,x=-(sqrt(3)*%i+1)/2,x=(sqrt(3)*%i-1)/2]<br /> <br /> &lt;math&gt;x=1-\sqrt(7),x=1+\sqrt(7),x=-(\sqrt(3)i+1)/2,x=(\sqrt(3)i-1)/2&lt;/math&gt;<br /> <br /> === Ejercicio 4.2 ===<br /> Factorizar al máximo el polinomio &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> &lt;math&gt;(x^2-2x-6)(x^2+x+1)&lt;/math&gt;<br /> <br /> Comentario de J.A. Alonso: En la solución hay que escribir la sesión con Maxima.<br /> <br /> Ok, en Maxima sería:<br /> <br /> (%o3) factor(p);<br /> (x^2-2*x-6)*(x^2+x+1)<br /> <br /> &lt;math&gt;(x^2-2x-6)(x^2+x+1)&lt;/math&gt;<br /> <br /> == Ejercicio 5 ==<br /> Sea &lt;math&gt;z=\left(\frac{1-i\sqrt 3}{1+i}\right)^{20}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> (%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$<br /> <br /> === Ejercicio 5.1 === <br /> Calcular la parte real y la parte imaginaria de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> La parte real sería:<br /> (%i1) realpart(z);<br /> <br /> La parte imaginaria sería:<br /> (%i2) imagpart(z);<br /> <br /> === Ejercicio 5.2 === <br /> Calcular el módulo y el argumento de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> El módulo sería:<br /> (%i1) abs(Z);<br /> <br /> El argumento sería:<br /> (%i2) carg(z);<br /> <br /> == Ejercicio 6 ==<br /> <br /> === Ejercicio 6.1 === <br /> Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación<br /> :&lt;math&gt;\sin x=1-x^4&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> La representación sería : <br /> (%i1) plot2d([sin(x)-1+x^4],[x,-100,100],[y,-10,10]);<br /> <br /> === Ejercicio 6.2 === <br /> Dar una aproximación de cada solución.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 7 ==<br /> Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros <br /> &lt;math&gt;a, b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;:<br /> :&lt;math&gt;<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> x+ay+a^2 z=0 \\<br /> x+by+b^2 z=0 \\<br /> x+cy+c^2z=1<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div>

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<p>Marjimcru: /* Ejercicio 5.2 */</p> <hr /> <div>__NOTOC__<br /> &#039;&#039;&#039;Funciones y variables a utilizar:&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;float&#039;&#039;, &#039;&#039;is&#039;&#039;, &#039;&#039;expand&#039;&#039;, &#039;&#039;fpprec&#039;&#039;, &#039;&#039;bfloat&#039;&#039;, &#039;&#039;solve&#039;&#039;, &#039;&#039;factor&#039;&#039;, &#039;&#039;rectform&#039;&#039;, &#039;&#039;abs&#039;&#039;, &#039;&#039;carg&#039;&#039;, &#039;&#039;plot2D&#039;&#039; y &#039;&#039;find_root&#039;&#039;.<br /> <br /> == Ejercicio 1 ==<br /> === Ejercicio 1.1 ===<br /> Definir la constante &lt;math&gt;a = (20+14\sqrt{2})^{1/3} + (20-14\sqrt{2})^{1/3}&lt;/math&gt;.<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%1) a : (20+14*sqrt(2))^(1/3) + (20-14*sqrt(2))^(1/3)$<br /> <br /> === Ejercicio 1.2 ===<br /> Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) float(a);<br /> (%o1) 3.999999999999996<br /> <br /> == Ejercicio 2 ==<br /> Ejercicio 2. Escribir el número &lt;math&gt;\left(sin\frac{\pi}{3}+cos\frac{\pi}{3}\right)^9&lt;/math&gt; en la forma &lt;math&gt;a + b \ast c^d&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;a, b, c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; son números racionales.<br /> <br /> &#039;&#039;Nota&#039;&#039;: Cambiar el valor de la variable &#039;&#039;%piargs&#039;&#039; a &#039;&#039;true&#039;&#039; y usar &#039;&#039;radcan&#039;&#039; para la simplificación de radicales.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 3 ==<br /> Calcular la cifra 149 del número &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) fpprec : 149;<br /> (%o1) 149<br /> (%i2) bfloat(1000*%pi);<br /> (%02) 3.1415926535897932384626433832[92 digits]0938446095505822317253594081b3<br /> <br /> Cifra 149: 1<br /> <br /> == Ejercicio 4 ==<br /> Se considera el polinomio &lt;math&gt;p = x^4-x^3-7x^2-8x-6&lt;/math&gt;.<br /> (%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> <br /> === Ejercicio 4.1. ===<br /> Calcular las raices reales de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> &lt;math&gt;x=1-\sqrt(7), x=1+\sqrt(7)&lt;/math&gt;<br /> <br /> Comentario de J.A. Alonso: En la solución hay que escribir la sesión con Maxima.<br /> <br /> Ok, éste es el proceso y de todas las soluciones posibles tomo las reales.<br /> <br /> (%o1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> solve(p);<br /> <br /> (%o2) [x=1-sqrt(7),x=sqrt(7)+1,x=-(sqrt(3)*%i+1)/2,x=(sqrt(3)*%i-1)/2]<br /> <br /> &lt;math&gt;x=1-\sqrt(7),x=1+\sqrt(7),x=-(\sqrt(3)i+1)/2,x=(\sqrt(3)i-1)/2&lt;/math&gt;<br /> <br /> === Ejercicio 4.2 ===<br /> Factorizar al máximo el polinomio &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> &lt;math&gt;(x^2-2x-6)(x^2+x+1)&lt;/math&gt;<br /> <br /> Comentario de J.A. Alonso: En la solución hay que escribir la sesión con Maxima.<br /> <br /> Ok, en Maxima sería:<br /> <br /> (%o3) factor(p);<br /> (x^2-2*x-6)*(x^2+x+1)<br /> <br /> &lt;math&gt;(x^2-2x-6)(x^2+x+1)&lt;/math&gt;<br /> <br /> == Ejercicio 5 ==<br /> Sea &lt;math&gt;z=\left(\frac{1-i\sqrt 3}{1+i}\right)^{20}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> (%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$<br /> <br /> === Ejercicio 5.1 === <br /> Calcular la parte real y la parte imaginaria de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> La parte real sería:<br /> (%i1) realpart(z);<br /> <br /> La parte imaginaria sería:<br /> (%i2) imagpart(z);<br /> <br /> === Ejercicio 5.2 === <br /> Calcular el módulo y el argumento de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> El módulo sería:<br /> (%i1) abs(Z);<br /> <br /> El argumento sería:<br /> (%i2) carg(z);<br /> <br /> == Ejercicio 6 ==<br /> <br /> === Ejercicio 6.1 === <br /> Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación<br /> :&lt;math&gt;\sin x=1-x^4&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> === Ejercicio 6.2 === <br /> Dar una aproximación de cada solución.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 7 ==<br /> Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros <br /> &lt;math&gt;a, b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;:<br /> :&lt;math&gt;<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> x+ay+a^2 z=0 \\<br /> x+by+b^2 z=0 \\<br /> x+cy+c^2z=1<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div>

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<p>Marjimcru: /* Ejercicio 5.1 */</p> <hr /> <div>__NOTOC__<br /> &#039;&#039;&#039;Funciones y variables a utilizar:&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;float&#039;&#039;, &#039;&#039;is&#039;&#039;, &#039;&#039;expand&#039;&#039;, &#039;&#039;fpprec&#039;&#039;, &#039;&#039;bfloat&#039;&#039;, &#039;&#039;solve&#039;&#039;, &#039;&#039;factor&#039;&#039;, &#039;&#039;rectform&#039;&#039;, &#039;&#039;abs&#039;&#039;, &#039;&#039;carg&#039;&#039;, &#039;&#039;plot2D&#039;&#039; y &#039;&#039;find_root&#039;&#039;.<br /> <br /> == Ejercicio 1 ==<br /> === Ejercicio 1.1 ===<br /> Definir la constante &lt;math&gt;a = (20+14\sqrt{2})^{1/3} + (20-14\sqrt{2})^{1/3}&lt;/math&gt;.<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%1) a : (20+14*sqrt(2))^(1/3) + (20-14*sqrt(2))^(1/3)$<br /> <br /> === Ejercicio 1.2 ===<br /> Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) float(a);<br /> (%o1) 3.999999999999996<br /> <br /> == Ejercicio 2 ==<br /> Ejercicio 2. Escribir el número &lt;math&gt;\left(sin\frac{\pi}{3}+cos\frac{\pi}{3}\right)^9&lt;/math&gt; en la forma &lt;math&gt;a + b \ast c^d&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;a, b, c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; son números racionales.<br /> <br /> &#039;&#039;Nota&#039;&#039;: Cambiar el valor de la variable &#039;&#039;%piargs&#039;&#039; a &#039;&#039;true&#039;&#039; y usar &#039;&#039;radcan&#039;&#039; para la simplificación de radicales.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 3 ==<br /> Calcular la cifra 149 del número &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) fpprec : 149;<br /> (%o1) 149<br /> (%i2) bfloat(1000*%pi);<br /> (%02) 3.1415926535897932384626433832[92 digits]0938446095505822317253594081b3<br /> <br /> Cifra 149: 1<br /> <br /> == Ejercicio 4 ==<br /> Se considera el polinomio &lt;math&gt;p = x^4-x^3-7x^2-8x-6&lt;/math&gt;.<br /> (%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> <br /> === Ejercicio 4.1. ===<br /> Calcular las raices reales de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> &lt;math&gt;x=1-\sqrt(7), x=1+\sqrt(7)&lt;/math&gt;<br /> <br /> Comentario de J.A. Alonso: En la solución hay que escribir la sesión con Maxima.<br /> <br /> Ok, éste es el proceso y de todas las soluciones posibles tomo las reales.<br /> <br /> (%o1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> solve(p);<br /> <br /> (%o2) [x=1-sqrt(7),x=sqrt(7)+1,x=-(sqrt(3)*%i+1)/2,x=(sqrt(3)*%i-1)/2]<br /> <br /> &lt;math&gt;x=1-\sqrt(7),x=1+\sqrt(7),x=-(\sqrt(3)i+1)/2,x=(\sqrt(3)i-1)/2&lt;/math&gt;<br /> <br /> === Ejercicio 4.2 ===<br /> Factorizar al máximo el polinomio &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> &lt;math&gt;(x^2-2x-6)(x^2+x+1)&lt;/math&gt;<br /> <br /> Comentario de J.A. Alonso: En la solución hay que escribir la sesión con Maxima.<br /> <br /> Ok, en Maxima sería:<br /> <br /> (%o3) factor(p);<br /> (x^2-2*x-6)*(x^2+x+1)<br /> <br /> &lt;math&gt;(x^2-2x-6)(x^2+x+1)&lt;/math&gt;<br /> <br /> == Ejercicio 5 ==<br /> Sea &lt;math&gt;z=\left(\frac{1-i\sqrt 3}{1+i}\right)^{20}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> (%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$<br /> <br /> === Ejercicio 5.1 === <br /> Calcular la parte real y la parte imaginaria de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> La parte real sería:<br /> (%i1) realpart(z);<br /> <br /> La parte imaginaria sería:<br /> (%i2) imagpart(z);<br /> <br /> === Ejercicio 5.2 === <br /> Calcular el módulo y el argumento de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 6 ==<br /> <br /> === Ejercicio 6.1 === <br /> Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación<br /> :&lt;math&gt;\sin x=1-x^4&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> === Ejercicio 6.2 === <br /> Dar una aproximación de cada solución.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 7 ==<br /> Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros <br /> &lt;math&gt;a, b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;:<br /> :&lt;math&gt;<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> x+ay+a^2 z=0 \\<br /> x+by+b^2 z=0 \\<br /> x+cy+c^2z=1<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div>

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<p>Marjimcru: Página creada con &#039;María de los Ángeles Jiménez Cruz&#039;</p> <hr /> <div>María de los Ángeles Jiménez Cruz</div>

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<p>Marjimcru: /* Ejercicio 1.2 */</p> <hr /> <div>__NOTOC__<br /> &#039;&#039;&#039;Funciones y variables a utilizar:&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;float&#039;&#039;, &#039;&#039;is&#039;&#039;, &#039;&#039;expand&#039;&#039;, &#039;&#039;fpprec&#039;&#039;, &#039;&#039;bfloat&#039;&#039;, &#039;&#039;solve&#039;&#039;, &#039;&#039;factor&#039;&#039;, &#039;&#039;rectform&#039;&#039;, &#039;&#039;abs&#039;&#039;, &#039;&#039;carg&#039;&#039;, &#039;&#039;plot2D&#039;&#039; y &#039;&#039;find_root&#039;&#039;.<br /> <br /> == Ejercicio 1 ==<br /> === Ejercicio 1.1 ===<br /> Definir la constante &lt;math&gt;a = (20+14\sqrt{2})^{1/3} + (20-14\sqrt{2})^{1/3}&lt;/math&gt;.<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%1) a : (20+14*sqrt(2))^(1/3) + (20-14*sqrt(2))^(1/3)$<br /> <br /> === Ejercicio 1.2 ===<br /> Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%i1) float(a);<br /> (%o1) 3.999999999999996<br /> <br /> == Ejercicio 2 ==<br /> Ejercicio 2. Escribir el número &lt;math&gt;\left(sin\frac{\pi}{3}+cos\frac{\pi}{3}\right)^9&lt;/math&gt; en la forma &lt;math&gt;a + b \ast c^d&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;a, b, c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; son números racionales.<br /> <br /> &#039;&#039;Nota&#039;&#039;: Cambiar el valor de la variable &#039;&#039;%piargs&#039;&#039; a &#039;&#039;true&#039;&#039; y usar &#039;&#039;radcan&#039;&#039; para la simplificación de radicales.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 3 ==<br /> Calcular la cifra 149 del número &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 4 ==<br /> Se considera el polinomio &lt;math&gt;p = x^4-x^3-7x^2-8x-6&lt;/math&gt;.<br /> (%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> <br /> === Ejercicio 4.1. ===<br /> Calcular las raices reales de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> === Ejercicio 4.2 ===<br /> Factorizar al máximo el polinomio &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 5 ==<br /> Sea &lt;math&gt;z=\left(\frac{1-i\sqrt 3}{1+i}\right)^{20}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> (%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$<br /> <br /> === Ejercicio 5.1 === <br /> Calcular la parte real y la parte imaginaria de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> === Ejercicio 5.2 === <br /> Calcular el módulo y el argumento de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 6 ==<br /> <br /> === Ejercicio 6.1 === <br /> Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación<br /> :&lt;math&gt;\sin x=1-x^4&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> === Ejercicio 6.2 === <br /> Dar una aproximación de cada solución.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 7 ==<br /> Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros <br /> &lt;math&gt;a, b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;:<br /> :&lt;math&gt;<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> x+ay+a^2 z=0 \\<br /> x+by+b^2 z=0 \\<br /> x+cy+c^2z=1<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Ejercicios_de_introducci%C3%B3n_a_Maxima&diff=644 2011-03-31T14:16:48Z

<p>Marjimcru: /* Ejercicio 1.1 */</p> <hr /> <div>__NOTOC__<br /> &#039;&#039;&#039;Funciones y variables a utilizar:&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;float&#039;&#039;, &#039;&#039;is&#039;&#039;, &#039;&#039;expand&#039;&#039;, &#039;&#039;fpprec&#039;&#039;, &#039;&#039;bfloat&#039;&#039;, &#039;&#039;solve&#039;&#039;, &#039;&#039;factor&#039;&#039;, &#039;&#039;rectform&#039;&#039;, &#039;&#039;abs&#039;&#039;, &#039;&#039;carg&#039;&#039;, &#039;&#039;plot2D&#039;&#039; y &#039;&#039;find_root&#039;&#039;.<br /> <br /> == Ejercicio 1 ==<br /> === Ejercicio 1.1 ===<br /> Definir la constante &lt;math&gt;a = (20+14\sqrt{2})^{1/3} + (20-14\sqrt{2})^{1/3}&lt;/math&gt;.<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> (%1) a : (20+14*sqrt(2))^(1/3) + (20-14*sqrt(2))^(1/3)$<br /> <br /> === Ejercicio 1.2 ===<br /> Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 2 ==<br /> Ejercicio 2. Escribir el número &lt;math&gt;\left(sin\frac{\pi}{3}+cos\frac{\pi}{3}\right)^9&lt;/math&gt; en la forma &lt;math&gt;a + b \ast c^d&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;a, b, c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; son números racionales.<br /> <br /> &#039;&#039;Nota&#039;&#039;: Cambiar el valor de la variable &#039;&#039;%piargs&#039;&#039; a &#039;&#039;true&#039;&#039; y usar &#039;&#039;radcan&#039;&#039; para la simplificación de radicales.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 3 ==<br /> Calcular la cifra 149 del número &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 4 ==<br /> Se considera el polinomio &lt;math&gt;p = x^4-x^3-7x^2-8x-6&lt;/math&gt;.<br /> (%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> <br /> === Ejercicio 4.1. ===<br /> Calcular las raices reales de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> === Ejercicio 4.2 ===<br /> Factorizar al máximo el polinomio &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 5 ==<br /> Sea &lt;math&gt;z=\left(\frac{1-i\sqrt 3}{1+i}\right)^{20}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> (%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$<br /> <br /> === Ejercicio 5.1 === <br /> Calcular la parte real y la parte imaginaria de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> === Ejercicio 5.2 === <br /> Calcular el módulo y el argumento de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 6 ==<br /> <br /> === Ejercicio 6.1 === <br /> Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación<br /> :&lt;math&gt;\sin x=1-x^4&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> === Ejercicio 6.2 === <br /> Dar una aproximación de cada solución.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 7 ==<br /> Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros <br /> &lt;math&gt;a, b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;:<br /> :&lt;math&gt;<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> x+ay+a^2 z=0 \\<br /> x+by+b^2 z=0 \\<br /> x+cy+c^2z=1<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div>

Marjimcru https://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/index.php?title=Ejercicios_de_introducci%C3%B3n_a_Maxima&diff=643 2011-03-31T14:03:39Z

<p>Marjimcru: /* Ejercicio 1.1 */</p> <hr /> <div>__NOTOC__<br /> &#039;&#039;&#039;Funciones y variables a utilizar:&#039;&#039;&#039; &#039;&#039;float&#039;&#039;, &#039;&#039;is&#039;&#039;, &#039;&#039;expand&#039;&#039;, &#039;&#039;fpprec&#039;&#039;, &#039;&#039;bfloat&#039;&#039;, &#039;&#039;solve&#039;&#039;, &#039;&#039;factor&#039;&#039;, &#039;&#039;rectform&#039;&#039;, &#039;&#039;abs&#039;&#039;, &#039;&#039;carg&#039;&#039;, &#039;&#039;plot2D&#039;&#039; y &#039;&#039;find_root&#039;&#039;.<br /> <br /> == Ejercicio 1 ==<br /> === Ejercicio 1.1 ===<br /> Definir la constante &lt;math&gt;a = (20+14\sqrt{2})^{1/3} + (20-14\sqrt{2})^{1/3}&lt;/math&gt;.<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> a:2+3;<br /> <br /> === Ejercicio 1.2 ===<br /> Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 2 ==<br /> Ejercicio 2. Escribir el número &lt;math&gt;\left(sin\frac{\pi}{3}+cos\frac{\pi}{3}\right)^9&lt;/math&gt; en la forma &lt;math&gt;a + b \ast c^d&lt;/math&gt;, donde &lt;math&gt;a, b, c&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; son números racionales.<br /> <br /> &#039;&#039;Nota&#039;&#039;: Cambiar el valor de la variable &#039;&#039;%piargs&#039;&#039; a &#039;&#039;true&#039;&#039; y usar &#039;&#039;radcan&#039;&#039; para la simplificación de radicales.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 3 ==<br /> Calcular la cifra 149 del número &lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 4 ==<br /> Se considera el polinomio &lt;math&gt;p = x^4-x^3-7x^2-8x-6&lt;/math&gt;.<br /> (%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$<br /> <br /> === Ejercicio 4.1. ===<br /> Calcular las raices reales de &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> === Ejercicio 4.2 ===<br /> Factorizar al máximo el polinomio &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 5 ==<br /> Sea &lt;math&gt;z=\left(\frac{1-i\sqrt 3}{1+i}\right)^{20}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> (%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$<br /> <br /> === Ejercicio 5.1 === <br /> Calcular la parte real y la parte imaginaria de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> === Ejercicio 5.2 === <br /> Calcular el módulo y el argumento de &lt;math&gt;z&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 6 ==<br /> <br /> === Ejercicio 6.1 === <br /> Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación<br /> :&lt;math&gt;\sin x=1-x^4&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> === Ejercicio 6.2 === <br /> Dar una aproximación de cada solución.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> == Ejercicio 7 ==<br /> Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros <br /> &lt;math&gt;a, b&lt;/math&gt; y &lt;math&gt;c&lt;/math&gt;:<br /> :&lt;math&gt;<br /> \left\{<br /> \begin{array}{l}<br /> x+ay+a^2 z=0 \\<br /> x+by+b^2 z=0 \\<br /> x+cy+c^2z=1<br /> \end{array}<br /> \right.<br /> &lt;/math&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div>

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