Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) - Contribuciones del usuario [es]

Derivabilidad de una función a trozos

2011-05-08T17:10:56Z

Jose Cuervo:

Enunciado:
Se sabe que la función f:R->R definida como
-x^2+bx+1 si x<=1 y ax^2+5x+2a si x>1
es derivable.
Determina los valores de a y b.

Solución:

(%i17) f(x) := if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a;
(%o17) f(x):=if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a

Para que sea derivable tiene que ser contínua por lo que hacemos los límites
laterales y los igualamos obteniendo una ecuación.
(%i18) assume(x<=1)$
limit(f(x),x,1,minus);
(%o19) b
(%i20) forget(x<=1)$
assume(x>1)$
limit(f(x),x,1,plus);
(%o22) 3*a-5

Hacemos las derivadas laterales y las igualamos obteniendo la segunda ecuación.
(%i30) forget(x>1)$
assume(x<=1)$
define(dfp(x),diff(f(x),x,1));
(%o32) dfp(x):=b-2*x
(%i33) limit(dfp(x), x, 1, minus);
(%o33) b-2
(%i34) forget(x<=1)$
assume(x>1)$
define(dfp(x),diff(f(x),x,1));
(%o36) dfp(x):=2*a*x-5
(%i39) limit(dfp(x), x, 1, plus);
(%o39) 2*a-5

Resolvemos el sistema.
(%i40) linsolve([b=3*a-5, b-2=2*a-5], [a,b]);
(%o40) [a=2,b=1]

Derivabilidad de una función a trozos

2011-05-08T17:10:22Z

Jose Cuervo:

Enunciado:
Se sabe que la función f:R->R definida como
-x^2+bx+1 si x<=1 y ax^2+5x+2a si x>1
es derivable.
Determina los valores de a y b.

Solución:

(%i17) f(x) := if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a;
(%o17) f(x):=if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a

Para que sea derivable tiene que ser contínua por lo que hacemos los límites laterales y los igualamos obteniendo una ecuación.
(%i18) assume(x<=1)$
limit(f(x),x,1,minus);
(%o19) b
(%i20) forget(x<=1)$
assume(x>1)$
limit(f(x),x,1,plus);
(%o22) 3*a-5

Hacemos las derivadas laterales y las igualamos obteniendo la segunda ecuación.
(%i30) forget(x>1)$
assume(x<=1)$
define(dfp(x),diff(f(x),x,1));
(%o32) dfp(x):=b-2*x
(%i33) limit(dfp(x), x, 1, minus);
(%o33) b-2
(%i34) forget(x<=1)$
assume(x>1)$
define(dfp(x),diff(f(x),x,1));
(%o36) dfp(x):=2*a*x-5
(%i39) limit(dfp(x), x, 1, plus);
(%o39) 2*a-5

Resolvemos el sistema.
(%i40) linsolve([b=3*a-5, b-2=2*a-5], [a,b]);
(%o40) [a=2,b=1]

Derivabilidad de una función a trozos

2011-05-08T17:08:00Z

Jose Cuervo:

Enunciado:
Se sabe que la función f:R->R definida como
-x^2+bx+1 si x<=1 y ax^2+5x+2a si x>1
es derivable.
Determina los valores de a y b.

Solución:

(%i17) f(x) := if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a;
(%o17) f(x):=if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a

Hacemos los límites laterales y los igualamos obteniendo una ecuación.
(%i18) assume(x<=1)$
limit(f(x),x,1,minus);
(%o19) b
(%i20) forget(x<=1)$
assume(x>1)$
limit(f(x),x,1,plus);
(%o22) 3*a-5

Hacemos las derivadas laterales y las igualamos obteniendo la segunda ecuación.
(%i30) forget(x>1)$
assume(x<=1)$
define(dfp(x),diff(f(x),x,1));
(%o32) dfp(x):=b-2*x
(%i33) limit(dfp(x), x, 1, minus);
(%o33) b-2
(%i34) forget(x<=1)$
assume(x>1)$
define(dfp(x),diff(f(x),x,1));
(%o36) dfp(x):=2*a*x-5
(%i39) limit(dfp(x), x, 1, plus);
(%o39) 2*a-5

Resolvemos el sistema.
(%i40) linsolve([b=3*a-5, b-2=2*a-5], [a,b]);
(%o40) [a=2,b=1]

Derivabilidad de una función a trozos

2011-05-08T17:06:00Z

Jose Cuervo:

Enunciado:
Se sabe que la función f:R->R definida como
-x^2+bx+1 si x<=1 y ax^2+5x+2a si x>1
es derivable.
Determina los valores de a y b.

Solución:

(%i17) f(x) := if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a;
(%o17) f(x):=if x<=1 then -x^2+b*x+1 elseif x>1 then a*x^2-5*x+2*a
(%i18) assume(x<=1)$
limit(f(x),x,1,minus);
(%o19) b
(%i20) forget(x<=1)$
assume(x>1)$
limit(f(x),x,1,plus);
(%o22) 3*a-5
(%i30) forget(x>1)$
assume(x<=1)$
define(dfp(x),diff(f(x),x,1));
(%o32) dfp(x):=b-2*x
(%i33) limit(dfp(x), x, 1, minus);
(%o33) b-2
(%i34) forget(x<=1)$
assume(x>1)$
define(dfp(x),diff(f(x),x,1));
(%o36) dfp(x):=2*a*x-5
(%i39) limit(dfp(x), x, 1, plus);
(%o39) 2*a-5
(%i40) linsolve([b=3*a-5, b-2=2*a-5], [a,b]);
(%o40) [a=2,b=1]

Derivabilidad de una función a trozos

2011-05-08T14:18:13Z

Jose Cuervo:

Enunciado:
Se sabe que la función f:R->R definida como
-x^2+bx+1 si x<=1 y ax^2+5x+2a si x>1
es derivable. Determina los valores de a y b.

Derivabilidad de una función a trozos

2011-05-08T14:17:41Z

Jose Cuervo: Página creada con 'Enunciado: Se sabe que la función f:R->R definida como f(x) -x^2+bx+1 si x<=1 ax^2+5x+2a si x>1 es derivable. Determina los valores de a y b.'

Enunciado:
Se sabe que la función f:R->R definida como
f(x) -x^2+bx+1 si x<=1
ax^2+5x+2a si x>1
es derivable. Determina los valores de a y b.

Ejercicios de selectividad

2011-05-08T14:15:10Z

Jose Cuervo: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
# [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
# [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
# [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].
# [[Punto simétrico respecto de una recta]].
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1]]
# [[Tangentes a una curva que pasan por un punto dado]]
# [[Derivabilidad de una función a trozos]]

Tangentes a una curva que pasan por un punto dado

2011-05-08T14:13:21Z

Jose Cuervo:

Enunciado:

A) Determina los extremos relativos de la función f(x)=x^2-4x+2. Dibuja su gráfica.

B) Hallar las ecuaciones de los dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(3,-5).

----
Solución:

A) Determina los extremos relativos de la función f(x)=x^2-4x+2. Dibuja su gráfica.

(%i58) f(x):=x^2-4*x+2;
df(x):=diff(f(x),x);
df(x);
(%o58) f(x):=x^2-4*x+2
(%o59) df(x):=diff(f(x),x)
(%o60) 2*x-4
(%i61) solve(df(x),x);
(%o61) [x=2]
Comprobamos el signo de la derivada segunda para saber si es máximo o mínimo
(%i62) df2(x):=diff(f(x),x,2);
df2(x);
(%o62) df2(x):=diff(f(x),x,2)
(%o63) 2
(%i68) wxplot2d([f(x)],[x,-2,6],[y,-4,4]);
plot2d: some values were clipped.
(%t68) << Graphics >>
(%o68) [[Archivo:imagen11.png]]

B) Hallar las ecuaciones de los dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(3,-5).

(%i4) g(x):=taylor(f(x),x,a,1);
g(x);
(%o4) g(x):=taylor(f(x),x,a,1)
(%o5)/T/ 2-4*a+a^2+(2*a-4)*(x-a)+...

Defino la ecuación de la recta tangente a la función f(x) en función del punto (a,f(a)) en el que se calcula.
Este punto es la incógnita que hay que calcular, para ello imponemos que la recta pase por P(3,-5).
(%i7) g(x):=2-4*a+a^2+(2*a-4)*(x-a);
(%o7) g(x):=2-4*a+a^2+(2*a-4)*(x-a)
(%i8) solve(g(3)=-5,a);
(%o8) [a=1,a=5]
Las dos soluciones son a=1 y a=5 para lo cual calculamos las rectas tangentes en esos puntos
(%i10) y1(x):=taylor(f(x),x,1,1);
y1(x);
(%o10) y1(x):=taylor(f(x),x,1,1)
(%o11)/T/ -1-2*(x-1)+...
(%i12) y2(x):=taylor(f(x),x,5,1);
y2(x);
(%o12) y2(x):=taylor(f(x),x,5,1)
(%o13)/T/ 7+6*(x-5)+...
Comprobamos el resultado dibujando tanto la función como las rectas tangentes.
(%i15) wxplot2d([f(x),y1(x),y2(x)],[x,-4,6],[y,-7,7]);
(%t15) [[Archivo:imagen12.png]]
(%o15)

Archivo:Imagen12.png

2011-05-08T14:12:06Z

Jose Cuervo:

Tangentes a una curva que pasan por un punto dado

2011-05-08T14:09:21Z

Jose Cuervo:

Tangentes a una curva que pasan por un punto dado

2011-05-08T14:07:55Z

Jose Cuervo:

Enunciado:

A) Determina los extremos relativos de la función f(x)=x^2-4x+2. Dibuja su gráfica.

B) Hallar las ecuaciones de los dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(3,-5).

----
Solución:

A) Determina los extremos relativos de la función f(x)=x^2-4x+2. Dibuja su gráfica.

(%i58) f(x):=x^2-4*x+2;
df(x):=diff(f(x),x);
df(x);
(%o58) f(x):=x^2-4*x+2
(%o59) df(x):=diff(f(x),x)
(%o60) 2*x-4
(%i61) solve(df(x),x);
(%o61) [x=2]
Comprobamos el signo de la derivada segunda para saber si es máximo o mínimo
(%i62) df2(x):=diff(f(x),x,2);
df2(x);
(%o62) df2(x):=diff(f(x),x,2)
(%o63) 2
(%i68) wxplot2d([f(x)],[x,-2,6],[y,-4,4]);
plot2d: some values were clipped.
(%t68) << Graphics >>
(%o68) [[Archivo:imagen11.png]]

B) Hallar las ecuaciones de los dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(3,-5).

(%i4) g(x):=taylor(f(x),x,a,1);
g(x);
(%o4) g(x):=taylor(f(x),x,a,1)
(%o5)/T/ 2-4*a+a^2+(2*a-4)*(x-a)+...

Defino la ecuación de la recta tangente a la función f(x) en función del punto (a,f(a)) en el que se calcula.
Este punto es la incógnita que hay que calcular, para ello imponemos que la recta pase por P(3,-5).
(%i7) g(x):=2-4*a+a^2+(2*a-4)*(x-a);
(%o7) g(x):=2-4*a+a^2+(2*a-4)*(x-a)
(%i8) solve(g(3)=-5,a);
(%o8) [a=1,a=5]
Las dos soluciones son a=1 y a=5 para lo cual calculamos las rectas tangentes en esos puntos
(%i10) y1(x):=taylor(f(x),x,1,1);
y1(x);
(%o10) y1(x):=taylor(f(x),x,1,1)
(%o11)/T/ -1-2*(x-1)+...
(%i12) y2(x):=taylor(f(x),x,5,1);
y2(x);
(%o12) y2(x):=taylor(f(x),x,5,1)
(%o13)/T/ 7+6*(x-5)+...
(%i15) wxplot2d([f(x),y1(x),y2(x)],[x,-4,6],[y,-7,7]);
plot2d: some values were clipped.
plot2d: some values were clipped.
plot2d: some values were clipped.
(%t15) [[Archivo:Ejemplo.jpg]]
(%o15)

Tangentes a una curva que pasan por un punto dado

2011-05-08T14:06:57Z

Jose Cuervo:

Enunciado:

A) Determina los extremos relativos de la función f(x)=x^2-4x+2. Dibuja su gráfica.

B) Hallar las ecuaciones de los dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(3,-5).

----
Solución:

A) Determina los extremos relativos de la función f(x)=x^2-4x+2. Dibuja su gráfica.

(%i58) f(x):=x^2-4*x+2;
df(x):=diff(f(x),x);
df(x);
(%o58) f(x):=x^2-4*x+2
(%o59) df(x):=diff(f(x),x)
(%o60) 2*x-4
(%i61) solve(df(x),x);
(%o61) [x=2]
Comprobamos el signo de la derivada segunda para saber si es máximo o mínimo
(%i62) df2(x):=diff(f(x),x,2);
df2(x);
(%o62) df2(x):=diff(f(x),x,2)
(%o63) 2
(%i68) wxplot2d([f(x)],[x,-2,6],[y,-4,4]);
plot2d: some values were clipped.
(%t68) << Graphics >>
(%o68) [[Archivo:imagen11.png]]

B) Hallar las ecuaciones de los dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(3,-5).

(%i4) g(x):=taylor(f(x),x,a,1);
g(x);
(%o4) g(x):=taylor(f(x),x,a,1)
(%o5)/T/ 2-4*a+a^2+(2*a-4)*(x-a)+...

Defino la ecuación de la recta tangente a la función f(x) en función del punto (a,f(a)) en el que se calcula. Este punto es la incógnita que
hay que calcular, para ello imponemos que la recta pase por P(3,-5).
(%i7) g(x):=2-4*a+a^2+(2*a-4)*(x-a);
(%o7) g(x):=2-4*a+a^2+(2*a-4)*(x-a)
(%i8) solve(g(3)=-5,a);
(%o8) [a=1,a=5]
Las dos soluciones son a=1 y a=5 para lo cual calculamos las rectas tangentes en esos puntos
(%i10) y1(x):=taylor(f(x),x,1,1);
y1(x);
(%o10) y1(x):=taylor(f(x),x,1,1)
(%o11)/T/ -1-2*(x-1)+...
(%i12) y2(x):=taylor(f(x),x,5,1);
y2(x);
(%o12) y2(x):=taylor(f(x),x,5,1)
(%o13)/T/ 7+6*(x-5)+...
(%i15) wxplot2d([f(x),y1(x),y2(x)],[x,-4,6],[y,-7,7]);
plot2d: some values were clipped.
plot2d: some values were clipped.
plot2d: some values were clipped.
(%t15) << Graphics >>
(%o15)

Tangentes a una curva que pasan por un punto dado

2011-05-08T13:47:14Z

Jose Cuervo:

Archivo:Imagen11.png

2011-05-08T13:44:48Z

Jose Cuervo:

Tangentes a una curva que pasan por un punto dado

2011-05-08T13:42:50Z

Jose Cuervo:

Tangentes a una curva que pasan por un punto dado

2011-05-08T13:41:58Z

Jose Cuervo:

Tangentes a una curva que pasan por un punto dado

2011-05-08T13:30:07Z

Jose Cuervo:

Tangentes a una curva que pasan por un punto dado

2011-05-07T23:15:05Z

Jose Cuervo:

Tangentes a una curva que pasan por un punto dado

2011-05-07T22:14:34Z

Jose Cuervo:

Enunciado
A) Determina los extremos relativos de la función f(x)=x^2-4x+2. Dibuja su gráfica.
B) Hallar las ecuaciones de los dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(3,-5).

----

Tangentes a una curva que pasan por un punto dado

2011-05-07T22:09:29Z

Jose Cuervo: Página creada con 'Enunciado A) Determina los extremos relativos de la función f(x)=x^2-4x+2. Dibuja su gráfica. B) Hallar las ecuaciones de los dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasa…'

Enunciado
A) Determina los extremos relativos de la función f(x)=x^2-4x+2. Dibuja su gráfica.
B) Hallar las ecuaciones de los dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(3,-5).

Ejercicios de selectividad

2011-05-07T22:07:15Z

Jose Cuervo: /* Ejercicios */

Ejercicios 5: Programación

2011-04-23T17:54:33Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 4.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''
(%i1) tangente(f,a):= block ([m],
m:at(diff(f(x),x),x=a),
y=ratsimp(f(a)+m*(x-a)))$
(%i2) (f(x):=x^3,tangente(f,2));
(%o2) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);
(%i3)(f(x)=ln(tan(abs(x))), tangente(f,-%pi/12));
(%o3)y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''
media(n):=block([lista,k],
lista: []
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista: cons(k,lista))$
mean(lista))$

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''
Goldbach(n):=block([lista,k],
lista: [k],
for k from 2 thru n do
(if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''
goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista:[],
(if primep(k) then lista : cons(k,lista)))$

Esta es mi solución, la anterior veo que no funciona

goldbachTodas(n):=block([lista,k,m], lista : [],m:0,
for k from 1 thru n do (if primep(k) then lista : cons(k,lista)),
reverse(lista), for k from 1 thru length(lista) do
if (primep(n-lista[k])) then if (lista[k]>n-lista[k]) then (print (n-lista[k],lista[k], "descomposicion num:",m),m:m+1));

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

goldbachTodas(n):=block([lista,k,m], lista : [],m:0,
for k from 1 thru n do (if primep(k) then lista : cons(k,lista)),
reverse(lista), for k from 1 thru length(lista) do
if (primep(n-lista[k])) then if (lista[k]>n-lista[k]) then (print (n-lista[k],lista[k], "descomposicion num:",m),m:m+1));

goldbachTodas(2010);

Ejercicios 5: Programación

2011-04-23T17:52:31Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 4.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''
(%i1) tangente(f,a):= block ([m],
m:at(diff(f(x),x),x=a),
y=ratsimp(f(a)+m*(x-a)))$
(%i2) (f(x):=x^3,tangente(f,2));
(%o2) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);
(%i3)(f(x)=ln(tan(abs(x))), tangente(f,-%pi/12));
(%o3)y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''
media(n):=block([lista,k],
lista: []
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista: cons(k,lista))$
mean(lista))$

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''
Goldbach(n):=block([lista,k],
lista: [k],
for k from 2 thru n do
(if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''
goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista:[],
(if primep(k) then lista : cons(k,lista)))$

Esta es mi solución, la anterior veo que no funciona
goldbachTodas(n):=block([lista,k], lista : [], for k from 1 thru n do (if primep(k) then lista : cons(k,lista)),
reverse(lista), for k from 1 thru length(lista) do
if (primep(n-lista[k])) then if (lista[k]>n-lista[k]) then print (n-lista[k],lista[k]));

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

goldbachTodas(n):=block([lista,k,m], lista : [],m:0,
for k from 1 thru n do (if primep(k) then lista : cons(k,lista)),
reverse(lista), for k from 1 thru length(lista) do
if (primep(n-lista[k])) then if (lista[k]>n-lista[k]) then (print (n-lista[k],lista[k], "descomposicion num:",m),m:m+1));

goldbachTodas(2010);

Ejercicios 5: Programación

2011-04-23T17:44:55Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 4.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''
(%i1) tangente(f,a):= block ([m],
m:at(diff(f(x),x),x=a),
y=ratsimp(f(a)+m*(x-a)))$
(%i2) (f(x):=x^3,tangente(f,2));
(%o2) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);
(%i3)(f(x)=ln(tan(abs(x))), tangente(f,-%pi/12));
(%o3)y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''
media(n):=block([lista,k],
lista: []
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista: cons(k,lista))$
mean(lista))$

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''
Goldbach(n):=block([lista,k],
lista: [k],
for k from 2 thru n do
(if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''
goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista:[],
(if primep(k) then lista : cons(k,lista)))$

Esta es mi solución, la anterior veo que no funciona
goldbachTodas(n):=block([lista,k], lista : [], for k from 1 thru n do (if primep(k) then lista : cons(k,lista)),
reverse(lista), for k from 1 thru length(lista) do
if (primep(n-lista[k])) then if (lista[k]>n-lista[k]) then print (n-lista[k],lista[k]));

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-19T13:54:34Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.5. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden k+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

invert(A(1));
invert(A(2));
invert(A(5));

Comprobamos:
A(1).invert(A(1));
A(2).invert(A(2));
A(5).invert(A(5));

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

b[i,j] := if i <= j then (-1)^(i+j)*binomial(j-1,i-1) else 0;
B(n) := genmatrix (b,n+1,n+1);

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

for n from 0 thru 9 do print(A(n).B(n));
Comprobamos que la conjetura es correcta.

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
(%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
(%i3) M:A.X-X.A;
(%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''
(%i10) is(A.B=B.A);
(%o10) true

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-19T13:50:39Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden k+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

invert(A(1));
invert(A(2));
invert(A(5));

Comprobamos:
A(1).invert(A(1));
A(2).invert(A(2));
A(5).invert(A(5));

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

b[i,j] := if i <= j then (-1)^(i+j)*binomial(j-1,i-1) else 0;
B(n) := genmatrix (b,n+1,n+1);

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
(%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
(%i3) M:A.X-X.A;
(%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''
(%i10) is(A.B=B.A);
(%o10) true

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-19T13:45:28Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden k+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

invert(A(1));
invert(A(2));
invert(A(5));

Comprobamos:
A(1).invert(A(1));
A(2).invert(A(2));
A(5).invert(A(5));

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

b[i,j] := if i <= j then (-1)^(i+j)*binomial(j-1,i-1) else 0;
B(n) := genmatrix (b,n+1,n+1);

Hay un fallo en la conjetura en los elementos 1,2 y 2,3, porque deberían
ser negativos y los saca positivos.

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
(%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
(%i3) M:A.X-X.A;
(%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''
(%i10) is(A.B=B.A);
(%o10) true

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-19T13:44:31Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden k+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

invert(A(1));
invert(A(2));
invert(A(5));

Comprobamos:
A(1).invert(A(1));
A(2).invert(A(2));
A(5).invert(A(5));

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

b[i,j] := if i <= j then (-1)^(i+j)*binomial(j-1,i-1) else 0;
B(n) := genmatrix (b,n+1,n+1);

Hay un fallo en la conjetura en los elementos 1,2 y 2,3.
No encuentro el fallo.

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
(%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
(%i3) M:A.X-X.A;
(%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''
(%i10) is(A.B=B.A);
(%o10) true

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-19T13:44:12Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden k+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

invert(A(1));
invert(A(2));
invert(A(5));

Comprobamos:
A(1).invert(A(1));
A(2).invert(A(2));
A(5).invert(A(5));

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

b[i,j] := if i <= j then (-1)^(i+j)*binomial(j-1,i-1) else 0;
B(n) := genmatrix (b,n+1,n+1);

Hay un fallo en la conjetura en los elementos 1,2 y 2,3. No encuentro el fallo.

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
(%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
(%i3) M:A.X-X.A;
(%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''
(%i10) is(A.B=B.A);
(%o10) true

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-19T13:18:17Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden k+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

invert(A(1));
invert(A(2));
invert(A(5));

Comprobamos:
A(1).invert(A(1));
A(2).invert(A(2));
A(5).invert(A(5));

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
(%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
(%i3) M:A.X-X.A;
(%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''
(%i10) is(A.B=B.A);
(%o10) true

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-19T13:12:33Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

invert(A(1));
invert(A(2));
invert(A(5));

Comprobamos:
A(1).invert(A(1));
A(2).invert(A(2));
A(5).invert(A(5));

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
(%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
(%i3) M:A.X-X.A;
(%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''
(%i10) is(A.B=B.A);
(%o10) true

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-19T13:12:15Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

invert(A(1));
invert(A(2));
invert(A(5));

Comprobamos:
A(1).invert(A(1));
A(2).invert(A(2));
A(5).invert(A(5));

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
(%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
(%i3) M:A.X-X.A;
(%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''
(%i10) is(A.B=B.A);
(%o10) true

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T12:54:32Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.6 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).
No se porqué el siguiente comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?
solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

Transformando la ecuación, elevando al cuadrado, obtenemos una ecuación que sí
resuelve Maxima:

(%075) solve(3*x^2=1);
(%o76) [x=-1/sqrt(3),x=1/sqrt(3)]

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

h(x):=diff(g(x),x);
h(x);
wxplot2d([g(x),h(x)],[x,-10,10],[y,-10,10]);
[[Archivo:ejercicio2_5.png]]

Los intervales de crecimiento y decrecimiento están determinados por el signo de la
derivada primera (gráfica roja). De esta forma dónde la derivada es positiva la función crece
y dónde es negativa decrece. Como vemos en la gráfica la derivada primera siempre es positiva y la función (en azul) siempre es creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

Calculamos las asíntotas oblicuas ya que vimos que no existen horizontales (ejercicio 2.1)
Asíntota por la derecha
m:limit(g(x)/x,x,inf);
n:limit(g(x)-m*x,x,inf);
y:m*x-n;
y=x;

Asíntota por la izquierda
m:limit(g(x)/x,x,-inf);
n:limit(g(x)-m*x,x,-inf);
y:m*x-n;
y=3x;

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T12:53:58Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.6 */

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T12:50:12Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.6 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).
No se porqué el siguiente comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?
solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

Transformando la ecuación, elevando al cuadrado, obtenemos una ecuación que sí
resuelve Maxima:

(%075) solve(3*x^2=1);
(%o76) [x=-1/sqrt(3),x=1/sqrt(3)]

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

h(x):=diff(g(x),x);
h(x);
wxplot2d([g(x),h(x)],[x,-10,10],[y,-10,10]);
[[Archivo:ejercicio2_5.png]]

Los intervales de crecimiento y decrecimiento están determinados por el signo de la
derivada primera (gráfica roja). De esta forma dónde la derivada es positiva la función crece
y dónde es negativa decrece. Como vemos en la gráfica la derivada primera siempre es positiva y la función (en azul) siempre es creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

Calculamos las asíntotas oblicuas ya que vimos que no existen horizontales (ejercicio 2.1)
m:limit(g(x)/x,x,inf);
n:limit(g(x)-m*x,x,inf);
y=m*x-n;

/* [wxMaxima: input start ] */
n:limit(g(x)-m*x,x,inf);
/* [wxMaxima: input end ] */

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T12:45:43Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.6 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).
No se porqué el siguiente comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?
solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

Transformando la ecuación, elevando al cuadrado, obtenemos una ecuación que sí
resuelve Maxima:

(%075) solve(3*x^2=1);
(%o76) [x=-1/sqrt(3),x=1/sqrt(3)]

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

h(x):=diff(g(x),x);
h(x);
wxplot2d([g(x),h(x)],[x,-10,10],[y,-10,10]);
[[Archivo:ejercicio2_5.png]]

Los intervales de crecimiento y decrecimiento están determinados por el signo de la
derivada primera (gráfica roja). De esta forma dónde la derivada es positiva la función crece
y dónde es negativa decrece. Como vemos en la gráfica la derivada primera siempre es positiva y la función (en azul) siempre es creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

Calculamos las asíntotas oblicuas ya que vimos que no existen horizontales (ejercicio 2.1)
m:limit(g(x)/x,x,inf);
n:limit(g(x)-m*x,x,inf);
y=m*x-n;

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T12:05:57Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.5 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).
No se porqué el siguiente comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?
solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

Transformando la ecuación, elevando al cuadrado, obtenemos una ecuación que sí
resuelve Maxima:

(%075) solve(3*x^2=1);
(%o76) [x=-1/sqrt(3),x=1/sqrt(3)]

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

h(x):=diff(g(x),x);
h(x);
wxplot2d([g(x),h(x)],[x,-10,10],[y,-10,10]);
[[Archivo:ejercicio2_5.png]]

Los intervales de crecimiento y decrecimiento están determinados por el signo de la
derivada primera (gráfica roja). De esta forma dónde la derivada es positiva la función crece
y dónde es negativa decrece. Como vemos en la gráfica la derivada primera siempre es positiva y la función (en azul) siempre es creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T12:04:19Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.5 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).
No se porqué el siguiente comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?
solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

Transformando la ecuación, elevando al cuadrado, obtenemos una ecuación que sí
resuelve Maxima:

(%075) solve(3*x^2=1);
(%o76) [x=-1/sqrt(3),x=1/sqrt(3)]

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

h(x):=diff(g(x),x);
h(x);
wxplot2d([g(x),h(x)],[x,-10,10],[y,-10,10]);
[[Archivo:ejercicio2_5.png]]

Los intervales de crecimiento y decrecimiento están determinados por el signo de la
derivada primera (gráfica roja). De esta forma dónde la derivada es positiva la función crece
y dónde es negativa decrece. Como vemos en la gráfica la derivada primera siempre es positiva y como se comprueba la función (en azul) siempre es creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Archivo:Ejercicio2 5.png

2011-04-19T11:59:17Z

Jose Cuervo:

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T11:58:45Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.5 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).
No se porqué el siguiente comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?
solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

Transformando la ecuación, elevando al cuadrado, obtenemos una ecuación que sí
resuelve Maxima:

(%075) solve(3*x^2=1);
(%o76) [x=-1/sqrt(3),x=1/sqrt(3)]

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

h(x):=diff(g(x),x);
h(x);
wxplot2d([g(x),h(x)],[x,-10,10],[y,-10,10]);
[[Archivo:ejercicio2_5.png]]

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T11:52:08Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.5 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).
No se porqué el siguiente comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?
solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

Transformando la ecuación, elevando al cuadrado, obtenemos una ecuación que sí
resuelve Maxima:

(%075) solve(3*x^2=1);
(%o76) [x=-1/sqrt(3),x=1/sqrt(3)]

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

h(x):=diff(g(x),x);
h(x);
wxplot2d([g(x),h(x)],[x,-10,10],[y,-10,10]);

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T11:38:42Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.4 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).
No se porqué el siguiente comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?
solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

Transformando la ecuación, elevando al cuadrado, obtenemos una ecuación que sí
resuelve Maxima:

(%075) solve(3*x^2=1);
(%o76) [x=-1/sqrt(3),x=1/sqrt(3)]

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T11:12:39Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.4 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).
No se porqué el siguiente comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?
solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T10:46:48Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.4 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).
No se porqué el siguiente comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?
solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

Las soluciones son complejas, no se si tiene que ver.

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T10:41:01Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.4 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).
No se porqué este comando no resuelve la ecuación, ¿alguien lo sabe?
solve(2*x-sqrt(1+x^2)=0,x);

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-19T10:36:59Z

Jose Cuervo: /* Ejercicio 2.4 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

Esta solución no es correcta pues el enunciado pide g(x)=0 no g(0).

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Alumnos

2011-04-05T13:11:33Z

Jose Cuervo:

{| class="wikitable" border="1"
! Nombre
! Usuario
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| Álvarez Valles, Daniel ||
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| Bravo García, Monserrat || Monbragar
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| Braza Valle, Elisabet ||
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| Caro Martín, Carmen Rocío ||
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| Charneco Fernández, Juan ||
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| Durán González, María José ||
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| Escalante Macías, Javier ||
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| Escudero Domínguez, Ana María || Anaescdom
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| Fajardo Galán, José Manuel ||
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| Gallardo Jiménez, Rafael ||
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| Gálvez Fernández, Carmen María || Cargalfer
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| García Donoso, Ignacio ||
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| García Márquez, Máximo ||
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| González Esteban, Pastora Asunción ||
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| González Lobo, Macarena || Macaglez
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| Hidalgo Gutiérrez, Sandra || Sanhidgut
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| Izquierdo Laynez, Antonio ||
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| Jiménez Cruz, María Ángeles || Marjimcru
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| Jurado Rodríguez, Juan José ||
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| Maravert Ortega, María del Carmen ||
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| Márquez Bocanegra, Antonio Jesús ||
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| Martín Cubiles, José Carlos ||
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| Martín Cuervo, José Luis || Jose Cuervo
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| Ogayar Lechuga, Pablo ||
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| Pendas Fernández, Aida ||
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| Prieto Martín, Alicia ||
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| Regodón Domínguez, Elena || Eleregdom
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| Rodríguez Canseco, Raúl ||
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| Romero Guerrero, Angela María ||
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| Ronchel Ortigado, Ernesto ||
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| Salguero López, Andrés ||
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| Sangalo Delgado, José Javier ||
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| Santana Gil, Elisa ||
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| Sendín Bernardo, Alba ||
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| Sosa Orta, Cristina || Crisosort
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| Tofe Morejón, Antonio Manuel ||
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| Toscano Barragán, Rocío ||
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| Vallecillo López, Ana Isabel || Anavallop
|}

Usuario:Jose Cuervo

2011-04-05T13:10:38Z

Jose Cuervo: Página creada con ' José Luis Martín Cuervo'

José Luis Martín Cuervo