Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) - Contribuciones del usuario [es]

Ejercicio 12: Encontrar el primer número triangular que tiene más de 500 divisores

2011-05-01T10:06:09Z

Jmfajardo: Página creada con 'La secuencia de numero triangulares se genera sumando los número naturales. Así el séptimo número triangular sería 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Los primeros 10 términ…'

La secuencia de numero triangulares se genera sumando los número naturales. Así el séptimo número triangular sería 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

Los primeros 10 términos son:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Listemos los divisores de los primeros siete número triangulares:

1: 1
3: 1,3
6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Vemos que el 28 es el primer número triangular que tiene más de 5 divisores.

¿Cual es el valor del primer número triangular que tiene más de 500 divisores?

'''Solución:'''

(%i46) res:0$

(%i47) i:1$

(%i48) acum:0$

(%i49) while res<=500 do
(acum:acum+i,
i:i+1,
res:length(divisors(acum))
)$

(%i50) acum;

(%o50) 76576500

Ejercicios del proyecto Euler

2011-05-01T09:55:44Z

Jmfajardo:

En esta sección se encuentran ejercicios del [http://projecteuler.net/ proyecto Euler] realizados con los sistemas de software libre.
* [[Ejercicio 1: Sumar los enteros menores de 1000 que sean múltiplos de 3 ó 5]].
* [[Ejercicio 2: Sumar la sucesión de los n primeros términos de la sucesión de Fibonacci cuyo valor no exceda la cifra 4000000]].
* [[Ejercicio 3: Mayor factor primo de un número]].
* [[Ejercicio 5: ¿Cuál es el número más divisible por cada uno de los números del 1 al 20?]].
* [[Ejercicio 6: Diferencia entre suma de cuadrados y cuadrado de la suma]].
* [[Ejercicio 9: Encontrar una terna pitágorica (a,b,c) que cumpla que a+b+c=1000]].
* [[Ejercicio 10: Suma de todos los primos hasta 2.000.000]].
* [[Ejercicio 7: Encontrar el primo 10001]].
* [[Ejercicio 20: Sumar los dígitos de 100!]].
* [[Ejercicio 12: Encontrar el primer número triangular que tiene más de 500 divisores]].

Ejercicios del proyecto Euler

2011-05-01T09:55:31Z

Jmfajardo:

Ejercicios 5: Programación

2011-04-30T13:27:43Z

Jmfajardo: /* Ejercicio 2.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''
(%i1) tangente(f,a):= block ([m],
m:at(diff(f(x),x),x=a),
y=ratsimp(f(a)+m*(x-a)))$
(%i2) (f(x):=x^3,tangente(f,2));
(%o2) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);
(%i3)(f(x)=ln(tan(abs(x))), tangente(f,-%pi/12));
(%o3)y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

signosTrinomio(a,b,c):=block([l],
l:realroots(a*x^2+b*x+c),
if (length(l)=0) then
(if (is(limit(a*x^2+b*x+c,x,inf)>0))
then (cons([[-inf,inf],"+"],[]))
else (cons([[-inf,inf],"-"],[])) )
elseif (length(l)=1) then
(if (is(limit(a*x^2+b*x+c,x,inf)>0))
then (cons([[-inf,rhs(l[1])],"+"],cons([rhs(l[1]),0],cons([[rhs(l[1]),inf],"+"],[]))))
else (cons([[-inf,rhs(l[1])],"-"],cons([rhs(l[1]),0],cons([[rhs(l[1]),inf],"-"],[])))) )
else
(if (is(limit(a*x^2+b*x+c,x,inf)>0))
then (cons([[-inf,rhs(l[1])],"+"],cons([rhs(l[1]),0],cons([[rhs(l[1]),rhs(l[2])],"-"],cons([rhs(l[2]),0],cons([[rhs(l[2]),inf],"+"],[]))))))
else (cons([[-inf,rhs(l[1])],"-"],cons([rhs(l[1]),0],cons([[rhs(l[1]),rhs(l[2])],"+"],cons([rhs(l[2]),0],cons([[rhs(l[2]),inf],"-"],[])))))) )
)$

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''
signosTrinomio(-6,-3,14/3);
[[[-inf,-39146837/33554432],"-"],[-39146837/33554432,0],[[-39146837/33554432,22369621/33554432],"+"],
[22369621/33554432,0],[[22369621/33554432,inf],"-"]]

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''
media(n):=block([lista,k],
lista: []
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista: cons(k,lista))$
mean(lista))$

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''
Goldbach(n):=block([lista,k],
lista: [k],
for k from 2 thru n do
(if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''
goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista:[],
(if primep(k) then lista : cons(k,lista)))$

Esta es mi solución, la anterior veo que no funciona

goldbachTodas(n):=block([lista,k,m], lista : [],m:0,
for k from 1 thru n do (if primep(k) then lista : cons(k,lista)),
reverse(lista), for k from 1 thru length(lista) do
if (primep(n-lista[k])) then if (lista[k]>n-lista[k]) then (print (n-lista[k],lista[k], "descomposicion num:",m),m:m+1));

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

goldbachTodas(n):=block([lista,k,m], lista : [],m:0,
for k from 1 thru n do (if primep(k) then lista : cons(k,lista)),
reverse(lista), for k from 1 thru length(lista) do
if (primep(n-lista[k])) then if (lista[k]>n-lista[k]) then (print (n-lista[k],lista[k], "descomposicion num:",m),m:m+1));

goldbachTodas(2010);

Ejercicios 5: Programación

2011-04-30T13:27:23Z

Jmfajardo: /* Ejercicio 2.2. */

Ejercicios 5: Programación

2011-04-30T13:24:23Z

Jmfajardo: /* Ejercicio 2.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''
(%i1) tangente(f,a):= block ([m],
m:at(diff(f(x),x),x=a),
y=ratsimp(f(a)+m*(x-a)))$
(%i2) (f(x):=x^3,tangente(f,2));
(%o2) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);
(%i3)(f(x)=ln(tan(abs(x))), tangente(f,-%pi/12));
(%o3)y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

signosTrinomio(a,b,c):=block([l],
l:realroots(a*x^2+b*x+c),
if (length(l)=0) then
(if (is(limit(a*x^2+b*x+c,x,inf)>0))
then (cons([[-inf,inf],"+"],[]))
else (cons([[-inf,inf],"-"],[])) )
elseif (length(l)=1) then
(if (is(limit(a*x^2+b*x+c,x,inf)>0))
then (cons([[-inf,rhs(l[1])],"+"],cons([rhs(l[1]),0],cons([[rhs(l[1]),inf],"+"],[]))))
else (cons([[-inf,rhs(l[1])],"-"],cons([rhs(l[1]),0],cons([[rhs(l[1]),inf],"-"],[])))) )
else
(if (is(limit(a*x^2+b*x+c,x,inf)>0))
then (cons([[-inf,rhs(l[1])],"+"],cons([rhs(l[1]),0],cons([[rhs(l[1]),rhs(l[2])],"-"],cons([rhs(l[2]),0],cons([[rhs(l[2]),inf],"+"],[]))))))
else (cons([[-inf,rhs(l[1])],"-"],cons([rhs(l[1]),0],cons([[rhs(l[1]),rhs(l[2])],"+"],cons([rhs(l[2]),0],cons([[rhs(l[2]),inf],"-"],[])))))) )
)$

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''
media(n):=block([lista,k],
lista: []
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista: cons(k,lista))$
mean(lista))$

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''
Goldbach(n):=block([lista,k],
lista: [k],
for k from 2 thru n do
(if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''
goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista:[],
(if primep(k) then lista : cons(k,lista)))$

Esta es mi solución, la anterior veo que no funciona

goldbachTodas(n):=block([lista,k,m], lista : [],m:0,
for k from 1 thru n do (if primep(k) then lista : cons(k,lista)),
reverse(lista), for k from 1 thru length(lista) do
if (primep(n-lista[k])) then if (lista[k]>n-lista[k]) then (print (n-lista[k],lista[k], "descomposicion num:",m),m:m+1));

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

goldbachTodas(n):=block([lista,k,m], lista : [],m:0,
for k from 1 thru n do (if primep(k) then lista : cons(k,lista)),
reverse(lista), for k from 1 thru length(lista) do
if (primep(n-lista[k])) then if (lista[k]>n-lista[k]) then (print (n-lista[k],lista[k], "descomposicion num:",m),m:m+1));

goldbachTodas(2010);

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-30T11:07:54Z

Jmfajardo: /* Ejercicio 2.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] := f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i52) f[20];
(%o52) 6765

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''
Al poder utilizar tan solo dos variables, debemos ir utilizando la de menor valor en cada iteración para almacenar el nuevo
elemento, de esta forma a y b contienen siempre los dos últimos elementos de la sucesión de forma alterna.
En todo caso la suma de ambos nos dará el elemento siguiente. El resultado final estará almacenado en la variable de mayor valor.

(%i65) a:0$
b:1$
for i step 1 from 2 thru 20 do
(if (<nowiki>a<b</nowiki>) then (a:a+b)
else (b:a+b))$
if (a>b) then (a) else (b)$
(%065) 6765

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''
(%i98) float(s[20]);
(%o98) 0.63212055882856

(%i99) float(s[50]);
(%o99) 0.63212055882856

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''
limit(u[n],n,inf);

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''
w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''
makelist([n,v[n]],n,0,9);

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''
solve_rec(w[n]=(u[n]-a)/(u[n]-b),w[n]);

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''
ratsimp(%);

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-30T10:52:43Z

Jmfajardo: /* Ejercicio 1.5. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] := f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i52) f[20];
(%o52) 6765

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''
Al poder utilizar tan solo dos variables, debemos ir utilizando la de menor valor en cada iteración para almacenar el nuevo
elemento, de esta forma a y b contienen siempre los dos últimos elementos de la sucesión de forma alterna.
En todo caso la suma de ambos nos dará el elemento siguiente. El resultado final estará almacenado en la variable de mayor valor.

(%i65) a:0$
b:1$
for i step 1 from 2 thru 20 do
(if (<nowiki>a<b</nowiki>) then (a:a+b)
else (b:a+b))$
if (a>b) then (a) else (b)$
(%065) 6765

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''
limit(u[n],n,inf);

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''
w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''
makelist([n,v[n]],n,0,9);

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''
solve_rec(w[n]=(u[n]-a)/(u[n]-b),w[n]);

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''
ratsimp(%);

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-30T10:52:27Z

Jmfajardo: /* Ejercicio 1.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] := f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i52) f[20];
(%o52) 6765

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''
Al poder utilizar tan solo dos variables, debemos ir utilizando la de menor valor en cada iteración para almacenar el nuevo
elemento, de esta forma a y b contienen siempre los dos últimos elementos de la sucesión de forma alterna.
En todo caso la suma de ambos nos dará el elemento siguiente. El resultado final estará almacenado en la variable de mayor valor.

(%i65) a:0$
b:1$
for i step 1 from 2 thru 20 do
(if (<nowiki>a<b</nowiki>) then (a:a+b)
else (b:a+b))$
if (a>b) then (a) else (b)$
(%065) 6765

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
Al poder utilizar tan solo dos variables, debemos ir utilizando la de menor valor en cada iteración para almacenar el nuevo
elemento, de esta forma a y b contienen siempre los dos últimos elementos de la sucesión de forma alterna.
En todo caso la suma de ambos nos dará el elemento siguiente. El resultado final estará almacenado en la variable de mayor valor.

(%i65) a:0$
b:1$
for i step 1 from 2 thru 20 do
(if (<nowiki>a<b</nowiki>) then (a:a+b)
else (b:a+b))$
if (a>b) then (a) else (b)$
(%065) 6765

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''
limit(u[n],n,inf);

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''
w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''
makelist([n,v[n]],n,0,9);

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''
solve_rec(w[n]=(u[n]-a)/(u[n]-b),w[n]);

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''
ratsimp(%);

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-30T10:51:02Z

Jmfajardo: /* Ejercicio 1.5. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] := f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i52) f[20];
(%o52) 6765

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
Al poder utilizar tan solo dos variables, debemos ir utilizando la de menor valor en cada iteración para almacenar el nuevo
elemento, de esta forma a y b contienen siempre los dos últimos elementos de la sucesión de forma alterna.
En todo caso la suma de ambos nos dará el elemento siguiente. El resultado final estará almacenado en la variable de mayor valor.

(%i65) a:0$
b:1$
for i step 1 from 2 thru 20 do
(if (<nowiki>a<b</nowiki>) then (a:a+b)
else (b:a+b))$
if (a>b) then (a) else (b)$
(%065) 6765

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''
limit(u[n],n,inf);

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''
w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''
makelist([n,v[n]],n,0,9);

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''
solve_rec(w[n]=(u[n]-a)/(u[n]-b),w[n]);

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''
ratsimp(%);

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-30T10:10:54Z

Jmfajardo: /* Ejercicio 1.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] := f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i52) f[20];
(%o52) 6765

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''
limit(u[n],n,inf);

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''
w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''
makelist([n,v[n]],n,0,9);

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''
solve_rec(w[n]=(u[n]-a)/(u[n]-b),w[n]);

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''
ratsimp(%);

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-30T10:08:16Z

Jmfajardo: /* Ejercicio 1.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] := f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''
limit(u[n],n,inf);

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''
w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''
makelist([n,v[n]],n,0,9);

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''
solve_rec(w[n]=(u[n]-a)/(u[n]-b),w[n]);

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''
ratsimp(%);

Ejercicios 3: Aritmética

2011-04-30T08:21:30Z

Jmfajardo: /* Ejercicio 5.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''
a:2460$ b: 3030$

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''
divisors(a);

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''
divisors(b);

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''
S_1: divisors(a);
S_2:divisors(b);
intersection(S_1,S_2);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''
gcd(a,b);

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''
lcm(a,b);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''
n: 2008!;

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''
(%i2)bfloat(n);
(%o2) 8.64364185767107b5761

Por tanto tiene 5762 cifras

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''
ifactors(n);

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''

Puesto que al descomponer en factores primos el exponente de 2 es 2001 y el de 5 es 500, n tendrá 500 ceros.

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''
(%i1)sol3:2$
(%i2)for k from 2 thru 2008 do (sol3:next_prime(sol3))$
(%i3)sol3;

Y devuelve 17467

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''
for i from 1 step 1 thru 100000 do (print(i,”=”,factor(i)));

'''Solución 2'''
(%i6) sol4:0$
(%i7) for i from 1 step 1 thru 100000 do
(if primep(i) then
sol4:sol4+1);
(%o7) done
(%i8) sol4;
(%o8) 9592

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''
(%i1)sol5:2$
for k from 2 thru 9592 do (sol5:next_prime(sol5))$
sol5;

Y devuelve 99991

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''
prev_prime(100000);

'''Solución 2'''
(%i14) is(sol5=prev_prime(100000));
(%o14) true

Ejercicios 3: Aritmética

2011-04-30T08:14:33Z

Jmfajardo: /* Ejercicio 4.1 */

Alumnos

2011-04-11T15:13:00Z

Jmfajardo:

{| class="wikitable" border="1"
! Nombre
! Usuario
|-
| Álvarez Valles, Daniel || Dani
|-
| Bravo García, Monserrat || Monbragar
|-
| Braza Valle, Elisabet ||
|-
| Caro Martín, Carmen Rocío ||
|-
| Charneco Fernández, Juan ||
|-
| Durán González, María José || emejota
|-
| Escalante Macías, Javier ||
|-
| Escudero Domínguez, Ana María || Anaescdom
|-
| Fajardo Galán, José Manuel || Jmfajardo
|-
| Gallardo Jiménez, Rafael || Rafgaljim
|-
| Gálvez Fernández, Carmen María || Cargalfer
|-
| García Donoso, Ignacio ||
|-
| García Márquez, Máximo ||
|-
| González Esteban, Pastora Asunción ||
|-
| González Lobo, Macarena || Macaglez
|-
| Hidalgo Gutiérrez, Sandra || Sanhidgut
|-
| Izquierdo Laynez, Antonio ||
|-
| Jiménez Cruz, María Ángeles || Marjimcru
|-
| Jurado Rodríguez, Juan José ||
|-
| Maravert Ortega, María del Carmen ||
|-
| Márquez Bocanegra, Antonio Jesús ||
|-
| Martín Cubiles, José Carlos ||
|-
| Martín Cuervo, José Luis || Jose Cuervo
|-
| Ogayar Lechuga, Pablo ||
|-
| Pendas Fernández, Aida || Aida
|-
| Prieto Martín, Alicia ||
|-
| Regodón Domínguez, Elena || Eleregdom
|-
| Rodríguez Canseco, Raúl ||
|-
| Romero Guerrero, Angela María || Angromgue
|-
| Ronchel Ortigado, Ernesto ||
|-
| Salguero López, Andrés ||
|-
| Sangalo Delgado, José Javier ||
|-
| Santana Gil, Elisa ||
|-
| Sendín Bernardo, Alba ||
|-
| Sosa Orta, Cristina || Crisosort
|-
| Tofe Morejón, Antonio Manuel ||
|-
| Toscano Barragán, Rocío || ROCTOSBAR
|-
| Vallecillo López, Ana Isabel || Anavallop
|}