Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) - Contribuciones del usuario [es]

Ejercicios libres

2010-05-12T17:27:13Z

Jdcruz:

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

Autor: Jose David Cruz Margarin
'''
Problema:'''

Dada la función f(x):

1/1+x2 si x <= 1
1 + ln x si x > 1

1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.

2. Analizar su continuidad y derivabilidad.

'''Solucion:'''

'''1.-''' Definimos:

( %i1) g(x):=1/(1+x^2);

( %o1)
g (x) :=1/1 + x2

( %i2) h(x):=1+log(x);

( %o2)
h (x) := 1 + log x

El dominio de g es todo R pues, evidentemente, 1 + x2 6= 0 8x 2 R. Pero, por
si hubiera alguna duda, el alumno podría utilizar Maxima para comprobar que no
existe ninguna solución real (todas sus soluciones son imaginarios puros):

( %i3) solve(1+x^2=0);

( %o3)
[x = -i; x = i]

( %i4) solve(1+x^2=0);

( %o4)
[x = -i; x = i]

Maxima es incluso capaz de asegurarnos que 1+x2 es estrictamente positivo (independientemente
del valor de x) si utilizamos la función is:

( %i5) is(1+x^2>0);

( %o5)
true

Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, planteamos

( %i7) solve(g(x)=0,x);

( %o7)
[]

( %i8) solve(h(x)=0,x);

( %o8)
x = e-1

El único punto de corte es x = 1/e . En cuanto a posibles puntos de corte con el eje
vertical, cuando x = 0 nuestra función toma el valor f(0) = g(0) = 1:

( %i9) g(0);

( %o9)
1

En definitiva:
Los puntos de corte de f(x) son (0; 1) y ( 1/e ; 0).

En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador
es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical
en x = 0, debido al logaritmo:

( %i10) limit(h(x),x,0,plus);

( %o10)
-infinito

Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los
valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical.
Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x)
cuando x -> -infinito (en cuyo caso f = g) y cuando x -> +infinito (en cuyo caso f = h)

( %i11) limit(g(x),x,minf);

( %o11)
0

( %i12) limit(h(x),x,inf);

( %o12)
infinito

Por lo tanto, podemos concluir que:
f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la
recta y = 0) cuando x -> -infinito.

'''2.-''' Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por
lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones
donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este
punto son distintos, pues:

( %i13) limit(g(x),x,1,minus);

( %o13)
1/2

( %i14) limit(h(x),x,1,plus);

( %o14)
1

en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).
Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de
R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos
dominios). Puesto que:

( %i15) diff(g(x),x);

( %o15)
- 2x/(x2 + 1)2

( %i16) diff(h(x),x);

( %o16)
1/x

'''Representacion grafica:'''

Para representar la gráfica de f, podemos definir:

( %i33) f(x):= if(x<1) then g(x) else h(x);

( %o33)
f (x) := if x < 1 then g (x) else h (x)

El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo
de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.

( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);

Maxima was unable to evaluate the predicate:
** error while printing error message **
Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M
#0: f(x=x)
- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);

( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, "set zeroaxis"],
[gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "grafica.eps"]);

( %o35)

[[Archivo:Ejemplo.jpg]]

Archivo:Ejemplo.jpg

2010-05-12T17:25:03Z

Jdcruz:

Ejercicios libres

2010-05-12T17:24:37Z

Jdcruz:

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

Autor: Jose David Cruz Margarin
'''
Problema:'''

Dada la función f(x):

1/1+x2 si x <= 1
1 + ln x si x > 1

1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.

2. Analizar su continuidad y derivabilidad.

'''Solucion:'''

'''1.-''' Definimos:

( %i1) g(x):=1/(1+x^2);
( %o1)
g (x) :=1/1 + x2

( %i2) h(x):=1+log(x);
( %o2)
h (x) := 1 + log x

El dominio de g es todo R pues, evidentemente, 1 + x2 6= 0 8x 2 R. Pero, por
si hubiera alguna duda, el alumno podría utilizar Maxima para comprobar que no
existe ninguna solución real (todas sus soluciones son imaginarios puros):

( %i3) solve(1+x^2=0);
( %o3)
[x = -i; x = i]

( %i4) solve(1+x^2=0);
( %o4)
[x = -i; x = i]

Maxima es incluso capaz de asegurarnos que 1+x2 es estrictamente positivo (independientemente
del valor de x) si utilizamos la función is:

( %i5) is(1+x^2>0);
( %o5)
true

Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, planteamos

( %i7) solve(g(x)=0,x);
( %o7)
[]

( %i8) solve(h(x)=0,x);
( %o8)
x = e-1

El único punto de corte es x = 1/e . En cuanto a posibles puntos de corte con el eje
vertical, cuando x = 0 nuestra función toma el valor f(0) = g(0) = 1:

( %i9) g(0);
( %o9)
1

En definitiva:
Los puntos de corte de f(x) son (0; 1) y ( 1/e ; 0).

En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador
es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical
en x = 0, debido al logaritmo:

( %i10) limit(h(x),x,0,plus);
( %o10)
-infinito

Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los
valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical.
Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x)
cuando x -> -infinito (en cuyo caso f = g) y cuando x -> +infinito (en cuyo caso f = h)

( %i11) limit(g(x),x,minf);
( %o11)
0

( %i12) limit(h(x),x,inf);
( %o12)
infinito

Por lo tanto, podemos concluir que:
f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la
recta y = 0) cuando x -> -infinito.

'''2.-''' Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por
lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones
donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este
punto son distintos, pues:

( %i13) limit(g(x),x,1,minus);
( %o13)
1/2

( %i14) limit(h(x),x,1,plus);
( %o14)
1

en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).
Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de
R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos
dominios). Puesto que:

( %i15) diff(g(x),x);
( %o15)
- 2x/(x2 + 1)2

( %i16) diff(h(x),x);
( %o16)
1/x

'''Representacion grafica:'''

Para representar la gráfica de f, podemos definir:

( %i33) f(x):= if(x<1) then g(x) else h(x);
( %o33)
f (x) := if x < 1 then g (x) else h (x)

El problema es que Maxima no está preparado para representar directamente este tipo
de funciones, siendo necesario encapsular f(x) en una expresión de la forma “’(f(x))”.
( %i34) plot2d(f(x),[x,-5,5]);
Maxima was unable to evaluate the predicate:
** error while printing error message **
Maxima was unable to evaluate the predicate:~%~M
#0: f(x=x)
- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);

( %i35) plot2d(’(f(x)),[x,-5,5], [gnuplot_preamble, "set zeroaxis"],
[gnuplot_term, ps], [gnuplot_out_file, "grafica.eps"]);
( %o35)

[[Archivo:Ejemplo.jpg]]

Ejercicios libres

2010-05-12T17:20:01Z

Jdcruz:

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

Autor: Jose David Cruz Margarin
'''
Problema:'''

Dada la función f(x):

1/1+x2 si x <= 1
1 + ln x si x > 1

1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.

2. Analizar su continuidad y derivabilidad.

'''Solucion:'''

1.- Definimos:
( %i1) g(x):=1/(1+x^2);
( %o1)
g (x) :=1/1 + x2

( %i2) h(x):=1+log(x);
( %o2)
h (x) := 1 + log x

El dominio de g es todo R pues, evidentemente, 1 + x2 6= 0 8x 2 R. Pero, por
si hubiera alguna duda, el alumno podría utilizar Maxima para comprobar que no
existe ninguna solución real (todas sus soluciones son imaginarios puros):

( %i3) solve(1+x^2=0);

( %o3)
[x = -i; x = i]

( %i4) solve(1+x^2=0);
( %o4)
[x = -i; x = i]

Maxima es incluso capaz de asegurarnos que 1+x2 es estrictamente positivo (independientemente
del valor de x) si utilizamos la función is:

( %i5) is(1+x^2>0);
( %o5)
true

Para estudiar los puntos de corte con el eje de las abscisas, planteamos

( %i7) solve(g(x)=0,x);
( %o7)
[]

( %i8) solve(h(x)=0,x);
( %o8)
x = e-1

El único punto de corte es x = 1/e . En cuanto a posibles puntos de corte con el eje
vertical, cuando x = 0 nuestra función toma el valor f(0) = g(0) = 1:
( %i9) g(0);
( %o9)
1
En definitiva:
Los puntos de corte de f(x) son (0; 1) y ( 1/e ; 0).

En nuestro caso, la función g(x) no tiene ninguna asíntota vertical, porque su denominador
es siempre distinto de cero. La función h(x) tendría una asíntota vertical
en x = 0, debido al logaritmo:
( %i10) limit(h(x),x,0,plus);
( %o10)
-infinito
Pero esto no afecta a f(x) ya que, en los alrededores de x = 0, esta función no toma los
valores de h(x), sino de g(x). Por lo tanto, f no tiene ninguna asíntota vertical.
Con respecto a asíntotas horizontales, tendremos que estudiar límites de f(x)
cuando x -> -infinito (en cuyo caso f = g) y cuando x -> +infinito (en cuyo caso f = h),
( %i11) limit(g(x),x,minf);
( %o11)
0
( %i12) limit(h(x),x,inf);
( %o12)
infinito
Por lo tanto, podemos concluir que:
f(x) no tiene ninguna asíntota vertical y tiene una asíntota horizontal (la
recta y = 0) cuando x -> -infinito.

2.- Las funciones g(x) y h(x) son continuas dentro de sus respectivos dominios, por
lo tanto f es continua salvo, eventualmente, en x = 1, el punto que divide las regiones
donde f toma los valores de g y de h. Pero los límites laterales de f en este
punto son distintos, pues
( %i13) limit(g(x),x,1,minus);
( %o13)
1/2
( %i14) limit(h(x),x,1,plus);
( %o14)
1

en consecuencia, f no es continua en x = 1 (tendrá una discontinuidad de salto).
Además, f no es derivable en x = 1 (por no ser continua) pero sí en el resto de
R (pues tanto g como h lo son para valores de x que estén dentro de sus respectivos
dominios). Puesto que
( %i15) diff(g(x),x);
( %o15)
- 2x/(x2 + 1)2

( %i16) diff(h(x),x);
( %o16)
1/x

Ejercicios libres

2010-05-12T17:06:05Z

Jdcruz:

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

Autor: Jose David Cruz Margarin

Problema:

Dada la función f(x):

1/1+x2 si x <= 1
1 + ln x si x > 1

1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.

2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.

3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos y mínimos relativos.

4. Representar su gráfica.

Ejercicios libres

2010-05-12T17:05:34Z

Jdcruz:

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

Autor: Jose David Cruz Margarin

Problema:

Dada la función f(x):

1/1+x2 si x <= 1
1 + ln x si x > 1

1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.
2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.
3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos
y mínimos relativos.
4. Representar su gráfica.

Ejercicios libres

2010-05-12T16:54:21Z

Jdcruz:

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

Autor: Jose David Cruz Margarin

Problema:

Dada la función
f(x) = 1/1+x2 si x <= 1
1 + ln x si x > 1

1. Estudiar su dominio, puntos de corte y asíntotas.
2. Analizar su continuidad y su derivabilidad, calcular su función derivada primera.
3. Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos
y mínimos relativos.
4. Representar su gráfica.

[[Archivo:Ejemplo.jpg]]

Ejercicios libres

2010-05-12T16:27:08Z

Jdcruz:

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

Autor: Jose David Cruz Margarin

'''Problema:
Sea f(x)=(x^2-9)/x'''

1.- Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas.

2.- Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.

3.- Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).

4.- Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.

5.- Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.

6.- Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.
Calcula una primitiva de f(x).

'''
Solucion:'''

1.- Comenzamos definiendo f(x):
( %i1) f(x):=(x^2-9)/x;
( %o1)
f (x) :=
<math>x2-9/x</math>

118 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:
( %i2) solve(f(x)=0,x);
( %o2)
[x = 􀀀3; x = 3]
así que tenemos (􀀀3; 0) y (3; 0). Los puntos de corte con OY verifican x = 0, pero
( %i3) f(0);
Division by 0
#0: f(x=0)
- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true);
Evidentemente, el punto x = 0 no está en el dominio, pues el denominador se hace cero
(y Maxima nos da el error anterior).
Valores de f(n)
Podríamos calcular uno a uno los valores de f(n) pero es más rápido, como
vimos en el tema anterior, utilizar la función “map”, que es especialmente apropiada
para crear tablas de valores:
( %i4) lista:makelist(100*n,n,1,15);
( %o4)
[100; 200; 300; 400; 500; 600; 700; 800; 900; 1000; 1100; 1200; 1300; 1400; 1500]
( %i5) tabla:map(f,lista);
( %o5)
�9991
100
;
39991
200
;
29997
100
;
159991
400
;
249991
500
;
119997
200
;
489991
700
;
639991
800
;
89999
100
;
999991
1000
;
1209991
1100
;
479997
400
;
16899130( %i6) %,numer;
( %o6)
[99;909999999999997; 199;95500000000001; 299;97000000000003; 399;97750000000002; 499;982000000000Parece que
l��m
x!+1
f(x) = +1;
pero es mejor confirmarlo con Maxima. Efectivamente:
119
( %i7) limit(f(x),x,inf);
( %o7)
1
Asíntotas
Como vemos a continuación, f(x) tiene una asíntota vertical en x = 0, de hecho
l��m
x!0+
f(x) = 􀀀1 l��m
x!0􀀀
f(x) = +1
( %i8) limit(f(x),x,0);
( %o8)
und
( %i9) limit(f(x),x,0,plus);
( %o9)
􀀀1
( %i10) limit(f(x),x,0,minus);
( %o10)
1
Por otra parte, f(x) no tiene asíntotas horizontales en +1(como vimos, el límite
es +1) y tampoco en 􀀀1, como vemos ahora:
( %i11) limit(f(x),x,minf);
( %o11)
􀀀1
Y, por otro lado, puesto que
( %i12) limit(f(x)/x,x,inf);
( %o12)
1
f(x) tiene una asíntota oblicua, de la forma y = 1 � x + a, donde a viene dado por el
siguiente límite:
120 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
( %i13) limit(f(x)-1*x,x,inf);
( %o13)
0
Por tanto, la asíntota oblicua es y = x.
Gráfica
Representaremos f(x) junto con su asíntota, y = x. A base de prueba y error, se
encontrarán los intervalos de x e y adecuados, en este caso se tomará x 2 [􀀀20; 20],
y 2 [􀀀20; 100]:
( %i14) plot2d([f(x),x],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
zeroaxis;"]);
( %o14)
Figura A.1: Gráfica de la función x2􀀀9
2 junto a su asíntota oblicua y = x
Derivada y recta tangente
A continuación, calculamos la derivada de f(x), definimos el punto a = 3 y
hallamos f0(a).
( %i15) diff(f(x),x);
( %o15)
2 􀀀
x2 􀀀 9
x2
121
( %i16) ratsimp(%);
( %o16)
x2 + 9
x2
( %i17) a:3;
( %o17)
3
( %i18) ”(diff(f(x),x)),x=a;
( %o18)
2
Obsérvese que (como se comentó en los apuntes de este tema) antes de sustituir el valor
x = a en la derivada, es necesario utilizar un doble operador comilla (”), que se obtiene
pulsando dos veces en la tecla ?. Este operador se puede interpretar como «el resultado
de evaluar la siguiente expresión» (en este caso, la derivada de f(x)). En general, la
última entrada se puede interpretar como «sustituir x = a en el resultado de calcular la
derivada de f(x)».
También podríamos haber utilizado este operador para definir una función, a la que
podríamos llamar Df(x), que representaría a la primera derivada de f(x). Esto lo haremos
más abajo, como ejemplo. Y como se puede ver aprovecharemos para simplificar la
derivada (con la función “ratsimp” antes de definir Df(x)). Así, la definición se puede
leer como «Df(x) se define como el resultado (doble comilla) de simplificar (ratsimp)
la derivada (diff ) de f(x)»
Una vez que conocemos la pendiente, m = f0(a) = 2, podemos escribir la recta
tangente como
y 􀀀 f(a) = m � (x 􀀀 a)
( %i19) Df(x):=”(ratsimp(diff(f(x),x)));
( %o19)
Df (x) :=
x2 + 9
x2
( %i20) m:Df(a);
( %o20)
2
( %i21) y-f(a)=m*(x-a);
( %o21)
y = 2 (x 􀀀 3)
122 Problema resuelto 1: estudio y representación de una función
( %i22) expand(%);
( %o22)
y = 2 x 􀀀 6
Y (utilizando el menú de wxMaxima, si así lo deseamos), podemos representar la
gráfica:
( %i23) plot2d([f(x),2*x-6],[x,-20,20],[y,-20,20],[gnuplot_preamble,"set
zeroaxis;"]);
( %o23)
El resultado se puede apreciar en la figura A.2
Figura A.2: Gráfica de la función x2􀀀9
2 junto su recta tengente en x = 3
Primitiva y área
Calcular una primitiva es fácil. Recurramos o no al sistema de menús de wxMaxima,
tendremos:
( %i24) integrate(f(x),x);
( %o24)
x2
2 􀀀 9 log x
Para el cálculo de áreas, observamos que f(x) > 0 en [3;+1), pues hemos visto que
f(3) = 0 y si x > 3 el numerador y el denominador de f(x) son estrictamente positivos
123

Sus puntos de corte con OX verifican f(x) = 0:
( %i2) solve(f(x)=0,x);
( %o2)
[x = -3; x = 3]

Ejercicios libres

2010-05-12T16:09:22Z

Jdcruz:

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

Autor: Jose David Cruz Margarin

Problema:
Sea f(x)=(x^2-9)/x

1.- Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas.

2.- Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas
que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.
3.- Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).
4.- Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.
5.- Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.
6.- Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.
Calcula una primitiva de f(x).

Ejercicios libres

2010-05-12T16:08:58Z

Jdcruz:

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

Autor: Jose David Cruz Margarin

Problema:
Sea f(x)=(x^2-9)/x

1.- Halla los puntos de corte de f(x) con los ejes de coordenadas.
2.- Presenta una lista con los valores de f(n); n = 100; 200; 300; : : : 1500. ¿Cuál piensas
que es el límite de f(x) en +1? Confírmalo con wxMaxima.
3.- Estudia las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de f(x).
4.- Representa de forma conjunta la gráfica de f(x) y de la recta y = x.
5.- Halla la función derivada de f(x) y la recta tangente a f(x) en el punto a = 3.
6.- Representar de forma conjunta a la gráfica de f(x) y la de esta recta tangente.
Calcula una primitiva de f(x).