Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) - Contribuciones del usuario [es]

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-11T11:31:46Z

Jcharneco: /* Ejercicio 3.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
X:[(a,b),(c,d)];

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
M:A.X-X.A;

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-11T11:31:26Z

Jcharneco: /* Ejercicio 3.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
X:[(a,b),(c,d)];

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-11T11:30:30Z

Jcharneco: /* Ejercicio 3.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 5: Programación

2011-04-11T11:28:31Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''
media(n):=block([lista,k],
lista: []
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista: cons(k,lista))$
mean(lista))$

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''
Goldbach(n):=block([lista,k],
lista: [k],
for k from 2 thru n do
(if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''
goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista:[],
(if primep(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

Ejercicios 5: Programación

2011-04-11T11:28:00Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''
media(n):=block([lista,k],
lista: []
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista: cons(k,lista))$
mean(lista))$

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''
Goldbach(n):=block([lista,k],
lista: [k],
for k from 2 thru n do
(if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

Ejercicios 5: Programación

2011-04-11T11:27:27Z

Jcharneco: /* Ejercicio 3.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''
media(n):=block([lista,k],
lista: []
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista: cons(k,lista))$
mean(lista))$

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

Ejercicios 5: Programación

2011-04-11T11:26:52Z

Jcharneco: /* Ejercicio 3.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

Ejercicios 5: Programación

2011-04-11T11:25:45Z

Jcharneco: /* Ejercicio 3.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

Ejercicios 5: Programación

2011-04-11T11:24:44Z

Jcharneco: /* Ejercicio 1.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:23:31Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.10. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''
limit(u[n],n,inf);

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''
w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''
makelist([n,v[n]],n,0,9);

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''
solve_rec(w[n]=(u[n]-a)/(u[n]-b),w[n]);

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''
ratsimp(%);

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:23:05Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.9. */

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:22:36Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.8. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''
limit(u[n],n,inf);

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''
w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''
makelist([n,v[n]],n,0,9);

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:22:03Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.7. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''
limit(u[n],n,inf);

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''
w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:21:26Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.5. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''
limit(u[n],n,inf);

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:20:58Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:20:29Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''
u[1];
u[2];
u[9];

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:20:06Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:19:40Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''
f[x]:=x/(3-2*x);

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:19:10Z

Jcharneco: /* Ejercicio 3.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:18:35Z

Jcharneco: /* Ejercicio 3.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:17:47Z

Jcharneco: /* Ejercicio 2.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:17:21Z

Jcharneco: /* Ejercicio 2.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-11T11:16:48Z

Jcharneco: /* Ejercicio 2.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 3: Aritmética

2011-04-11T11:14:22Z

Jcharneco: /* Ejercicio 5.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''
a:2460$ b: 3030$

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''
divisors(a);

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''
divisors(b);

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''
S_1: divisors(a);
S_2:divisors(b);
intersection(S_1,S_2);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''
lcm(a,b);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''
n: 2008!;

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''
ifactors(n);

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''
for i from 1 step 1 thru 100000 do (print(i,”=”,factor(i)));

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''
prev_prime(100000);

Ejercicios 3: Aritmética

2011-04-11T11:13:44Z

Jcharneco: /* Ejercicio 4.1 */

Ejercicios 3: Aritmética

2011-04-11T11:13:02Z

Jcharneco: /* Ejercicio 2.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''
a:2460$ b: 3030$

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''
divisors(a);

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''
divisors(b);

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''
S_1: divisors(a);
S_2:divisors(b);
intersection(S_1,S_2);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''
lcm(a,b);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''
n: 2008!;

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''
ifactors(n);

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

Ejercicios 3: Aritmética

2011-04-11T11:12:27Z

Jcharneco: /* Ejercicio 2.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''
a:2460$ b: 3030$

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''
divisors(a);

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''
divisors(b);

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''
S_1: divisors(a);
S_2:divisors(b);
intersection(S_1,S_2);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''
lcm(a,b);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''
n: 2008!;

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

Ejercicios 3: Aritmética

2011-04-11T11:11:58Z

Jcharneco: /* Ejercicio 1.6. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''
a:2460$ b: 3030$

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''
divisors(a);

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''
divisors(b);

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''
S_1: divisors(a);
S_2:divisors(b);
intersection(S_1,S_2);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''
lcm(a,b);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

Ejercicios 3: Aritmética

2011-04-11T11:11:25Z

Jcharneco: /* Ejercicio 1.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''
a:2460$ b: 3030$

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''
divisors(a);

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''
divisors(b);

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''
S_1: divisors(a);
S_2:divisors(b);
intersection(S_1,S_2);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

Ejercicios 3: Aritmética

2011-04-11T11:10:54Z

Jcharneco: /* Ejercicio 1.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''
a:2460$ b: 3030$

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''
divisors(a);

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''
divisors(b);

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

Ejercicios 3: Aritmética

2011-04-11T11:10:16Z

Jcharneco: /* Ejercicio 1.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''
a:2460$ b: 3030$

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''
divisors(a);

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

Ejercicios 3: Aritmética

2011-04-11T11:09:42Z

Jcharneco: /* Ejercicio 1.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''
a:2460$ b: 3030$

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-11T11:07:39Z

Jcharneco: /* Ejercicio 1.4 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que:<br/>
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento.<br/>
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R.<br/>
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-1,3],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
[[Archivo:Grafica_2x-sqrt1+x^2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones

2011-04-11T10:51:34Z

Jcharneco: Página creada con 'Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones sist:[x+y+z=95, x+2*y+5*z=200]; solve(sist,[x,y,z]);'

Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones sist:[x+y+z=95, x+2*y+5*z=200]; solve(sist,[x,y,z]);

Calcular un determinante 4x4

2011-04-11T10:50:52Z

Jcharneco: Página creada con 'M:matrix[(a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a]); determinant(A);'

M:matrix[(a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a]); determinant(A);

Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)

2011-04-11T10:50:03Z

Jcharneco: Página creada con 'Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx) t(x):=(ln(x+1)-ln(x)); limit(t(x),x,inf); z(x):=x*(ln(x+1)-ln(x)); limit(z(x),x,inf);'

Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx) t(x):=(ln(x+1)-ln(x)); limit(t(x),x,inf); z(x):=x*(ln(x+1)-ln(x)); limit(z(x),x,inf);

Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo

2011-04-11T10:49:30Z

Jcharneco: Página creada con 'Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo h(x):=if y>0 then x^2+y^2=25 else 0; solve(diff(h(x),x),[x,y]);'

Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo

h(x):=if y>0 then x^2+y^2=25 else 0; solve(diff(h(x),x),[x,y]);

Aplicación del teorema del Valor Medio

2011-04-11T10:48:58Z

Jcharneco: Página creada con 'Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4,2] g(x):=if x<2 then x^2+n*x else x^3+m limit(g(x),x,2,plus); limit(g(x),x,2,…'

Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4,2] g(x):=if x<2 then x^2+n*x else x^3+m limit(g(x),x,2,plus); limit(g(x),x,2,minus);

Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos

2011-04-11T10:48:02Z

Jcharneco:

a) ¿Es continua en el punto x=0? f(x):=if x<0 then e^(-x)-1 else x^2+x; limit(f(x),x,0, plus); limit(f(x),x,0, minus);

b) ¿Es derivable en el punto x=0? limit(diff(f(x),x),x,0,plus); limit(diff(f(x),x),x,0,minus);

Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos

2011-04-11T10:47:18Z

Jcharneco: Página creada con 'a) ¿Es continua en el punto x=0? f(x):=if x<0 then e^(-x)-1 else x^2+x; limit(f(x),x,0, plus); limit(f(x),x,0, minus);'

a) ¿Es continua en el punto x=0? f(x):=if x<0 then e^(-x)-1 else x^2+x; limit(f(x),x,0, plus); limit(f(x),x,0, minus);

Hallar el ángulo que forman una recta y un plano

2011-04-11T10:46:43Z

Jcharneco: Página creada con 'a) Calcular el seno del ángulo que forman la recta R y el plano п v:([-1,-1,2]); u:([2,-3,1]); v.u/(abs(sqrt(v[1,1]^2+v[1,2]^2+v[1,3]^2)*(abs(sqrt(u[1,1]^2+u[1,2]^2+u[1,3]^2);'

a) Calcular el seno del ángulo que forman la recta R y el plano п v:([-1,-1,2]); u:([2,-3,1]); v.u/(abs(sqrt(v[1,1]^2+v[1,2]^2+v[1,3]^2)*(abs(sqrt(u[1,1]^2+u[1,2]^2+u[1,3]^2);

Intersección de una esfera y un plano

2011-04-11T10:46:06Z

Jcharneco: Página creada con 'a) Determinar el centro y el radio de la esfera solve(x^2+y^2+z^2-2*x+4*y+8*z-4); b) Determinar el centro y el radio de la circunferencia intersección de la esfera del aparta…'

a) Determinar el centro y el radio de la esfera solve(x^2+y^2+z^2-2*x+4*y+8*z-4);

b) Determinar el centro y el radio de la circunferencia intersección de la esfera del apartado anterior con el plano z=0; ecu:[x^2+y^2-2*x+4*y-4=0]; solve(ecu,[x,y]);

Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros

2011-04-11T10:45:16Z

Jcharneco: Página creada con 'a) Calcular las coordenadas del centro y el radio de la esfera: A: matrix([0,0,4]); B:matrix([2,4,0]); C:abs((A-B)/2); sqrt(C[1,1]^2+C[1,2]^2+C[1,3]^2); b) Obtener su ecuació…'

a) Calcular las coordenadas del centro y el radio de la esfera: A: matrix([0,0,4]); B:matrix([2,4,0]); C:abs((A-B)/2); sqrt(C[1,1]^2+C[1,2]^2+C[1,3]^2);

b) Obtener su ecuación cartesiana: sist:[(x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=9];

c) Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P(2,4,4): CP:([1,2,2]); sist:[(x-2)*CP[1,1]+(y-4)*CP[1,2]+(z-4)*CP[1,3]];

Temas

2011-04-10T16:10:07Z

Jcharneco:

# [[Software libre, conocimiento libre y matemáticas]].
# Cálculo simbólico ([http://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/maxima/resumen_maxima.pdf Resumen de Maxima])
## Introducción a Maxima: [http://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/maxima/temas/tema-1/tema_1.html apuntes] y [[Ejercicios de introducción a Maxima|ejercicios]].
## Funciones de una variable: [http://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/maxima/temas/tema-2/tema_2.html apuntes] y [[Ejercicios 2: Funciones de una variable|ejercicios]].
## Aritmética: [http://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/maxima/temas/tema-3/tema_3.html apuntes] y [[Ejercicios 3: Aritmética|ejercicios]].
## Sucesiones y recursión: [http://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/maxima/temas/tema-4/tema_4.html apuntes] y [[Ejercicios 4: Sucesiones y recursión|ejercicios]].
## Programación: [http://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/maxima/temas/tema-5/tema_5.html apuntes] y [[Ejercicios 5: Programación|ejercicios]].
## Matrices con Maxima: [http://www.glc.us.es/~jalonso/SLEAM2010/maxima/temas/tema-6/tema_6.html apuntes] y [[Ejercicios 6: Matrices con Maxima|ejercicios]].
# Web 2.0 y la enseñanza:
## [http://5lineas.com/files/curso/cfie-cuellar/curso-cuellar-s1-blogs.ppt Los blogs].
## [http://5lineas.com/files/curso/cfie-cuellar/curso-cuellar-s1-wikis.ppt Las wikis].
## [http://5lineas.com/files/curso/cfie-cuellar/curso-cuellar-s3-web20.ppt La web 2.0].

Tema 1:
Ejercicio 1
Ejercicio 1.1
Definir la constante .
Solución:
a:(20+14*sqrt(2))^(1/3);
a:a+(20-14*sqrt(2))^(1/3);
________________________________________
Ejercicio 1.2
Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?
Solución:
float(%);
Se aproxima al entero 4.
Ejercicio 2
Ejercicio 2. Escribir el número en la forma , donde a,b,c y d son números racionales.
Nota: Cambiar el valor de la variable %piargs a true y usar radcan para la simplificación de radicales.
Solución:
radcan((sin(pi/3)+cos(pi/3))^9);
Ejercicio 3
Calcular la cifra 149 del número π.
Solución:
fpprec : 149;
bfloat(1000*%pi);
set_display(ascii)$bfloat(1000*%pi);set_display(xml)$
Ejercicio 4
Se considera el polinomio p = x4 − x3 − 7x2 − 8x − 6.
(%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6$
Ejercicio 4.1.
Calcular las raíces reales de p.
Solución:
solve(x^4-x^3-7*x^2-8*x-6);
Ejercicio 4.2
Factorizar al máximo el polinomio p.
Solución:
factor(x^4-x^3-7*x^2-8*x-6);
Ejercicio 5
Sea .
(%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$
Ejercicio 5.1
Calcular la parte real y la parte imaginaria de z.
Solución:
rectform(z);
Ejercicio 5.2
Calcular el módulo y el argumento de z.
Solución:
abs(z);
carg(z);
Ejercicio 6
Ejercicio 6.1
Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación
sinx = 1 − x4.
Solución:
wxplot2D([1-x^4,x],[x,-2,2])$
Ejercicio 6.2
Dar una aproximación de cada solución.
Solución:
find_root(1-x^4,x,-2,2);
Ejercicio 7
Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros a,b y c:

Solución:
sist:[x+a*y+a^2*z=0,x+b*y+b^2*z=0,x+c*y+c^2*z=1];
solve(sist,[x,y,z]);

Tema 2:
Ejercicio 1
Sean a y b dos números reales. Se considera la función f definida sobre los números reales por

Ejercicio 1.1
Definir la función f usando el condicional if ... then ... else.
Solución:
f(x):= if x>0 then (e^x-1)/x
elseif x<=0 then a*x+b;
Ejercicio 1.2
limit no puede evaluar expresiones del tipo if...then. Por ello, para determinar el límite de f en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra x. Esto puede hacerse con la función assume.
Escribir la expresión assume(x>0), después calcular el límite de f en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre x con forget(x>0).
Solución:
assume(x>0,(e^x-1)/x);
assume(x<=0,a*x+b);
limit((e^x-1)/x,x,0, plus);
Ejercicio 1.3
Deducir el valor de b para el que f es continua en .
Solución:

Ejercicio 1.4
Calcular la derivada de f en cero por la derecha.
Solución:
'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
Ejercicio 1.5
Calcular el valor de a para el que f es derivable en cero.
Solución:

Ejercicio 2
Sea g la función real definida por
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
Ejercicio 2.1
Calcular los límites de g en más y menos infinito.
Solución:
limit(g(x),x,minf);
limit(g(x),x,inf);
Ejercicio 2.2
Dibujar la gráfica de la función g.
Solución:
plot2d(g(x),[x,-2,2],[y,-5,5]);
Ejercicio 2.3
Calcular g'(x).
Solución:
diff(g(x),x);
Ejercicio 2.4
Resolver la ecuación g(x) = 0.
Solución:
solve(g(x),x);

Ejercicio 2.5
Determinar los intervalos de crecimiento de g.
Solución:

Ejercicio 2.6
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de g.
Solución:

Ejercicio 3
Ejercicio 3.1
Desarrollar cos(3t) en función de cos(t).
Solución:
cos(3*x), trigexpand=true,expand;
Ejercicio 3.2
Desarrollar cos(4t) en función de cos(t)
Solución:
cos(4*x), trigexpand=true,expand;
Ejercicio 3.3
Desarrollar cos(5t) en función de cos(t).
Solución:
cos(5*x), trigexpand=true,expand;
Ejercicio 3.4
Determinar los polinomios Tn de la variable x tales que para todo , para .
Solución:

Ejercicio 3.5
Representar las funciones T3, T4 y T5 en la misma gráfica.
Solución:

Tema 3:
Ejercicio 1
Ejercicio 1.1.
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.
Solución
a:2460$ b: 3030$
Ejercicio 1.2.
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.
Solución
divisors(a);
Ejercicio 1.3.
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.
Solución
divisors(b);
Ejercicio 1.4.
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.
Solución
S_1: divisors(a);
S_2:divisors(b);
intersection(S_1,S_2);
Ejercicio 1.5.
Calcular el máximo común divisor de a y b.
Solución
Ejercicio 1.6.
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.
Solución
lcm(a,b);
Ejercicio 2
Ejercicio 2.1.
Asignarle a la variable n el valor 2008!
Solución
n: 2008!;
Ejercicio 2.2.
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?
Solución

Ejercicio 2.3.
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.
Solución
ifactors(n);
Ejercicio 2.4.
¿Con cuántos ceros termina n?
Solución

Ejercicio 3
Ejercicio 3.1.
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.
Solución

Ejercicio 4
Ejercicio 4.1
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.
Solución
for i from 1 step 1 thru 100000 do (print(i,”=”,factor(i)));
Ejercicio 5
Ejercicio 5.1.
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.
Solución

Ejercicio 5.2.
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.
Solución
prev_prime(100000);

Tema 4:
Ejercicio 1
Ejercicio 1.1.
La sucesión de Fibonacci está definida como

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.
Solución:
f[0]:0$
f[1]:1$
f[n]=f[n-1]+f[n-2]$
Ejercicio 1.2.
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.
Solución:
makelist([k,f[k]],k,0,19);
Ejercicio 1.3.
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.
Solución:
f[20];
Ejercicio 1.4.
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.
Solución:

Ejercicio 1.5.
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.
Solución:

Ejercicio 1.6.
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.
Solución:
f[800];
Ejercicio 2
Ejercicio 2.1.
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!
Solución:
sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n);
Ejercicio 2.2.
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].
Solución:
s[1];
s[2];
s[5];
s[9];
Ejercicio 2.3.
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].
Solución:

Ejercicio 2.4.
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].
Solución:
load(simplify_sum)$
'sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n)=simplify_sum(sum((-1)^(k+1)/k!,k,1,n));
Ejercicio 3
Un banco presta un capital K al t por ciento anual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
c[n+1] = (1+t)*c[n]-x
Ejercicio 3.1.
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.
Solución:
c[n]:=(1+t)*c[n-1]-x;
Ejercicio 3.2.
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.
Solución:

Ejercicio 3.3.
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.
Solución:
solve_rec(c[n]=(1+0.055)*c[n-1]-x,c[n],c[0]=100000);
Ejercicio 4
Ejercicio 4.1.
Definir la función f(x) = x/(3-2x).
Solución:
f[x]:=x/(3-2*x);
Ejercicio 4.2.
Definir la sucesión u[n] tal que u0 = 2 y un + 1 = f(un).
Solución:
u[0]:2$
u[n]:=f[u[n]];
Ejercicio 4.3.
Calcular u[1], u[2] y u[9].
Solución:
u[1];
u[2];
u[9];
Ejercicio 4.4.
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.
Solución:
L:makelist([u[k],f(u[k])),k,0,15)$
wxplot2d([f(x),x, [discrete,L]],[x,0,%pi/2],[y,0,2]);
Ejercicio 4.5.
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.
Solución:
limit(u[n],n,inf);
Ejercicio 4.6.
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.
Solución:

Ejercicio 4.7.
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)
Solución:
w[n]:=(u[n]-a)/(u[n]-b);
Ejercicio 4.8.
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].
Solución:
makelist([n,v[n]],n,0,9);
Ejercicio 4.9.
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.
Solución:
solve_rec(w[n]=(u[n]-a)/(u[n]-b),w[n]);
Ejercicio 4.10.
Deducir la expresión de u[n] en función de n.
Solución:
ratsimp(%);

Tema 5:
Ejercicio 1
Ejercicio 1.1.
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8
Solución:
tangente(f,a):=block([a],a:2, f(a)+diff(f(a)*(x-a));
Ejercicio 1.2.
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.
Solución:
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);
Ejercicio 2
Ejercicio 2.1.
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.
Solución:

Ejercicio 2.2.
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3
Solución:
Ejercicio 3
Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.
Ejercicio 3.1.
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por primera vez.
Solución:
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));
Ejercicio 3.2.
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]
Solución:
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$
Ejercicio 3.3.
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).
Solución:
media(n):=block([lista,k],
lista: []
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista: cons(k,lista))$
mean(lista))$
Ejercicio 4
La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47
Solución:
Ejercicio 4.1.
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.
Solución:
Goldbach(n):=block([lista,k],
lista: [k],
for k from 2 thru n do
(if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))
Ejercicio 4.2.
Descomponer 2010 como suma de dos primos.
Solución:
Goldbach(2010);
Ejercicio 4.3.
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]
Solución:
goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista:[],
(if primep(k) then lista : cons(k,lista)))$
Ejercicio 4.4.
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.
Solución:

Tema 6:
Ejercicio 1
Ejercicio 1.1.
Definir la matriz

para .
Solución:
M:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);
Ejercicio 1.2.
Calcular el determinante de M(k).
Solución:
Determinant(M);
Ejercicio 1.3.
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.
Solución:
invert(M);
Ejercicio 1.4.
Calcular la inversa de M(k).
Solución:
Invert(M);
Ejercicio 1.5.
Calcular los autovalores de M(k).
Solución:
solve(%=0,x);
factor(charpoly(M,x));
eigenvalues(M);
Ejercicio 1.6.
Determinar los k para los que M(k) tiene autovalores múltiples.

Ejercicio 2
Ejercicio 2.1.
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

Solución:
a[i,j]=
Ejercicio 2.2.
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).
Solución:
Ejercicio 2.3.
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).
Solución:
Ejercicio 2.4.
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).
Solución:
Ejercicio 2.5.
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.
Solución:
Ejercicio 3
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

Ejercicio 3.1.
Escribir la matriz A definida por

Solución:
A:[(1,-5),(-5,3)];
Ejercicio 3.2.
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.
Solución:
X:[(a,b),(c,d)];
Ejercicio 3.3.
Calcular M = AX − XA
Solución:
M:A.X-X.A;
Ejercicio 3.4.
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.
Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.
Solución:
globalsolve:true$

Ejercicio 3.5.
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0
Solución:

Ejercicio 3.6.
Comprobar que A y B conmutan.
Solución:

Ejercicios de selectividad

2011-04-10T16:05:02Z

Jcharneco:

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
1. Esferas y cónicas
1.1. Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros

a) Calcular las coordenadas del centro y el radio de la esfera:
A: matrix([0,0,4]);
B:matrix([2,4,0]);
C:abs((A-B)/2);
sqrt(C[1,1]^2+C[1,2]^2+C[1,3]^2);

b) Obtener su ecuación cartesiana:
sist:[(x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=9];

c) Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P(2,4,4):
CP:([1,2,2]);
sist:[(x-2)*CP[1,1]+(y-4)*CP[1,2]+(z-4)*CP[1,3]];

1.2. Intersección de una esfera y un plano

a) Determinar el centro y el radio de la esfera
solve(x^2+y^2+z^2-2*x+4*y+8*z-4);

b) Determinar el centro y el radio de la circunferencia intersección de la esfera del apartado anterior con el plano z=0;
ecu:[x^2+y^2-2*x+4*y-4=0];
solve(ecu,[x,y]);

2. Rectas y planos
2.1. Hallar el ángulo que forman una recta y un plano

a) Calcular el seno del ángulo que forman la recta R y el plano п
v:([-1,-1,2]);
u:([2,-3,1]);
v.u/(abs(sqrt(v[1,1]^2+v[1,2]^2+v[1,3]^2)*(abs(sqrt(u[1,1]^2+u[1,2]^2+u[1,3]^2);

3. Funciones, derivadas e integrales
3.1. Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos
a) ¿Es continua en el punto x=0?
f(x):=if x<0 then e^(-x)-1
else x^2+x;
limit(f(x),x,0, plus);
limit(f(x),x,0, minus);

b) ¿Es derivable en el punto x=0?
limit(diff(f(x),x),x,0,plus);
limit(diff(f(x),x),x,0,minus);

3.2. Aplicación del teorema del Valor Medio
Determinar m y n para que se cumplan las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [-4,2]
g(x):=if x<2 then x^2+n*x
else x^3+m
limit(g(x),x,2,plus);
limit(g(x),x,2,minus);

4. Maximización y minimización
4.1. Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo

h(x):=if y>0 then x^2+y^2=25
else 0;
solve(diff(h(x),x),[x,y]);

5. Límites
5.1. Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)
t(x):=(ln(x+1)-ln(x));
limit(t(x),x,inf);
z(x):=x*(ln(x+1)-ln(x));
limit(z(x),x,inf);

6. Matrices y determinantes
6.1. Calcular un determinante 4x4
M:matrix[(a,a,a,a],[2,a,a,a],[3,2,a,a],[4,3,2,a]);
determinant(A);

7. Sistemas de ecuaciones
7.1. Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones
sist:[x+y+z=95, x+2*y+5*z=200];
solve(sist,[x,y,z]);