Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) - Contribuciones del usuario [es]

Ejercicios del proyecto Euler 2010

2010-05-12T23:17:31Z

Inesgal:

En esta sección se encuentran ejercicios del [http://projecteuler.net/ proyecto Euler] realizados con los sistemas de software libre.
* [[Ejercicio 1: Sumar los enteros menores de 1000 que sean múltiplos de 3 ó 5]].
* [[Ejercicio 2: Sumar los términos pares de la sucesión de Fibonacci que no superen los 4000000]].
* [[Ejercicio 3: Calcular el mayor factor primo de un número compuesto]].
* [[Ejercicio 4: Calcular el mayor palíndromo producto de números de 3 cifras]].
* [[Ejercicio 5: Buscar el número primo que ocupa la posición 10001 en la secuencia de números primos]].
* [[Ejercicio 6: Diferencia entre el cuadrado de la suma de los primeros cien números y la suma de los cuadrados]].
* [[Ejercicio 7: Encontrar el mcm de los numeros del 1 al 20]].
* [[Ejercicio 8: Hallar el primer número que es divisble por todos los números desde el 1 al 20]]
* [[Ejercicio 9: Encontrar la única terna pitagórica que cumple que a+b+c=1000]]
* [[Ejercicio 10: Encuentra la suma de todos los primos menores que 2000000]].
* [[Ejercicio 29: ¿cuántos términos distintos hay en la secuencia generada por a^b, con a y b comprendidos entre 2 y 100? ]].
* [[Ejercicio 48: Encuentra los últimos 10 dígitos de la serie, 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + 1000^1000]].
* [[Ejercicio 179: Encuentra el número de enteros entre 1 y 10^7 tales que n y n+1 tienen el mismo número de divisores positivos]].

2010 Ejercicio 48: Encuentra los últimos 10 dígitos de la serie, 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + 1000^1000

2010-05-10T16:29:28Z

Inesgal:

====SOLUCION====

(%i1) sum(k^k,k,1,1000)
(%o1) 100036819914469517709537501122[2941 digits]383642350667978127819110846700
Los últimos 10 dígitos por tanto son 9110846700

2010 Ejercicio 48: Encuentra los últimos 10 dígitos de la serie, 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + 1000^1000

2010-05-10T16:28:47Z

Inesgal: Página creada con ' (%i1) sum(k^k,k,1,1000) (%o1) 100036819914469517709537501122[2941 digits]383642350667978127819110846700 Los últimos 10 dígitos por tanto son 9110846700'

(%i1) sum(k^k,k,1,1000)
(%o1) 100036819914469517709537501122[2941 digits]383642350667978127819110846700
Los últimos 10 dígitos por tanto son 9110846700

Ejercicios del proyecto Euler 2010

2010-04-30T12:41:03Z

Inesgal:

En esta sección se encuentran ejercicios del [http://projecteuler.net/ proyecto Euler] realizados con los sistemas de software libre.
* [[Ejercicio 1: Sumar los enteros menores de 1000 que sean múltiplos de 3 ó 5]].
* [[Ejercicio 2: Sumar los términos pares de la sucesión de Fibonacci que no superen los 4000000]].
* [[Ejercicio 3: Calcular el mayor factor primo de un número compuesto]].
* [[Ejercicio 4: Calcular el mayor palíndromo producto de números de 3 cifras]].
* [[Ejercicio 5: Buscar el número primo que ocupa la posición 10001 en la secuencia de números primos]].
* [[Ejercicio 6: Diferencia entre el cuadrado de la suma de los primeros cien números y la suma de los cuadrados]].
* [[Ejercicio 7: Encontrar el mcm de los numeros del 1 al 20]].
* [[Ejercicio 8: Hallar el primer número que es divisble por todos los números desde el 1 al 20]].
* [[Ejercicio 10: Encuentra la suma de todos los primos menores que 2000000]].
* [[Ejercicio 48: Encuentra los últimos 10 dígitos de la serie, 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + 1000^1000]].

Ejercicio 10: Find the sum of all the primes below two million

2010-04-30T12:39:52Z

Inesgal: Página creada con ' Solución usando Maxima (%i1) cont: 0$ for i: 1 step 1 thru 1999999 do (if (primep(i) = true) then (cont: cont+i)); (%i2) cont; (%o2) 142913828922'

Solución usando Maxima

(%i1) cont: 0$
for i: 1 step 1 thru 1999999 do
(if (primep(i) = true) then (cont: cont+i));
(%i2) cont;
(%o2) 142913828922

Ejercicios del proyecto Euler 2010

2010-04-30T12:38:43Z

Inesgal:

En esta sección se encuentran ejercicios del [http://projecteuler.net/ proyecto Euler] realizados con los sistemas de software libre.
* [[Ejercicio 1: Sumar los enteros menores de 1000 que sean múltiplos de 3 ó 5]].
* [[Ejercicio 2: Sumar los términos pares de la sucesión de Fibonacci que no superen los 4000000]].
* [[Ejercicio 3: Calcular el mayor factor primo de un número compuesto]].
* [[Ejercicio 4: Calcular el mayor palíndromo producto de números de 3 cifras]].
* [[Ejercicio 5: Buscar el número primo que ocupa la posición 10001 en la secuencia de números primos]].
* [[Ejercicio 6: Diferencia entre el cuadrado de la suma de los primeros cien números y la suma de los cuadrados]].
* [[Ejercicio 7: Encontrar el mcm de los numeros del 1 al 20]].
* [[Ejercicio 8: Hallar el primer número que es divisble por todos los números desde el 1 al 20]].
* [[Ejercicio 10: Find the sum of all the primes below two million]].
* [[Ejercicio 48: Find the last ten digits of the series, 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + 1000^1000]].

Ejercicio 48: Find the last ten digits of the series, 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + 1000^1000

2010-04-30T11:46:26Z

Inesgal: Página creada con ' Solución usando Maxima (%i1) sum(k^k,k,1,1000); (%o1) 100036819914469517709537501122[2941 digits]383642350667978127819110846700 Por tanto los diez últimos dígitos son: …'

Solución usando Maxima

(%i1) sum(k^k,k,1,1000);
(%o1) 100036819914469517709537501122[2941 digits]383642350667978127819110846700
Por tanto los diez últimos dígitos son: 9110846700

Ejercicios del proyecto Euler 2010

2010-04-30T11:44:44Z

Inesgal:

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-30T11:20:16Z

Inesgal: /* Ejercicio 3.6. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

(%i1) M:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);
(%o1) matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2])

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
(%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
(%o2)[k=2]
M(k) es invertible si k es diferente de 2.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
(%i3)invert(M);
(%03)matrix([(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)],
[3/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4)],
[(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4),(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)])

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
(%i4)eigenvalues(M);
(%o4)[[-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,3],[1,1,1]]

Otra posible forma es calculando las raices del polinomio caracteristico.
(%i5)charpoly(M,x);
(%o5)2*x+((2-x)*(k-x)-1)*(2-x)-k-4
(%i6)expand(%);
(%o6)-x^3+k*x^2+4*x^2-4*k*x-x+3*k-6
(%i7)solve(%=0,x);
(%o7)[x=-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,x=(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,x=3]

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3]);

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

(%i1) X:matrix([a,b],[c,d]);

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

(%i1) A.X-X.A;
(%o1) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

(%i1) globalsolve:true$
(%i2) linsolve([5*b-5*c=0, -5*d-2*b+5*a=0, 5*d+2*c-5*a=0, 5*c-5*b=0], [a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o2) [a:(2*%r4+5*%r3)/5,b:%r4,c:%r4,d:%r3]
(%i3) [a,b,c,d];
(%o3) [(2*%r4+5*%r3)/5,%r4,%r4,%r3]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

(%i1) B:matrix([(2*%r4+5*%r3)/5,%r4],[%r4,%r3]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

(%i1) A.B-B.A;
(%o1) matrix([0,0],[0,0])

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-30T11:19:23Z

Inesgal: /* Ejercicio 3.5. */

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-30T11:13:48Z

Inesgal: /* Ejercicio 3.4. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

(%i1) M:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);
(%o1) matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2])

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
(%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
(%o2)[k=2]
M(k) es invertible si k es diferente de 2.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
(%i3)invert(M);
(%03)matrix([(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)],
[3/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4)],
[(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4),(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)])

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
(%i4)eigenvalues(M);
(%o4)[[-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,3],[1,1,1]]

Otra posible forma es calculando las raices del polinomio caracteristico.
(%i5)charpoly(M,x);
(%o5)2*x+((2-x)*(k-x)-1)*(2-x)-k-4
(%i6)expand(%);
(%o6)-x^3+k*x^2+4*x^2-4*k*x-x+3*k-6
(%i7)solve(%=0,x);
(%o7)[x=-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,x=(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,x=3]

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3]);

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

(%i1) X:matrix([a,b],[c,d]);

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

(%i1) A.X-X.A;
(%o1) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

(%i1) globalsolve:true$
(%i2) linsolve([5*b-5*c=0, -5*d-2*b+5*a=0, 5*d+2*c-5*a=0, 5*c-5*b=0], [a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o2) [a:(2*%r4+5*%r3)/5,b:%r4,c:%r4,d:%r3]
(%i3) [a,b,c,d];
(%o3) [(2*%r4+5*%r3)/5,%r4,%r4,%r3]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-30T11:03:38Z

Inesgal: /* Ejercicio 3.3. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

(%i1) M:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);
(%o1) matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2])

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
(%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
(%o2)[k=2]
M(k) es invertible si k es diferente de 2.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
(%i3)invert(M);
(%03)matrix([(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)],
[3/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4)],
[(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4),(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)])

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
(%i4)eigenvalues(M);
(%o4)[[-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,3],[1,1,1]]

Otra posible forma es calculando las raices del polinomio caracteristico.
(%i5)charpoly(M,x);
(%o5)2*x+((2-x)*(k-x)-1)*(2-x)-k-4
(%i6)expand(%);
(%o6)-x^3+k*x^2+4*x^2-4*k*x-x+3*k-6
(%i7)solve(%=0,x);
(%o7)[x=-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,x=(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,x=3]

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3]);

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

(%i1) X:matrix([a,b],[c,d]);

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

(%i1) A.X-X.A;
(%o1) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-30T11:01:52Z

Inesgal: /* Ejercicio 3.2. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

(%i1) M:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);
(%o1) matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2])

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
(%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
(%o2)[k=2]
M(k) es invertible si k es diferente de 2.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
(%i3)invert(M);
(%03)matrix([(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)],
[3/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4)],
[(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4),(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)])

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
(%i4)eigenvalues(M);
(%o4)[[-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,3],[1,1,1]]

Otra posible forma es calculando las raices del polinomio caracteristico.
(%i5)charpoly(M,x);
(%o5)2*x+((2-x)*(k-x)-1)*(2-x)-k-4
(%i6)expand(%);
(%o6)-x^3+k*x^2+4*x^2-4*k*x-x+3*k-6
(%i7)solve(%=0,x);
(%o7)[x=-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,x=(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,x=3]

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3]);

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

(%i1) X:matrix([a,b],[c,d]);

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-30T11:00:18Z

Inesgal: /* Ejercicio 3.1. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

(%i1) M:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);
(%o1) matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2])

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
(%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
(%o2)[k=2]
M(k) es invertible si k es diferente de 2.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
(%i3)invert(M);
(%03)matrix([(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)],
[3/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4)],
[(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4),(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)])

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
(%i4)eigenvalues(M);
(%o4)[[-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,3],[1,1,1]]

Otra posible forma es calculando las raices del polinomio caracteristico.
(%i5)charpoly(M,x);
(%o5)2*x+((2-x)*(k-x)-1)*(2-x)-k-4
(%i6)expand(%);
(%o6)-x^3+k*x^2+4*x^2-4*k*x-x+3*k-6
(%i7)solve(%=0,x);
(%o7)[x=-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,x=(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,x=3]

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3]);

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-30T10:42:19Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.1. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

(%i1) M:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);
(%o1) matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2])

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
(%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
(%o2)[k=2]
M(k) es invertible si k es diferente de 2.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
(%i3)invert(M);
(%03)matrix([(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)],
[3/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4)],
[(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4),(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)])

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
(%i4)eigenvalues(M);
(%o4)[[-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,3],[1,1,1]]

Otra posible forma es calculando las raices del polinomio caracteristico.
(%i5)charpoly(M,x);
(%o5)2*x+((2-x)*(k-x)-1)*(2-x)-k-4
(%i6)expand(%);
(%o6)-x^3+k*x^2+4*x^2-4*k*x-x+3*k-6
(%i7)solve(%=0,x);
(%o7)[x=-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,x=(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,x=3]

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A efinida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2010-04-30T10:25:02Z

Inesgal: /* Ejercicio 4.7. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como
F[0] = 0,
F[1] = 1,
F[n+2] = F[n+1]+F[n].
Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i1)f[0]:0$
f[1]:1$
f[n]:=f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i2)l1: makelist(f[n],n, 0,19);
(%02)[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i3)f[19];
(%03)4181

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

(%i1)s[n]:=sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

(%i2)s[1];
(%02)0

(%i3)s[2];
(%03)-1/2

(%i4)s[5];
(%04)-11/30

(%i5)s[9];
(%05)-16687/45360

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''
(%i6)float(s[20]);
(%06)-0.36787944117144

(%i7)float(s[50]);
(%07)-0.36787944117144

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
(%i8)load(simplify_sum)$ sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,inf) $ simplify_sum(%);
(%08)-%e^(-1)

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

(%i1) load(solve_rec)$
(%i2) solve_rec(c[n+1] = (1+t)*c[n]-x,c[n],c[0]=K);
(%o2) c[n]=(t+1)^n*K-((t+1)^n*x)/t+x/t
(%i3) ratsimp(%);
(%o3) c[n]=(t*(t+1)^n*K+(1-(t+1)^n)*x)/t

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t;
(%i2) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
(%o2) [x=(t*(t+1)^N*K)/((t+1)^N-1)]

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

(%i1) K: 100000$
(%i2) t:5.5$
(%i3) N:15$
(%i4) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
rat: replaced 0.18181818181818 by 2/11 = 0.18181818181818
rat: replaced 8.5913821892547354E+17 by 859138218925473536/1 = 8.5913821892547354E+17
rat: replaced -1.562069488954407E+12 by -1562069488954/1 = -1.562069488954E+12
(%o4) [x=429569109462736768/781034744477]
(%i5) float(%)
(%o5) [x=550000.0000004952]

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=x/(3-2*x)$

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que
u[0] = 2
u[n+1] = f(u[n])

'''Solución:'''

(%i1) u[0] : 2$
u[n] := f(u[n-1])$

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

(%i1) u[1];
(%o1) -2
(%i2) u[2];
(%o2) -2/7
(%i3) u[9];
(%o3) -2/19681

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

(%i1) L1:makelist([u[k],f(u[k])],k,0,15);
(%i2) wxplot2d([f(x),x,[discrete,L1]], [x,-2,2], [y,-2,2],
[style, [lines,2,1], [lines,1,2], [linespoints,1,2,3,1]],
[gnuplot_preamble, "set grid"],
[legend, "y=f(x)", "y=x", "suite u"])$

[[Archivo:image.png]]

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''
(%i1)a: first(solve([f(x)=x], [x]));
(%01)x=0
(%i2)b: second(solve([f(x)=x], [x]));
(%02)x=1
(%i3)a;b;
(%03) x=0
x=1

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

(%i8) w[n]:= (u[n]-a)/(u[n]-b) ;

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2010-04-28T13:18:53Z

Inesgal: /* Ejercicio 4.4. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como
F[0] = 0,
F[1] = 1,
F[n+2] = F[n+1]+F[n].
Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i1)f[0]:0$
f[1]:1$
f[n]:=f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i2)l1: makelist(f[n],n, 0,19);
(%02)[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i3)f[19];
(%03)4181

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

(%i1)s[n]:=sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

(%i2)s[1];
(%02)0

(%i3)s[2];
(%03)-1/2

(%i4)s[5];
(%04)-11/30

(%i5)s[9];
(%05)-16687/45360

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''
(%i6)float(s[20]);
(%06)-0.36787944117144

(%i7)float(s[50]);
(%07)-0.36787944117144

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
(%i8)load(simplify_sum)$ sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,inf) $ simplify_sum(%);
(%08)-%e^(-1)

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

(%i1) load(solve_rec)$
(%i2) solve_rec(c[n+1] = (1+t)*c[n]-x,c[n],c[0]=K);
(%o2) c[n]=(t+1)^n*K-((t+1)^n*x)/t+x/t
(%i3) ratsimp(%);
(%o3) c[n]=(t*(t+1)^n*K+(1-(t+1)^n)*x)/t

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t;
(%i2) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
(%o2) [x=(t*(t+1)^N*K)/((t+1)^N-1)]

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

(%i1) K: 100000$
(%i2) t:5.5$
(%i3) N:15$
(%i4) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
rat: replaced 0.18181818181818 by 2/11 = 0.18181818181818
rat: replaced 8.5913821892547354E+17 by 859138218925473536/1 = 8.5913821892547354E+17
rat: replaced -1.562069488954407E+12 by -1562069488954/1 = -1.562069488954E+12
(%o4) [x=429569109462736768/781034744477]
(%i5) float(%)
(%o5) [x=550000.0000004952]

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=x/(3-2*x)$

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que
u[0] = 2
u[n+1] = f(u[n])

'''Solución:'''

(%i1) u[0] : 2$
u[n] := f(u[n-1])$

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

(%i1) u[1];
(%o1) -2
(%i2) u[2];
(%o2) -2/7
(%i3) u[9];
(%o3) -2/19681

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

(%i1) L1:makelist([u[k],f(u[k])],k,0,15);
(%i2) wxplot2d([f(x),x,[discrete,L1]], [x,-2,2], [y,-2,2],
[style, [lines,2,1], [lines,1,2], [linespoints,1,2,3,1]],
[gnuplot_preamble, "set grid"],
[legend, "y=f(x)", "y=x", "suite u"])$

[[Archivo:image.png]]

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Archivo:Image.png

2010-04-28T13:16:29Z

Inesgal:

2010 Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2010-04-28T13:02:25Z

Inesgal: /* Ejercicio 4.3. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como
F[0] = 0,
F[1] = 1,
F[n+2] = F[n+1]+F[n].
Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i1)f[0]:0$
f[1]:1$
f[n]:=f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i2)l1: makelist(f[n],n, 0,19);
(%02)[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i3)f[19];
(%03)4181

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

(%i1)s[n]:=sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

(%i2)s[1];
(%02)0

(%i3)s[2];
(%03)-1/2

(%i4)s[5];
(%04)-11/30

(%i5)s[9];
(%05)-16687/45360

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''
(%i6)float(s[20]);
(%06)-0.36787944117144

(%i7)float(s[50]);
(%07)-0.36787944117144

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
(%i8)load(simplify_sum)$ sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,inf) $ simplify_sum(%);
(%08)-%e^(-1)

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

(%i1) load(solve_rec)$
(%i2) solve_rec(c[n+1] = (1+t)*c[n]-x,c[n],c[0]=K);
(%o2) c[n]=(t+1)^n*K-((t+1)^n*x)/t+x/t
(%i3) ratsimp(%);
(%o3) c[n]=(t*(t+1)^n*K+(1-(t+1)^n)*x)/t

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t;
(%i2) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
(%o2) [x=(t*(t+1)^N*K)/((t+1)^N-1)]

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

(%i1) K: 100000$
(%i2) t:5.5$
(%i3) N:15$
(%i4) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
rat: replaced 0.18181818181818 by 2/11 = 0.18181818181818
rat: replaced 8.5913821892547354E+17 by 859138218925473536/1 = 8.5913821892547354E+17
rat: replaced -1.562069488954407E+12 by -1562069488954/1 = -1.562069488954E+12
(%o4) [x=429569109462736768/781034744477]
(%i5) float(%)
(%o5) [x=550000.0000004952]

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=x/(3-2*x)$

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que
u[0] = 2
u[n+1] = f(u[n])

'''Solución:'''

(%i1) u[0] : 2$
u[n] := f(u[n-1])$

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

(%i1) u[1];
(%o1) -2
(%i2) u[2];
(%o2) -2/7
(%i3) u[9];
(%o3) -2/19681

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2010-04-28T13:00:23Z

Inesgal: /* Ejercicio 4.2. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como
F[0] = 0,
F[1] = 1,
F[n+2] = F[n+1]+F[n].
Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i1)f[0]:0$
f[1]:1$
f[n]:=f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i2)l1: makelist(f[n],n, 0,19);
(%02)[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i3)f[19];
(%03)4181

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

(%i1)s[n]:=sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

(%i2)s[1];
(%02)0

(%i3)s[2];
(%03)-1/2

(%i4)s[5];
(%04)-11/30

(%i5)s[9];
(%05)-16687/45360

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''
(%i6)float(s[20]);
(%06)-0.36787944117144

(%i7)float(s[50]);
(%07)-0.36787944117144

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
(%i8)load(simplify_sum)$ sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,inf) $ simplify_sum(%);
(%08)-%e^(-1)

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

(%i1) load(solve_rec)$
(%i2) solve_rec(c[n+1] = (1+t)*c[n]-x,c[n],c[0]=K);
(%o2) c[n]=(t+1)^n*K-((t+1)^n*x)/t+x/t
(%i3) ratsimp(%);
(%o3) c[n]=(t*(t+1)^n*K+(1-(t+1)^n)*x)/t

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t;
(%i2) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
(%o2) [x=(t*(t+1)^N*K)/((t+1)^N-1)]

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

(%i1) K: 100000$
(%i2) t:5.5$
(%i3) N:15$
(%i4) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
rat: replaced 0.18181818181818 by 2/11 = 0.18181818181818
rat: replaced 8.5913821892547354E+17 by 859138218925473536/1 = 8.5913821892547354E+17
rat: replaced -1.562069488954407E+12 by -1562069488954/1 = -1.562069488954E+12
(%o4) [x=429569109462736768/781034744477]
(%i5) float(%)
(%o5) [x=550000.0000004952]

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=x/(3-2*x)$

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que
u[0] = 2
u[n+1] = f(u[n])

'''Solución:'''

(%i1) u[0] : 2$
u[n] := f(u[n-1])$

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2010-04-28T12:52:34Z

Inesgal: /* Ejercicio 4.1. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como
F[0] = 0,
F[1] = 1,
F[n+2] = F[n+1]+F[n].
Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i1)f[0]:0$
f[1]:1$
f[n]:=f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i2)l1: makelist(f[n],n, 0,19);
(%02)[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i3)f[19];
(%03)4181

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

(%i1)s[n]:=sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

(%i2)s[1];
(%02)0

(%i3)s[2];
(%03)-1/2

(%i4)s[5];
(%04)-11/30

(%i5)s[9];
(%05)-16687/45360

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''
(%i6)float(s[20]);
(%06)-0.36787944117144

(%i7)float(s[50]);
(%07)-0.36787944117144

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
(%i8)load(simplify_sum)$ sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,inf) $ simplify_sum(%);
(%08)-%e^(-1)

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

(%i1) load(solve_rec)$
(%i2) solve_rec(c[n+1] = (1+t)*c[n]-x,c[n],c[0]=K);
(%o2) c[n]=(t+1)^n*K-((t+1)^n*x)/t+x/t
(%i3) ratsimp(%);
(%o3) c[n]=(t*(t+1)^n*K+(1-(t+1)^n)*x)/t

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t;
(%i2) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
(%o2) [x=(t*(t+1)^N*K)/((t+1)^N-1)]

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

(%i1) K: 100000$
(%i2) t:5.5$
(%i3) N:15$
(%i4) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
rat: replaced 0.18181818181818 by 2/11 = 0.18181818181818
rat: replaced 8.5913821892547354E+17 by 859138218925473536/1 = 8.5913821892547354E+17
rat: replaced -1.562069488954407E+12 by -1562069488954/1 = -1.562069488954E+12
(%o4) [x=429569109462736768/781034744477]
(%i5) float(%)
(%o5) [x=550000.0000004952]

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=x/(3-2*x)$

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que
u[0] = 2
u[n+1] = f(u[n])

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2010-04-28T12:50:13Z

Inesgal: /* Ejercicio 3.3. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como
F[0] = 0,
F[1] = 1,
F[n+2] = F[n+1]+F[n].
Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i1)f[0]:0$
f[1]:1$
f[n]:=f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i2)l1: makelist(f[n],n, 0,19);
(%02)[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i3)f[19];
(%03)4181

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

(%i1)s[n]:=sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

(%i2)s[1];
(%02)0

(%i3)s[2];
(%03)-1/2

(%i4)s[5];
(%04)-11/30

(%i5)s[9];
(%05)-16687/45360

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''
(%i6)float(s[20]);
(%06)-0.36787944117144

(%i7)float(s[50]);
(%07)-0.36787944117144

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
(%i8)load(simplify_sum)$ sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,inf) $ simplify_sum(%);
(%08)-%e^(-1)

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

(%i1) load(solve_rec)$
(%i2) solve_rec(c[n+1] = (1+t)*c[n]-x,c[n],c[0]=K);
(%o2) c[n]=(t+1)^n*K-((t+1)^n*x)/t+x/t
(%i3) ratsimp(%);
(%o3) c[n]=(t*(t+1)^n*K+(1-(t+1)^n)*x)/t

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t;
(%i2) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
(%o2) [x=(t*(t+1)^N*K)/((t+1)^N-1)]

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

(%i1) K: 100000$
(%i2) t:5.5$
(%i3) N:15$
(%i4) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
rat: replaced 0.18181818181818 by 2/11 = 0.18181818181818
rat: replaced 8.5913821892547354E+17 by 859138218925473536/1 = 8.5913821892547354E+17
rat: replaced -1.562069488954407E+12 by -1562069488954/1 = -1.562069488954E+12
(%o4) [x=429569109462736768/781034744477]
(%i5) float(%)
(%o5) [x=550000.0000004952]

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que
u[0] = 2
u[n+1] = f(u[n])

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2010-04-28T12:42:01Z

Inesgal: /* Ejercicio 3.2. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como
F[0] = 0,
F[1] = 1,
F[n+2] = F[n+1]+F[n].
Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i1)f[0]:0$
f[1]:1$
f[n]:=f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i2)l1: makelist(f[n],n, 0,19);
(%02)[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i3)f[19];
(%03)4181

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

(%i1)s[n]:=sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

(%i2)s[1];
(%02)0

(%i3)s[2];
(%03)-1/2

(%i4)s[5];
(%04)-11/30

(%i5)s[9];
(%05)-16687/45360

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''
(%i6)float(s[20]);
(%06)-0.36787944117144

(%i7)float(s[50]);
(%07)-0.36787944117144

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
(%i8)load(simplify_sum)$ sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,inf) $ simplify_sum(%);
(%08)-%e^(-1)

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

(%i1) load(solve_rec)$
(%i2) solve_rec(c[n+1] = (1+t)*c[n]-x,c[n],c[0]=K);
(%o2) c[n]=(t+1)^n*K-((t+1)^n*x)/t+x/t
(%i3) ratsimp(%);
(%o3) c[n]=(t*(t+1)^n*K+(1-(t+1)^n)*x)/t

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

(%i1) f(x):=(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t;
(%i2) linsolve([(t*(t+1)^N*K+(1-(t+1)^N)*x)/t], [x]);
(%o2) [x=(t*(t+1)^N*K)/((t+1)^N-1)]

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que
u[0] = 2
u[n+1] = f(u[n])

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2010-04-28T12:36:51Z

Inesgal: /* Ejercicio 3.1. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como
F[0] = 0,
F[1] = 1,
F[n+2] = F[n+1]+F[n].
Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i1)f[0]:0$
f[1]:1$
f[n]:=f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

(%i2)l1: makelist(f[n],n, 0,19);
(%02)[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i3)f[19];
(%03)4181

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

(%i1)s[n]:=sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,n);

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

(%i2)s[1];
(%02)0

(%i3)s[2];
(%03)-1/2

(%i4)s[5];
(%04)-11/30

(%i5)s[9];
(%05)-16687/45360

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''
(%i6)float(s[20]);
(%06)-0.36787944117144

(%i7)float(s[50]);
(%07)-0.36787944117144

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''
(%i8)load(simplify_sum)$ sum((-1)^(k+1)/k!,k,0,inf) $ simplify_sum(%);
(%08)-%e^(-1)

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

(%i1) load(solve_rec)$
(%i2) solve_rec(c[n+1] = (1+t)*c[n]-x,c[n],c[0]=K);
(%o2) c[n]=(t+1)^n*K-((t+1)^n*x)/t+x/t
(%i3) ratsimp(%);
(%o3) c[n]=(t*(t+1)^n*K+(1-(t+1)^n)*x)/t

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que
u[0] = 2
u[n+1] = f(u[n])

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-27T13:14:29Z

Inesgal: /* Ejercicio 5.2. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''

(%i1) a: 2460;
(%o1) 2460
(%i2) b: 3030;
(%o2) 3030

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''

(%i1) D1: divisors(a);
(%o1) {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,41,60,82,123,164,205,246,410,492,615,820,1230,2460}

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''

(%i1) D2: divisors(b);
(%o1) {1,2,3,5,6,10,15,30,101,202,303,505,606,1010,1515,3030}

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''

(%i1) intersection (D1,D2);
(%o1) {1,2,3,5,6,10,15,30}

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

(%i1) gcd(a,b);
(%o1) 30

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''
(%i1) load(functs) $ lcm(a,b);
(%o1) 248460

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''

(%i1) n: 2008!;
(%o1) 864364185767107020525555785744[5702 digits]000000000000000000000000000000

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

(%i1) bfloat(n);
(%o1) 8.64364185767107b5761
Por tanto n tiene 5761+1=5762 cifras en base 10

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''
(%i1) factor(n);
(%o1) 2^2001*3^1000*5^500*7^331*11^199*13^165*17^124*19^110*23^90*29^71*31^66*37^55*41^49*43^47*47^42*53^37*59^34*61^32*67^29*71^28*73^27*79^25*83^24*89^22*97^20*101^19*
103^19*107^18*109^18*113^17*127^15*131^15*137^14*139^14*149^13*151^13*157^12*163^12*167^12*173^11*179^11*181^11*191^10*193^10*197^10*199^10*211^9*223^9*227^8*229^8*
233^8*239^8*241^8*251^8*257^7*263^7*269^7*271^7*277^7*281^7*283^7*293^6*307^6*311^6*313^6*317^6*331^6*337^5*347^5*349^5*353^5*359^5*367^5*373^5*379^5*383^5*389^5*
397^5*401^5*409^4*419^4*421^4*431^4*433^4*439^4*443^4*449^4*457^4*461^4*463^4*467^4*479^4*487^4*491^4*499^4*503^3*509^3*521^3*523^3*541^3*547^3*557^3*563^3*569^3*
571^3*577^3*587^3*593^3*599^3*601^3*607^3*613^3*617^3*619^3*631^3*641^3*643^3*647^3*653^3*659^3*661^3*673^2*677^2*683^2*691^2*701^2*709^2*719^2*727^2*733^2*739^2*
743^2*751^2*757^2*761^2*769^2*773^2*787^2*797^2*809^2*811^2*821^2*823^2*827^2*829^2*839^2*853^2*857^2*859^2*863^2*877^2*881^2*883^2*887^2*907^2*911^2*919^2*929^2*
937^2*941^2*947^2*953^2*967^2*971^2*977^2*983^2*991^2*997^2*1009*1013*1019*1021*1031*1033*1039*1049*1051*1061*1063*1069*1087*1091*1093*1097*1103*
1109*1117*1123*1129*1151*1153*1163*1171*1181*1187*1193*1201*1213*1217*1223*1229*1231*1237*1249*1259*1277*1279*1283*1289*1291*1297*1301*
1303*1307*1319*1321*1327*1361*1367*1373*1381*1399*1409*1423*1427*1429*1433*1439*1447*1451*1453*1459*1471*1481*1483*1487*1489*1493*1499*
1511*1523*1531*1543*1549*1553*1559*1567*1571*1579*1583*1597*1601*1607*1609*1613*1619*1621*1627*1637*1657*1663*1667*1669*1693*1697*1699*
1709*1721*1723*1733*1741*1747*1753*1759*1777*1783*1787*1789*1801*1811*1823*1831*1847*1861*1867*1871*1873*1877*1879*1889*1901*1907*1913*
1931*1933*1949*1951*1973*1979*1987*1993*1997*1999*2003

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''
Como hemos visto en la descomposición anterior, n es divisible por 2, 2001 veces y por 5, 500 veces ,
por tanto es divisible por 10, 500 veces, por tanto termina con 500 ceros

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

(%i1) cont: 0$
for i: 1 step 1 while cont<2008 do
(if (primep(i) = true) then(
cont: cont+1),
if (cont = 2008) then(sol3:i));

(%o1) done
(%i2) sol3;
(%o2) 17467

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

(%i1) cont: 0$
for i: 1 step 1 thru 99999 do
(if (primep(i) = true) then(cont: cont+1),sol4:cont);
(%o1) done
(%i2) sol4;
(%o2) 9592

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''
(%i1) cont: 0$
for i: 1 step 1 while cont<9592 do
(if (primep(i) = true) then(
cont: cont+1),
if (cont = 9592) then(sol5:i));
(%o1) done
(%i2) sol5;
(%o2) 99991

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

(%i1) next_prime(sol5);
(%o1) 100003

Luego es correcto. sol5=99991 es el mayor primo menor que 100000

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-27T13:00:07Z

Inesgal: /* Ejercicio 5.1. */

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-27T12:56:30Z

Inesgal: /* Ejercicio 4.1 */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''

(%i1) a: 2460;
(%o1) 2460
(%i2) b: 3030;
(%o2) 3030

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''

(%i1) D1: divisors(a);
(%o1) {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,41,60,82,123,164,205,246,410,492,615,820,1230,2460}

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''

(%i1) D2: divisors(b);
(%o1) {1,2,3,5,6,10,15,30,101,202,303,505,606,1010,1515,3030}

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''

(%i1) intersection (D1,D2);
(%o1) {1,2,3,5,6,10,15,30}

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

(%i1) gcd(a,b);
(%o1) 30

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''
(%i1) load(functs) $ lcm(a,b);
(%o1) 248460

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''

(%i1) n: 2008!;
(%o1) 864364185767107020525555785744[5702 digits]000000000000000000000000000000

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

(%i1) bfloat(n);
(%o1) 8.64364185767107b5761
Por tanto n tiene 5761+1=5762 cifras en base 10

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''
(%i1) factor(n);
(%o1) 2^2001*3^1000*5^500*7^331*11^199*13^165*17^124*19^110*23^90*29^71*31^66*37^55*41^49*43^47*47^42*53^37*59^34*61^32*67^29*71^28*73^27*79^25*83^24*89^22*97^20*101^19*
103^19*107^18*109^18*113^17*127^15*131^15*137^14*139^14*149^13*151^13*157^12*163^12*167^12*173^11*179^11*181^11*191^10*193^10*197^10*199^10*211^9*223^9*227^8*229^8*
233^8*239^8*241^8*251^8*257^7*263^7*269^7*271^7*277^7*281^7*283^7*293^6*307^6*311^6*313^6*317^6*331^6*337^5*347^5*349^5*353^5*359^5*367^5*373^5*379^5*383^5*389^5*
397^5*401^5*409^4*419^4*421^4*431^4*433^4*439^4*443^4*449^4*457^4*461^4*463^4*467^4*479^4*487^4*491^4*499^4*503^3*509^3*521^3*523^3*541^3*547^3*557^3*563^3*569^3*
571^3*577^3*587^3*593^3*599^3*601^3*607^3*613^3*617^3*619^3*631^3*641^3*643^3*647^3*653^3*659^3*661^3*673^2*677^2*683^2*691^2*701^2*709^2*719^2*727^2*733^2*739^2*
743^2*751^2*757^2*761^2*769^2*773^2*787^2*797^2*809^2*811^2*821^2*823^2*827^2*829^2*839^2*853^2*857^2*859^2*863^2*877^2*881^2*883^2*887^2*907^2*911^2*919^2*929^2*
937^2*941^2*947^2*953^2*967^2*971^2*977^2*983^2*991^2*997^2*1009*1013*1019*1021*1031*1033*1039*1049*1051*1061*1063*1069*1087*1091*1093*1097*1103*
1109*1117*1123*1129*1151*1153*1163*1171*1181*1187*1193*1201*1213*1217*1223*1229*1231*1237*1249*1259*1277*1279*1283*1289*1291*1297*1301*
1303*1307*1319*1321*1327*1361*1367*1373*1381*1399*1409*1423*1427*1429*1433*1439*1447*1451*1453*1459*1471*1481*1483*1487*1489*1493*1499*
1511*1523*1531*1543*1549*1553*1559*1567*1571*1579*1583*1597*1601*1607*1609*1613*1619*1621*1627*1637*1657*1663*1667*1669*1693*1697*1699*
1709*1721*1723*1733*1741*1747*1753*1759*1777*1783*1787*1789*1801*1811*1823*1831*1847*1861*1867*1871*1873*1877*1879*1889*1901*1907*1913*
1931*1933*1949*1951*1973*1979*1987*1993*1997*1999*2003

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''
Como hemos visto en la descomposición anterior, n es divisible por 2, 2001 veces y por 5, 500 veces ,
por tanto es divisible por 10, 500 veces, por tanto termina con 500 ceros

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

(%i1) cont: 0$
for i: 1 step 1 while cont<2008 do
(if (primep(i) = true) then(
cont: cont+1),
if (cont = 2008) then(sol3:i));

(%o1) done
(%i2) sol3;
(%o2) 17467

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

(%i1) cont: 0$
for i: 1 step 1 thru 99999 do
(if (primep(i) = true) then(cont: cont+1),sol4:cont);
(%o1) done
(%i2) sol4;
(%o2) 9592

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-27T12:43:08Z

Inesgal: /* Ejercicio 3.1. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''

(%i1) a: 2460;
(%o1) 2460
(%i2) b: 3030;
(%o2) 3030

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''

(%i1) D1: divisors(a);
(%o1) {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,41,60,82,123,164,205,246,410,492,615,820,1230,2460}

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''

(%i1) D2: divisors(b);
(%o1) {1,2,3,5,6,10,15,30,101,202,303,505,606,1010,1515,3030}

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''

(%i1) intersection (D1,D2);
(%o1) {1,2,3,5,6,10,15,30}

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

(%i1) gcd(a,b);
(%o1) 30

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''
(%i1) load(functs) $ lcm(a,b);
(%o1) 248460

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''

(%i1) n: 2008!;
(%o1) 864364185767107020525555785744[5702 digits]000000000000000000000000000000

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

(%i1) bfloat(n);
(%o1) 8.64364185767107b5761
Por tanto n tiene 5761+1=5762 cifras en base 10

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''
(%i1) factor(n);
(%o1) 2^2001*3^1000*5^500*7^331*11^199*13^165*17^124*19^110*23^90*29^71*31^66*37^55*41^49*43^47*47^42*53^37*59^34*61^32*67^29*71^28*73^27*79^25*83^24*89^22*97^20*101^19*
103^19*107^18*109^18*113^17*127^15*131^15*137^14*139^14*149^13*151^13*157^12*163^12*167^12*173^11*179^11*181^11*191^10*193^10*197^10*199^10*211^9*223^9*227^8*229^8*
233^8*239^8*241^8*251^8*257^7*263^7*269^7*271^7*277^7*281^7*283^7*293^6*307^6*311^6*313^6*317^6*331^6*337^5*347^5*349^5*353^5*359^5*367^5*373^5*379^5*383^5*389^5*
397^5*401^5*409^4*419^4*421^4*431^4*433^4*439^4*443^4*449^4*457^4*461^4*463^4*467^4*479^4*487^4*491^4*499^4*503^3*509^3*521^3*523^3*541^3*547^3*557^3*563^3*569^3*
571^3*577^3*587^3*593^3*599^3*601^3*607^3*613^3*617^3*619^3*631^3*641^3*643^3*647^3*653^3*659^3*661^3*673^2*677^2*683^2*691^2*701^2*709^2*719^2*727^2*733^2*739^2*
743^2*751^2*757^2*761^2*769^2*773^2*787^2*797^2*809^2*811^2*821^2*823^2*827^2*829^2*839^2*853^2*857^2*859^2*863^2*877^2*881^2*883^2*887^2*907^2*911^2*919^2*929^2*
937^2*941^2*947^2*953^2*967^2*971^2*977^2*983^2*991^2*997^2*1009*1013*1019*1021*1031*1033*1039*1049*1051*1061*1063*1069*1087*1091*1093*1097*1103*
1109*1117*1123*1129*1151*1153*1163*1171*1181*1187*1193*1201*1213*1217*1223*1229*1231*1237*1249*1259*1277*1279*1283*1289*1291*1297*1301*
1303*1307*1319*1321*1327*1361*1367*1373*1381*1399*1409*1423*1427*1429*1433*1439*1447*1451*1453*1459*1471*1481*1483*1487*1489*1493*1499*
1511*1523*1531*1543*1549*1553*1559*1567*1571*1579*1583*1597*1601*1607*1609*1613*1619*1621*1627*1637*1657*1663*1667*1669*1693*1697*1699*
1709*1721*1723*1733*1741*1747*1753*1759*1777*1783*1787*1789*1801*1811*1823*1831*1847*1861*1867*1871*1873*1877*1879*1889*1901*1907*1913*
1931*1933*1949*1951*1973*1979*1987*1993*1997*1999*2003

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''
Como hemos visto en la descomposición anterior, n es divisible por 2, 2001 veces y por 5, 500 veces ,
por tanto es divisible por 10, 500 veces, por tanto termina con 500 ceros

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

(%i1) cont: 0$
for i: 1 step 1 while cont<2008 do
(if (primep(i) = true) then(
cont: cont+1),
if (cont = 2008) then(sol3:i));

(%o1) done
(%i2) sol3;
(%o2) 17467

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-26T19:29:46Z

Inesgal: /* Ejercicio 2.4. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''

(%i1) a: 2460;
(%o1) 2460
(%i2) b: 3030;
(%o2) 3030

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''

(%i1) D1: divisors(a);
(%o1) {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,41,60,82,123,164,205,246,410,492,615,820,1230,2460}

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''

(%i1) D2: divisors(b);
(%o1) {1,2,3,5,6,10,15,30,101,202,303,505,606,1010,1515,3030}

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''

(%i1) intersection (D1,D2);
(%o1) {1,2,3,5,6,10,15,30}

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

(%i1) gcd(a,b);
(%o1) 30

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''
(%i1) load(functs) $ lcm(a,b);
(%o1) 248460

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''

(%i1) n: 2008!;
(%o1) 864364185767107020525555785744[5702 digits]000000000000000000000000000000

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

(%i1) bfloat(n);
(%o1) 8.64364185767107b5761
Por tanto n tiene 5761+1=5762 cifras en base 10

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''
(%i1) factor(n);
(%o1) 2^2001*3^1000*5^500*7^331*11^199*13^165*17^124*19^110*23^90*29^71*31^66*37^55*41^49*43^47*47^42*53^37*59^34*61^32*67^29*71^28*73^27*79^25*83^24*89^22*97^20*101^19*
103^19*107^18*109^18*113^17*127^15*131^15*137^14*139^14*149^13*151^13*157^12*163^12*167^12*173^11*179^11*181^11*191^10*193^10*197^10*199^10*211^9*223^9*227^8*229^8*
233^8*239^8*241^8*251^8*257^7*263^7*269^7*271^7*277^7*281^7*283^7*293^6*307^6*311^6*313^6*317^6*331^6*337^5*347^5*349^5*353^5*359^5*367^5*373^5*379^5*383^5*389^5*
397^5*401^5*409^4*419^4*421^4*431^4*433^4*439^4*443^4*449^4*457^4*461^4*463^4*467^4*479^4*487^4*491^4*499^4*503^3*509^3*521^3*523^3*541^3*547^3*557^3*563^3*569^3*
571^3*577^3*587^3*593^3*599^3*601^3*607^3*613^3*617^3*619^3*631^3*641^3*643^3*647^3*653^3*659^3*661^3*673^2*677^2*683^2*691^2*701^2*709^2*719^2*727^2*733^2*739^2*
743^2*751^2*757^2*761^2*769^2*773^2*787^2*797^2*809^2*811^2*821^2*823^2*827^2*829^2*839^2*853^2*857^2*859^2*863^2*877^2*881^2*883^2*887^2*907^2*911^2*919^2*929^2*
937^2*941^2*947^2*953^2*967^2*971^2*977^2*983^2*991^2*997^2*1009*1013*1019*1021*1031*1033*1039*1049*1051*1061*1063*1069*1087*1091*1093*1097*1103*
1109*1117*1123*1129*1151*1153*1163*1171*1181*1187*1193*1201*1213*1217*1223*1229*1231*1237*1249*1259*1277*1279*1283*1289*1291*1297*1301*
1303*1307*1319*1321*1327*1361*1367*1373*1381*1399*1409*1423*1427*1429*1433*1439*1447*1451*1453*1459*1471*1481*1483*1487*1489*1493*1499*
1511*1523*1531*1543*1549*1553*1559*1567*1571*1579*1583*1597*1601*1607*1609*1613*1619*1621*1627*1637*1657*1663*1667*1669*1693*1697*1699*
1709*1721*1723*1733*1741*1747*1753*1759*1777*1783*1787*1789*1801*1811*1823*1831*1847*1861*1867*1871*1873*1877*1879*1889*1901*1907*1913*
1931*1933*1949*1951*1973*1979*1987*1993*1997*1999*2003

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''
Como hemos visto en la descomposición anterior, n es divisible por 2, 2001 veces y por 5, 500 veces ,
por tanto es divisible por 10, 500 veces, por tanto termina con 500 ceros

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-26T19:19:23Z

Inesgal: /* Ejercicio 2.3. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''

(%i1) a: 2460;
(%o1) 2460
(%i2) b: 3030;
(%o2) 3030

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''

(%i1) D1: divisors(a);
(%o1) {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,41,60,82,123,164,205,246,410,492,615,820,1230,2460}

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''

(%i1) D2: divisors(b);
(%o1) {1,2,3,5,6,10,15,30,101,202,303,505,606,1010,1515,3030}

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''

(%i1) intersection (D1,D2);
(%o1) {1,2,3,5,6,10,15,30}

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

(%i1) gcd(a,b);
(%o1) 30

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''
(%i1) load(functs) $ lcm(a,b);
(%o1) 248460

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''

(%i1) n: 2008!;
(%o1) 864364185767107020525555785744[5702 digits]000000000000000000000000000000

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

(%i1) bfloat(n);
(%o1) 8.64364185767107b5761
Por tanto n tiene 5761+1=5762 cifras en base 10

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''
(%i1) factor(n);
(%o1) 2^2001*3^1000*5^500*7^331*11^199*13^165*17^124*19^110*23^90*29^71*31^66*37^55*41^49*43^47*47^42*53^37*59^34*61^32*67^29*71^28*73^27*79^25*83^24*89^22*97^20*101^19*
103^19*107^18*109^18*113^17*127^15*131^15*137^14*139^14*149^13*151^13*157^12*163^12*167^12*173^11*179^11*181^11*191^10*193^10*197^10*199^10*211^9*223^9*227^8*229^8*
233^8*239^8*241^8*251^8*257^7*263^7*269^7*271^7*277^7*281^7*283^7*293^6*307^6*311^6*313^6*317^6*331^6*337^5*347^5*349^5*353^5*359^5*367^5*373^5*379^5*383^5*389^5*
397^5*401^5*409^4*419^4*421^4*431^4*433^4*439^4*443^4*449^4*457^4*461^4*463^4*467^4*479^4*487^4*491^4*499^4*503^3*509^3*521^3*523^3*541^3*547^3*557^3*563^3*569^3*
571^3*577^3*587^3*593^3*599^3*601^3*607^3*613^3*617^3*619^3*631^3*641^3*643^3*647^3*653^3*659^3*661^3*673^2*677^2*683^2*691^2*701^2*709^2*719^2*727^2*733^2*739^2*
743^2*751^2*757^2*761^2*769^2*773^2*787^2*797^2*809^2*811^2*821^2*823^2*827^2*829^2*839^2*853^2*857^2*859^2*863^2*877^2*881^2*883^2*887^2*907^2*911^2*919^2*929^2*
937^2*941^2*947^2*953^2*967^2*971^2*977^2*983^2*991^2*997^2*1009*1013*1019*1021*1031*1033*1039*1049*1051*1061*1063*1069*1087*1091*1093*1097*1103*
1109*1117*1123*1129*1151*1153*1163*1171*1181*1187*1193*1201*1213*1217*1223*1229*1231*1237*1249*1259*1277*1279*1283*1289*1291*1297*1301*
1303*1307*1319*1321*1327*1361*1367*1373*1381*1399*1409*1423*1427*1429*1433*1439*1447*1451*1453*1459*1471*1481*1483*1487*1489*1493*1499*
1511*1523*1531*1543*1549*1553*1559*1567*1571*1579*1583*1597*1601*1607*1609*1613*1619*1621*1627*1637*1657*1663*1667*1669*1693*1697*1699*
1709*1721*1723*1733*1741*1747*1753*1759*1777*1783*1787*1789*1801*1811*1823*1831*1847*1861*1867*1871*1873*1877*1879*1889*1901*1907*1913*
1931*1933*1949*1951*1973*1979*1987*1993*1997*1999*2003

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-26T19:16:55Z

Inesgal: /* Ejercicio 2.2. */

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-26T19:13:13Z

Inesgal: /* Ejercicio 2.1. */

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-26T19:12:07Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.6. */

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-26T19:10:31Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.5. */

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-26T19:09:40Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.4. */

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-26T19:07:40Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.3. */

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-26T19:06:47Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.2. */

2010 Ejercicios 3: Aritmética

2010-04-26T19:05:18Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.1. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Asignarle a la variable a el valor 2460 y a la b el 3030.

'''Solución'''

(%i1) a: 2460;
(%o1) 2460
(%i2) b: 3030;
(%o2) 3030

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el conjunto D1 de los divisores positivos de a.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el conjunto D2 de los divisores positivos de b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular, usando la función intersection, el conjunto D de los divisores comunes de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular el máximo común divisor de a y b.

'''Solución'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Calcular el mínimo común múltiplo de a y b.

'''Solución'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Asignarle a la variable n el valor 2008!

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.2. ===
¿Cuántas cifras tiene n en base 10?

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular la descomposición de n en productos de factores primos.

'''Solución'''

=== Ejercicio 2.4. ===
¿Con cuántos ceros termina n?

'''Solución'''

== Ejercicio 3 ==

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol3 el término que ocupa la posición 2008 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1 ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol4 el número de primos inferiores a 100000.

'''Solución'''

== Ejercicio 5 ==

=== Ejercicio 5.1. ===
Escribir un programa para asignarle a la variable sol5 el término que ocupa la posición 9592 en la sucesión de números primos ordenados de manera creciente.

'''Solución'''

=== Ejercicio 5.2. ===
Comprobar si sol5 es el mayor primo menor que 100000.

'''Solución'''

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-04-26T18:56:24Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.3 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

(%i1) j(x):=a*x+b $
(%i2) limit(j(x),x,0,minus);
(%o2) b
(%i3) b:1 $
(%i4) b;
(%o4) 1

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

OTRA FORMA

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) diff(f(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) limit (%o2,x,0,plus);
(%o3) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-04-26T18:50:28Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.4 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

OTRA FORMA

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) diff(f(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) limit (%o2,x,0,plus);
(%o3) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-04-26T18:43:04Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.2 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-04-26T18:38:12Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.5 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-04-26T18:26:50Z

Inesgal: /* Ejercicio 1.4 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

Usuario:Inesgal

2010-04-26T18:10:05Z

Inesgal: Página creada con ' Inés Gallego Sánchez'

Inés Gallego Sánchez

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-04-15T12:26:46Z

Inesgal: /* Ejercicio 2.2 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b]$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
(%t2) << Graphics >>
(%o2)

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-04-15T12:24:03Z

Inesgal: /* Ejercicio 2.4 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b]$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-04-15T12:09:29Z

Inesgal: /* Ejercicio 2.3 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b]$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.