Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) - Contribuciones del usuario [es]

Ejercicio 9: Encontrar una terna pitágorica (a,b,c) que cumpla que a+b+c=1000

2011-04-21T02:31:00Z

Igdonoso80:

'''Enunciado:'''

Encontrar una terna pitagórica (a,b,c) que cumpla que:

a+b+c=1000

'''Solución:'''

Lo primero que debemos saber es que los tres términos de una terna pitagórica (los lados de un triángulo rectángulo) se pueden definir en función de dos variables que llamaremos m y n:

(%i1) a:2*m*n;b:m^2-n^2;c:m^2+n^2;
(%o1) 2*m*n
(%o2) m^2-n^2
(%o3) n^2+m^2

(%i4) a+b+c=1000;
(%o4) 2*m*n+2*m^2=1000

Para hallar los valores m y n que cumplen la ecuación anterior daremos a n valores entre 1 y 5:

(%i5) makelist(2*m*n+2*m^2=1000,n,1,5);
(%o5) [2*m^2+2*m=1000,2*m^2+4*m=1000,2*m^2+6*m=1000,2*m^2+8*m=1000,2*m^2+10*m=1000]

Y a partir de las expresiones anteriores daremos a m valores entre 1 y 25:

(%i6) makelist([2*m^2+2*m=1000,2*m^2+4*m=1000,2*m^2+6*m=1000,2*m^2+8*m=1000,2*m^2+10*m=1000],m,1,25);
(%o6) [[4=1000,6=1000,8=1000,10=1000,12=1000],
[12=1000,16=1000,20=1000,24=1000,28=1000],
[24=1000,30=1000,36=1000,42=1000,48=1000],
[40=1000,48=1000,56=1000,64=1000,72=1000],
[60=1000,70=1000,80=1000,90=1000,100=1000],
[84=1000,96=1000,108=1000,120=1000,132=1000],
[112=1000,126=1000,140=1000,154=1000,168=1000],
[144=1000,160=1000,176=1000,192=1000,208=1000],
[180=1000,198=1000,216=1000,234=1000,252=1000],
[220=1000,240=1000,260=1000,280=1000,300=1000],
[264=1000,286=1000,308=1000,330=1000,352=1000],
[312=1000,336=1000,360=1000,384=1000,408=1000],
[364=1000,390=1000,416=1000,442=1000,468=1000],
[420=1000,448=1000,476=1000,504=1000,532=1000],
[480=1000,510=1000,540=1000,570=1000,600=1000],
[544=1000,576=1000,608=1000,640=1000,672=1000],
[612=1000,646=1000,680=1000,714=1000,748=1000],
[684=1000,720=1000,756=1000,792=1000,828=1000],
[760=1000,798=1000,836=1000,874=1000,912=1000],
[840=1000,880=1000,920=1000,960=1000,'''1000=1000'''],
[924=1000,966=1000,1008=1000,1050=1000,1092=1000],
[1012=1000,1056=1000,1100=1000,1144=1000,1188=1000],
[1104=1000,1150=1000,1196=1000,1242=1000,1288=1000],
[1200=1000,1248=1000,1296=1000,1344=1000,1392=1000],
[1300=1000,1350=1000,1400=1000,1450=1000,1500=1000]]

La solución que cumple la ecuación aparece para m=20 (en la vigésima fila) y n=5 (es el quinto valor dentro de la fila), por lo tanto:

(%i7) m:20;n:5;
(%o7) 20
(%o8) 5

Comprobamos que es así:

(%i9) is(2*m*n+2*m^2=1000);
(%o9) true

Hallamos los valores de la terna (a,b,c):

(%i10) a:2*m*n;b:m^2-n^2;c:m^2+n^2;
(%o10) 200
(%o11) 375
(%o12) 425

'''La terna pitagórica será (a=200,b=375,c=425)'''. Comprobemos que cumple el Teorema de Pitágoras:

(%i13) is(a^2+b^2=c^2);
(%o13) true

Ejercicio 9: Encontrar una terna pitágorica (a,b,c) que cumpla que a+b+c=1000

2011-04-21T02:28:47Z

Igdonoso80:

'''Enunciado:'''

Encontrar una terna pitagórica (a,b,c) que cumpla que:

a+b+c=1000

'''Solución:'''

Lo primero que debemos saber es que los tres términos de una terna pitagórica (los lados de un triángulo rectángulo) se pueden definir en función de dos variables que llamaremos m y n:

(%i1) a:2*m*n;b:m^2-n^2;c:m^2+n^2;
(%o1) 2*m*n
(%o2) m^2-n^2
(%o3) n^2+m^2

(%i4) a+b+c=1000;
(%o4) 2*m*n+2*m^2=1000

Para hallar los valores m y n que cumplen la ecuación anterior daremos a n valores entre 1 y 5:

(%i5) makelist(2*m*n+2*m^2=1000,n,1,5);
(%o5) [2*m^2+2*m=1000,2*m^2+4*m=1000,2*m^2+6*m=1000,2*m^2+8*m=1000,2*m^2+10*m=1000]

Y a partir de las expresiones anteriores daremos a m valores entre 1y 25:

(%i6) makelist([2*m^2+2*m=1000,2*m^2+4*m=1000,2*m^2+6*m=1000,2*m^2+8*m=1000,2*m^2+10*m=1000],m,1,25);
(%o6) [[4=1000,6=1000,8=1000,10=1000,12=1000],
[12=1000,16=1000,20=1000,24=1000,28=1000],
[24=1000,30=1000,36=1000,42=1000,48=1000],
[40=1000,48=1000,56=1000,64=1000,72=1000],
[60=1000,70=1000,80=1000,90=1000,100=1000],
[84=1000,96=1000,108=1000,120=1000,132=1000],
[112=1000,126=1000,140=1000,154=1000,168=1000],
[144=1000,160=1000,176=1000,192=1000,208=1000],
[180=1000,198=1000,216=1000,234=1000,252=1000],
[220=1000,240=1000,260=1000,280=1000,300=1000],
[264=1000,286=1000,308=1000,330=1000,352=1000],
[312=1000,336=1000,360=1000,384=1000,408=1000],
[364=1000,390=1000,416=1000,442=1000,468=1000],
[420=1000,448=1000,476=1000,504=1000,532=1000],
[480=1000,510=1000,540=1000,570=1000,600=1000],
[544=1000,576=1000,608=1000,640=1000,672=1000],
[612=1000,646=1000,680=1000,714=1000,748=1000],
[684=1000,720=1000,756=1000,792=1000,828=1000],
[760=1000,798=1000,836=1000,874=1000,912=1000],
[840=1000,880=1000,920=1000,960=1000,'''1000=1000'''],
[924=1000,966=1000,1008=1000,1050=1000,1092=1000],
[1012=1000,1056=1000,1100=1000,1144=1000,1188=1000],
[1104=1000,1150=1000,1196=1000,1242=1000,1288=1000],
[1200=1000,1248=1000,1296=1000,1344=1000,1392=1000],
[1300=1000,1350=1000,1400=1000,1450=1000,1500=1000]]

La solución que cumple la ecuación aparece para m=20 (en la vigésima fila) y n=5 (es el quinto valor dentro de la fila), por lo tanto:

(%i7) m:20;n:5;
(%o7) 20
(%o8) 5

Comprobamos que es así:

(%i9) is(2*m*n+2*m^2=1000);
(%o9) true

Hallamos los valores de la terna (a,b,c):

(%i10) a:2*m*n;b:m^2-n^2;c:m^2+n^2;
(%o10) 200
(%o11) 375
(%o12) 425

'''La terna pitagórica será (a=200,b=375,c=425)'''. Comprobemos que cumple el Teorema de Pitágoras:

(%i13) is(a^2+b^2=c^2);
(%o13) true

Ejercicio 9: Encontrar una terna pitágorica (a,b,c) que cumpla que a+b+c=1000

2011-04-21T02:27:37Z

Igdonoso80: Página creada con ''''Enunciado:''' Encontrar una terna pitagórica (a,b,c) que cumpla que: a+b+c=1000 '''Solución:''' Lo primero que debemos saber es que los tres términos de una terna pit…'

'''Enunciado:'''

Encontrar una terna pitagórica (a,b,c) que cumpla que:

a+b+c=1000

'''Solución:'''

Lo primero que debemos saber es que los tres términos de una terna pitagórica (los lados de un triángulo rectángulo) se pueden definir en función de dos variables que llamaremos m y n:

(%i1) a:2*m*n;b:m^2-n^2;c:m^2+n^2;
(%o1) 2*m*n
(%o2) m^2-n^2
(%o3) n^2+m^2

(%i4) a+b+c=1000;
(%o4) 2*m*n+2*m^2=1000

Para hallar los valores m y n que cumplen la ecuación anterior daremos a n valores entre 1 y 5:

(%i5) makelist(2*m*n+2*m^2=1000,n,1,5);
(%o5) [2*m^2+2*m=1000,2*m^2+4*m=1000,2*m^2+6*m=1000,2*m^2+8*m=1000,2*m^2+10*m=1000]

Y a partir de las expresiones anteriores daremos a m valores entre 1y 25:

(%i6) makelist([2*m^2+2*m=1000,2*m^2+4*m=1000,2*m^2+6*m=1000,2*m^2+8*m=1000,2*m^2+10*m=1000],m,1,25);
(%o6) [[4=1000,6=1000,8=1000,10=1000,12=1000],
[12=1000,16=1000,20=1000,24=1000,28=1000],
[24=1000,30=1000,36=1000,42=1000,48=1000],
[40=1000,48=1000,56=1000,64=1000,72=1000],
[60=1000,70=1000,80=1000,90=1000,100=1000],
[84=1000,96=1000,108=1000,120=1000,132=1000],
[112=1000,126=1000,140=1000,154=1000,168=1000],
[144=1000,160=1000,176=1000,192=1000,208=1000],
[180=1000,198=1000,216=1000,234=1000,252=1000],
[220=1000,240=1000,260=1000,280=1000,300=1000],
[264=1000,286=1000,308=1000,330=1000,352=1000],
[312=1000,336=1000,360=1000,384=1000,408=1000],
[364=1000,390=1000,416=1000,442=1000,468=1000],
[420=1000,448=1000,476=1000,504=1000,532=1000],
[480=1000,510=1000,540=1000,570=1000,600=1000],
[544=1000,576=1000,608=1000,640=1000,672=1000],
[612=1000,646=1000,680=1000,714=1000,748=1000],
[684=1000,720=1000,756=1000,792=1000,828=1000],
[760=1000,798=1000,836=1000,874=1000,912=1000],
[840=1000,880=1000,920=1000,960=1000,'''1000=1000'''],
[924=1000,966=1000,1008=1000,1050=1000,1092=1000],
[1012=1000,1056=1000,1100=1000,1144=1000,1188=1000],
[1104=1000,1150=1000,1196=1000,1242=1000,1288=1000],
[1200=1000,1248=1000,1296=1000,1344=1000,1392=1000],
[1300=1000,1350=1000,1400=1000,1450=1000,1500=1000]]

La solución que cumple la ecuación aparece para m=20 (en la vigésima fila) y n=5 (es el quinto valor dentro de la fila), por lo tanto:

(%i7) m:20;n:5;
(%o7) 20
(%o8) 5

Comprobamos que es así:

(%i9) is(2*m*n+2*m^2=1000);
(%o9) true

Hallamos los valores de la terna (a,b,c):

(%i10) a:2*m*n;b:m^2-n^2;c:m^2+n^2;
(%o10) 200
(%o11) 375
(%o12) 425

'''La terna pitagórica será (a=200,b=375,c=425)'''. Comprobemos que cumple el teorema de pitágoras:

(%i13) is(a^2+b^2=c^2);
(%o13) true

Ejercicios del proyecto Euler

2011-04-21T02:22:39Z

Igdonoso80:

En esta sección se encuentran ejercicios del [http://projecteuler.net/ proyecto Euler] realizados con los sistemas de software libre.
* [[Ejercicio 1: Sumar los enteros menores de 1000 que sean múltiplos de 3 ó 5]].
* [[Ejercicio 3: Mayor factor primo de un número]].
* [[Ejercicio 9: Encontrar una terna pitágorica (a,b,c) que cumpla que a+b+c=1000]].
* [[Ejercicio 10: Suma de todos los primos hasta 2.000.000]].

Ejercicios del proyecto Euler

2011-04-21T02:21:30Z

Igdonoso80:

En esta sección se encuentran ejercicios del [http://projecteuler.net/ proyecto Euler] realizados con los sistemas de software libre.
* [[Ejercicio 1: Sumar los enteros menores de 1000 que sean múltiplos de 3 ó 5]].
* [[Ejercicio 3: Mayor factor primo de un número]].
* [[Ejercicio 9: Encontrar una terna pitágorica (a,b,c) que cumpla que a+b+c=1000.
* [[Ejercicio 10: Suma de todos los primos hasta 2.000.000]].

Ejercicios del proyecto Euler

2011-04-21T02:20:53Z

Igdonoso80:

En esta sección se encuentran ejercicios del [http://projecteuler.net/ proyecto Euler] realizados con los sistemas de software libre.
* [[Ejercicio 1: Sumar los enteros menores de 1000 que sean múltiplos de 3 ó 5]].
* [[Ejercicio 3: Mayor factor primo de un número]].
* [[Ejercicio 9: Encontrar una terna pitágorica (a,b,c) que cumpla que a+b+c=1000.
* [[Ejercicio 10: Suma de todos los primos hasta 2.000.000]].

Ejercicios del proyecto Euler

2011-04-21T02:20:19Z

Igdonoso80:

En esta sección se encuentran ejercicios del [http://projecteuler.net/ proyecto Euler] realizados con los sistemas de software libre.
* [[Ejercicio 1: Sumar los enteros menores de 1000 que sean múltiplos de 3 ó 5]].
* [[Ejercicio 3: Mayor factor primo de un número]].
* [[Ejercicio 9: Encontrar una terna pitágorica (a,b,c) que cumpla que a+b+c=1000.
* [[Ejercicio 10: Suma de todos los primos hasta 2.000.000]].

Calcular la distancia entre el punto P y la recta r

2011-04-16T01:16:56Z

Igdonoso80:

'''Enunciado:'''

Calcular la distancia entre el punto P y la recta r:

P = (2,0,1)

r ≡ (x+2)/2 = y/1 = (z-2)/2

'''Solución:'''

(%i1) load(vect)$
(%i2) modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2))$
(%i3) dist(A,P,v):=modulo(express((v~(P-A))))/modulo(v)$
(%i4) A:[-2,0,2]$P:[2,0,1]$v:[2,1,2]$
(%i7) dist(A,P,v);
(%o7) sqrt(13)

(%i8) float(%), numer;
(%o8) 3.605551275463989

Calcular la distancia entre el punto P y la recta r

2011-04-16T01:14:42Z

Igdonoso80: Página creada con ''''Enunciado:''' Calcular la distancia entre el punto P y la recta r: P = (2,0,1) r ≡ (x+2)/2 = y/1 = (z-2)/2 '''Solución:''' (%i1) load(vect)$ (%i2) modulo(v):=sqrt(a…'

Ejercicios libres

2011-04-16T01:13:57Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

== Ejercicios ==
* [[El factorial de 100]].
* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
* [[Definir y dibujar una función]].
* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].
* [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].
* [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].
* [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].
* [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].

Calcular el ángulo entre los vectores v y w

2011-04-16T00:32:53Z

Igdonoso80: Página creada con ''''Enunciado:''' Calcular el ángulo existente entre los vectores: v = (-1,0,1) w = (0,1,-1) '''Solución:''' (%i1) v:[-1,0,1]$ w:[0,1,-1]$ (%i3) modulo(v):=sqrt(apply("+…'

'''Enunciado:'''

Calcular el ángulo existente entre los vectores:

v = (-1,0,1)

w = (0,1,-1)

'''Solución:'''

(%i1) v:[-1,0,1]$ w:[0,1,-1]$
(%i3) modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2))$
(%i4) pasaagrados(r):=(r*180)/ %pi$
(%i5) ang2vect(v,w):=pasaagrados(acos((v.w)/(modulo(v)*modulo(w))))$
(%i6) ang2vect(v,w),numer;
(%o6) 120.0

Ejercicios libres

2011-04-16T00:31:55Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

== Ejercicios ==
* [[El factorial de 100]].
* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
* [[Definir y dibujar una función]].
* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].
* [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].
* [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].
* [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].

Calcular la distancia entre las rectas r y s

2011-04-16T00:14:47Z

Igdonoso80:

'''Enunciado:'''

Calcular la distancia entre las rectas:

r ≡ (x+2)/2 = (y-1)/3 = (z-5)/4

s ≡ x/4 = y+1/3 = z/2

'''Solución:'''

(%i1) load(vect)$
(%i2) modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2))$

(%i3) dist2rectas(P,Q,u,v):=abs(determinant(matrix(u,v,(Q-P))))/modulo(express(u~v))$
(%i4) P:[-2,1,5]$Q:[0,-1,0]$u:[2,3,4]$v:[4,3,2]$
(%i5) dist2rectas(P,Q,u,v);
(%o5) 1/sqrt(6)

(%i6) float(1/sqrt(6)), numer;
(%o6) 0.40824829046386

Calcular la distancia entre las rectas r y s

2011-04-16T00:14:21Z

Igdonoso80: Página creada con ''''Enunciado:''' Calcular la distancia entre las rectas: r ≡ (x+2)/2= (y-1)/3 = (z-5)/4 s ≡ x/4= y+1/3 = z/2 '''Solución:''' (%i1) load(vect)$ (%i2) modulo(v):=sqrt(…'

'''Enunciado:'''

Calcular la distancia entre las rectas:

r ≡ (x+2)/2= (y-1)/3 = (z-5)/4

s ≡ x/4= y+1/3 = z/2

'''Solución:'''

(%i1) load(vect)$
(%i2) modulo(v):=sqrt(apply("+",v^2))$

(%i3) dist2rectas(P,Q,u,v):=abs(determinant(matrix(u,v,(Q-P))))/modulo(express(u~v))$
(%i4) P:[-2,1,5]$Q:[0,-1,0]$u:[2,3,4]$v:[4,3,2]$
(%i5) dist2rectas(P,Q,u,v);
(%o5) 1/sqrt(6)

(%i6) float(1/sqrt(6)), numer;
(%o6) 0.40824829046386

Ejercicios libres

2011-04-16T00:07:49Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1

2011-04-15T23:34:26Z

Igdonoso80: /* EJERCICIO 2.2.15. */

== EJERCICIO 2.2.15. ==

'''Enunciado:'''

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales:

x +2y −z = 1

x +y −z = 1

x −z = 1

'''Solución:'''

(%i1) S:[x+2*y-z=1,x+y-z=1,x-z=1];
(%o1) [-z+2*y+x=1,-z+y+x=1,x-z=1]

(%i2) globalsolve:true$
(%i3) solve(S,[x,y,z]);
solve: dependent equations eliminated: (1)
(%o3) [[x:%r1+1,y:0,z:%r1]]

'''Por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado'''

Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1

2011-04-15T23:33:58Z

Igdonoso80: Página creada con '== EJERCICIO 2.2.15. == '''Enunciado:''' Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x +2y −z = 1 x +y −z = 1 x −z = 1 '''Solución:''' (%i1) S:[x+2*y-z=1,x+y-z=1,x…'

== EJERCICIO 2.2.15. ==

'''Enunciado:'''

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales:

x +2y −z = 1
x +y −z = 1
x −z = 1

'''Solución:'''

(%i1) S:[x+2*y-z=1,x+y-z=1,x-z=1];
(%o1) [-z+2*y+x=1,-z+y+x=1,x-z=1]

(%i2) globalsolve:true$
(%i3) solve(S,[x,y,z]);
solve: dependent equations eliminated: (1)
(%o3) [[x:%r1+1,y:0,z:%r1]]

'''Por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado'''

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T23:30:39Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
* [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
* [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
* [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].

Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...

2011-04-15T23:26:50Z

Igdonoso80: Página creada con '== EJERCICIO 2.1.4. == '''Enunciado:''' Calcular la matriz X tal que AX = B, donde: A:matrix([1,2],[0,1]) B:matrix([1,2],[3,4]) '''Solución:''' (%i1) A:matrix([1,2],[0,…'

== EJERCICIO 2.1.4. ==

'''Enunciado:'''

Calcular la matriz X tal que AX = B, donde:

A:matrix([1,2],[0,1])

B:matrix([1,2],[3,4])

'''Solución:'''

(%i1) A:matrix([1,2],[0,1])$
(%i2) B:matrix([1,2],[3,4])$
(%i3) X:matrix([a,b],[c,d])$

(%i4) M:A.X=B;
(%o4) matrix([2*c+a,2*d+b],[c,d])=matrix([1,2],[3,4])

(%i5) S:[2*c+a=1,2*d+b=2,c=3,d=4];
(%o5) [2*c+a=1,2*d+b=2,c=3,d=4]

(%i6) globalsolve:true$
(%i7) solve(S,[a,b,c,d]);
(%o7) [[a:-5,b:-6,c:3,d:4]]

(%i8) X:matrix([a,b],[c,d]);
(%o8) matrix([-5,-6],[3,4])

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T23:26:04Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...

2011-04-15T23:22:44Z

Igdonoso80: /* EJERCICIO 2.1.3. */

== EJERCICIO 2.1.3. ==

'''Enunciado'''

Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde:

A:matrix([1,1],[1,1])

B:matrix([1,-2],[0,-1])

'''Solución'''

(%i1) A:matrix([1,1],[1,1])$
(%i2) B:matrix([1,-2],[0,-1])$
(%i3) X:matrix([a,b],[c,d])$

(%i4) M:A.X+B=X;
(%o4) matrix([c+a+1,d+b-2],[c+a,d+b-1])=matrix([a,b],[c,d])

(%i5) S:[c+a+1=a,d+b-2=b,c+a=c,d+b-1=d];
(%o5) [c+a+1=a,d+b-2=b,c+a=c,d+b-1=d]

(%i6) globalsolve:true$
(%i7) solve(S,[a,b,c,d]);
(%o7) [[a:0,b:1,c:-1,d:2]]

(%i8) X:matrix([a,b],[c,d]);
(%o8) matrix([0,1],[-1,2])

Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...

2011-04-15T23:21:39Z

Igdonoso80: /* EJERCICIO 2.1.3. */

Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...

2011-04-15T23:21:13Z

Igdonoso80: Página creada con '== EJERCICIO 2.1.3. == '''Enunciado''' Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde: A:matrix([1,1],[1,1]) B:matrix([1,-2],[0,-1]) '''Solución''' (%i1) A:m…'

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T23:20:53Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T23:20:34Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
* [[Ejercicio 2.1.3.: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].

Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...

2011-04-15T23:15:57Z

Igdonoso80:

Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...

2011-04-15T22:37:47Z

Igdonoso80: Página creada con ''''Enunciado''' Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde: A:matrix([1,1],[1,1]) B:matrix([1,-2],[0,-1]) '''Solución''' (%i1) A:matrix([1,1],[1,1])$ (%i2…'

'''Enunciado'''

Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde:

A:matrix([1,1],[1,1])

B:matrix([1,-2],[0,-1])

'''Solución'''

(%i1) A:matrix([1,1],[1,1])$
(%i2) B:matrix([1,-2],[0,-1])$
(%i3) X:matrix([a,b],[c,d])$

(%i4) M:A.X+B=X;
(%o4) matrix([c+a+1,d+b-2],[c+a,d+b-1])=matrix([a,b],[c,d])

(%i5) S:[c+a+1=a,d+b-2=b,c+a=c,d+b-1=d];
(%o5) [c+a+1=a,d+b-2=b,c+a=c,d+b-1=d]

(%i6) globalsolve:true$
(%i7) solve(S,[a,b,c,d]);
(%o7) [[a:0,b:1,c:-1,d:2]]

(%i8) X:matrix([a,b],[c,d]);
(%o8) matrix([0,1],[-1,2])

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T22:08:46Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].

Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X

2011-04-15T22:07:22Z

Igdonoso80: Página creada con ''''Enunciado:''' Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde: A = matrix([1,1],[1,1]) B = matrix([1,-2],[0,-1]) '''Solución:''' (%i1) A:matrix([1,1],[1,1])$…'

'''Enunciado:'''
Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde:

A = matrix([1,1],[1,1])

B = matrix([1,-2],[0,-1])

'''Solución:'''

(%i1) A:matrix([1,1],[1,1])$
(%i2) B:matrix([1,-2],[0,-1])$
(%i3) X:matrix([a,b],[c,d])$

(%i4) M:A.X+B=X;
(%o4) matrix([c+a+1,d+b-2],[c+a,d+b-1])=matrix([a,b],[c,d])

(%i5) S:[c+a+1=a,d+b-2=b,c+a=c,d+b-1=d];
(%o5) [c+a+1=a,d+b-2=b,c+a=c,d+b-1=d]

(%i6) globalsolve:true$
(%i7) solve(S,[a,b,c,d]);
(%o7) [[a:0,b:1,c:-1,d:2]]

(%i8) X:matrix([a,b],[c,d]);
(%o8) matrix([0,1],[-1,2])

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T21:47:55Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

== Introducción ==
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* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X]].

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T21:47:25Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T21:47:08Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

== Introducción ==
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* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde A = {1,1,1,1} y B = {1,-2,0,-1} ]].

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T21:46:51Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

== Introducción ==
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* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde A = {1,1,1,1} y B = {1,-2,0,-1}]].

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T21:45:37Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

== Introducción ==
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* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
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* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Halar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T21:45:08Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

== Introducción ==
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* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
* [[Halar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].

Ejercicios libres

2011-04-15T21:44:37Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

Ejercicios libres

2011-04-15T21:44:15Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T21:37:22Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

Ejercicios de selectividad

2011-04-15T21:35:15Z

Igdonoso80: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde A ={1,1,1,1} y B = {1,-2,0,-1}]].

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-14T17:43:07Z

Igdonoso80: /* Ejercicio 3 */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
(%i1) A:matrix([1,-5],[-5,3])$

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
(%i2) X:matrix([a,b],[c,d])$

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
(%i3) M:A.X-X.A;
(%o3) matrix([5*b-5*c,-5*d-2*b+5*a],[5*d+2*c-5*a,5*c-5*b])

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''
(%i10) is(A.B=B.A);
(%o10) true

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-14T17:41:03Z

Igdonoso80: /* Ejercicio 3.6. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
X:[(a,b),(c,d)];

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
M:A.X-X.A;

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''
(%i10) is(A.B=B.A);
(%o10) true

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-14T17:39:54Z

Igdonoso80: /* Ejercicio 3.5. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
X:[(a,b),(c,d)];

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
M:A.X-X.A;

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''
(%i7) B:matrix([(2*%r2+5*%r1)/5,%r2],[%r2,%r1]);

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-14T17:38:45Z

Igdonoso80: /* Ejercicio 3.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
X:[(a,b),(c,d)];

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
M:A.X-X.A;

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i4) S:[5*b-5*c=0,-5*d-2*b+5*a=0,5*d+2*c-5*a=0,5*c-5*b=0]$
(%i5) globalsolve:true$
(%i6) solve(S,[a,b,c,d]);
solve: dependent equations eliminated: (4 3)
(%o6) [a:(2*%r2+5*%r1)/5,b:%r2,c:%r2,d:%r1]

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-14T16:40:08Z

Igdonoso80: /* Ejercicio 3.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
X:[(a,b),(c,d)];

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
M:A.X-X.A;

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i23) globalsolve: true$
(%i24) solve(M=0,[a,b,c,d]);
(%o24) all

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-14T16:37:56Z

Igdonoso80: /* Ejercicio 3.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
X:[(a,b),(c,d)];

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
M:A.X-X.A;

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i23) globalsolve: true$

(%i24) solve(M=0,[a,b,c,d]);

(%o24) all

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-14T16:30:57Z

Igdonoso80: /* Ejercicio 3.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
X:[(a,b),(c,d)];

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
M:A.X-X.A;

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''
(%i16) globalsolve: true$
(%i19) solve(M=0,[a,b,c,d]);
(%o19) all

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Alumnos

2011-04-12T00:18:27Z

Igdonoso80:

{| class="wikitable" border="1"
! Nombre
! Usuario
|-
| Álvarez Valles, Daniel || Dani
|-
| Bravo García, Monserrat || Monbragar
|-
| Braza Valle, Elisabet ||
|-
| Caro Martín, Carmen Rocío ||
|-
| Charneco Fernández, Juan ||
|-
| Durán González, María José || emejota
|-
| Escalante Macías, Javier ||
|-
| Escudero Domínguez, Ana María || Anaescdom
|-
| Fajardo Galán, José Manuel || Jmfajardo
|-
| Gallardo Jiménez, Rafael || Rafgaljim
|-
| Gálvez Fernández, Carmen María || Cargalfer
|-
| García Donoso, Ignacio || igdonoso80
|-
| García Márquez, Máximo ||
|-
| González Esteban, Pastora Asunción ||
|-
| González Lobo, Macarena || Macaglez
|-
| Hidalgo Gutiérrez, Sandra || Sanhidgut
|-
| Izquierdo Laynez, Antonio ||
|-
| Jiménez Cruz, María Ángeles || Marjimcru
|-
| Jurado Rodríguez, Juan José ||
|-
| Maravert Ortega, María del Carmen ||
|-
| Márquez Bocanegra, Antonio Jesús ||
|-
| Martín Cubiles, José Carlos ||
|-
| Martín Cuervo, José Luis || Jose Cuervo
|-
| Ogayar Lechuga, Pablo ||
|-
| Pendas Fernández, Aida || Aida
|-
| Prieto Martín, Alicia ||
|-
| Regodón Domínguez, Elena || Eleregdom
|-
| Rodríguez Canseco, Raúl ||
|-
| Romero Guerrero, Angela María || Angromgue
|-
| Ronchel Ortigado, Ernesto ||
|-
| Salguero López, Andrés ||
|-
| Sangalo Delgado, José Javier ||
|-
| Santana Gil, Elisa ||
|-
| Sendín Bernardo, Alba ||
|-
| Sosa Orta, Cristina || Crisosort
|-
| Tofe Morejón, Antonio Manuel ||
|-
| Toscano Barragán, Rocío || ROCTOSBAR
|-
| Vallecillo López, Ana Isabel || Anavallop
|}

Alumnos

2011-04-12T00:16:01Z

Igdonoso80:

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| Álvarez Valles, Daniel || Dani
|-
| Bravo García, Monserrat || Monbragar
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| Braza Valle, Elisabet ||
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| Caro Martín, Carmen Rocío ||
|-
| Charneco Fernández, Juan ||
|-
| Durán González, María José || emejota
|-
| Escalante Macías, Javier ||
|-
| Escudero Domínguez, Ana María || Anaescdom
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| Fajardo Galán, José Manuel || Jmfajardo
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| Gallardo Jiménez, Rafael || Rafgaljim
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| Gálvez Fernández, Carmen María || Cargalfer
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| García Donoso, Ignacio || igdonoso
|-
| García Márquez, Máximo ||
|-
| González Esteban, Pastora Asunción ||
|-
| González Lobo, Macarena || Macaglez
|-
| Hidalgo Gutiérrez, Sandra || Sanhidgut
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| Izquierdo Laynez, Antonio ||
|-
| Jiménez Cruz, María Ángeles || Marjimcru
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| Jurado Rodríguez, Juan José ||
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| Maravert Ortega, María del Carmen ||
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| Márquez Bocanegra, Antonio Jesús ||
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| Martín Cubiles, José Carlos ||
|-
| Martín Cuervo, José Luis || Jose Cuervo
|-
| Ogayar Lechuga, Pablo ||
|-
| Pendas Fernández, Aida || Aida
|-
| Prieto Martín, Alicia ||
|-
| Regodón Domínguez, Elena || Eleregdom
|-
| Rodríguez Canseco, Raúl ||
|-
| Romero Guerrero, Angela María || Angromgue
|-
| Ronchel Ortigado, Ernesto ||
|-
| Salguero López, Andrés ||
|-
| Sangalo Delgado, José Javier ||
|-
| Santana Gil, Elisa ||
|-
| Sendín Bernardo, Alba ||
|-
| Sosa Orta, Cristina || Crisosort
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| Tofe Morejón, Antonio Manuel ||
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| Toscano Barragán, Rocío || ROCTOSBAR
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| Vallecillo López, Ana Isabel || Anavallop
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Alumnos

2011-04-12T00:15:38Z

Igdonoso80: