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2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-05-03T13:05:30Z

Fcamsan: /* Ejercicio 3.4 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

(%i1) j(x):=a*x+b $
(%i2) limit(j(x),x,0,minus);
(%o2) b
(%i3) b:1 $
(%i4) b;
(%o4) 1

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

OTRA FORMA

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) diff(f(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) limit (%o2,x,0,plus);
(%o3) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

(%i1) define(w(x),diff(g(x),x))$
(%i2) find_root(w(x),x,-1000,1000)

Obtenemos el resultado:
function has same sign at endpoints
[f(-1000.0)=2.999999500000375,f(1000.0)=1.000000499999625]
-- an error. To debug this try debugmode(true);

Que nos indica que la función no tiene ceros en ese intervalo. Si los límites en menos infinito y más infinito coinciden con esos
valores, la derivada segunda no se anula nunca, con lo que su valor es siempre positivo y, por tanto, la función es siempre creciente:

(%i3) limit(w(x), x, inf)
(%o3) 1
(%i4) limit(w(x), x, minf)
(%o4) 3

Efectivamente, la función f(x) es siempre monótona creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.
(%i1)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(3*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o1)[[Archivo: ejercicio_3-1.png]]

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>
(%i2)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(4*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o2)[[Archivo:Ejercicio_3-2.png]]

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.
(%i3)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(5*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-1,1], [y,-1.5,1.5])$
(%o3)[[Archivo:ejercicio_3-3.png]]

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-05-03T12:53:53Z

Fcamsan: /* Ejercicio 3.4 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

(%i1) j(x):=a*x+b $
(%i2) limit(j(x),x,0,minus);
(%o2) b
(%i3) b:1 $
(%i4) b;
(%o4) 1

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

OTRA FORMA

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) diff(f(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) limit (%o2,x,0,plus);
(%o3) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

(%i1) define(w(x),diff(g(x),x))$
(%i2) find_root(w(x),x,-1000,1000)

Obtenemos el resultado:
function has same sign at endpoints
[f(-1000.0)=2.999999500000375,f(1000.0)=1.000000499999625]
-- an error. To debug this try debugmode(true);

Que nos indica que la función no tiene ceros en ese intervalo. Si los límites en menos infinito y más infinito coinciden con esos
valores, la derivada segunda no se anula nunca, con lo que su valor es siempre positivo y, por tanto, la función es siempre creciente:

(%i3) limit(w(x), x, inf)
(%o3) 1
(%i4) limit(w(x), x, minf)
(%o4) 3

Efectivamente, la función f(x) es siempre monótona creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.
(%i1)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(3*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o1)[[Archivo: ejercicio_3-1.png]]

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>
(%i2)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(4*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o2)[[Archivo:Ejercicio_3-2.png]]

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.
(%i3)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(5*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-1,1], [y,-1.5,1.5])$
(%o3)[[Archivo:ejercicio_3-3.png]]

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.
(%i4)n:[3,4,5];
(%o4)[3,4,5]
(%i5)T(cos(t))=cos(n*t);
(%o5)T(cos(t))=[cos(3*t),cos(4*t),cos(5*t)]

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

Archivo:Ejercicio 3-3.png

2010-05-03T12:40:27Z

Fcamsan:

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-05-03T12:40:18Z

Fcamsan: /* Ejercicio 3.3 */

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-05-03T12:38:24Z

Fcamsan: /* Ejercicio 3.2 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

(%i1) j(x):=a*x+b $
(%i2) limit(j(x),x,0,minus);
(%o2) b
(%i3) b:1 $
(%i4) b;
(%o4) 1

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

OTRA FORMA

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) diff(f(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) limit (%o2,x,0,plus);
(%o3) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

(%i1) define(w(x),diff(g(x),x))$
(%i2) find_root(w(x),x,-1000,1000)

Obtenemos el resultado:
function has same sign at endpoints
[f(-1000.0)=2.999999500000375,f(1000.0)=1.000000499999625]
-- an error. To debug this try debugmode(true);

Que nos indica que la función no tiene ceros en ese intervalo. Si los límites en menos infinito y más infinito coinciden con esos
valores, la derivada segunda no se anula nunca, con lo que su valor es siempre positivo y, por tanto, la función es siempre creciente:

(%i3) limit(w(x), x, inf)
(%o3) 1
(%i4) limit(w(x), x, minf)
(%o4) 3

Efectivamente, la función f(x) es siempre monótona creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.
(%i1)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(3*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o1)[[Archivo: ejercicio_3-1.png]]

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>
(%i2)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(4*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o2)[[Archivo:Ejercicio_3-2.png]]

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

Archivo:Ejercicio 3-2.png

2010-05-03T12:38:01Z

Fcamsan:

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-05-03T12:37:35Z

Fcamsan: /* Ejercicio 3.2 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

(%i1) j(x):=a*x+b $
(%i2) limit(j(x),x,0,minus);
(%o2) b
(%i3) b:1 $
(%i4) b;
(%o4) 1

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

OTRA FORMA

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) diff(f(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) limit (%o2,x,0,plus);
(%o3) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

(%i1) define(w(x),diff(g(x),x))$
(%i2) find_root(w(x),x,-1000,1000)

Obtenemos el resultado:
function has same sign at endpoints
[f(-1000.0)=2.999999500000375,f(1000.0)=1.000000499999625]
-- an error. To debug this try debugmode(true);

Que nos indica que la función no tiene ceros en ese intervalo. Si los límites en menos infinito y más infinito coinciden con esos
valores, la derivada segunda no se anula nunca, con lo que su valor es siempre positivo y, por tanto, la función es siempre creciente:

(%i3) limit(w(x), x, inf)
(%o3) 1
(%i4) limit(w(x), x, minf)
(%o4) 3

Efectivamente, la función f(x) es siempre monótona creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.
(%i1)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(3*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o1)[[Archivo: ejercicio_3-1.png]]

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>
(%i2)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(4*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o2)[[Archivo:Ejercicio_3-2.jpg]]

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

Archivo:Ejercicio 3-1.png

2010-05-03T12:35:37Z

Fcamsan:

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-05-03T12:35:05Z

Fcamsan: /* Ejercicio 3.1 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

(%i1) j(x):=a*x+b $
(%i2) limit(j(x),x,0,minus);
(%o2) b
(%i3) b:1 $
(%i4) b;
(%o4) 1

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

OTRA FORMA

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) diff(f(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) limit (%o2,x,0,plus);
(%o3) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

(%i1) define(w(x),diff(g(x),x))$
(%i2) find_root(w(x),x,-1000,1000)

Obtenemos el resultado:
function has same sign at endpoints
[f(-1000.0)=2.999999500000375,f(1000.0)=1.000000499999625]
-- an error. To debug this try debugmode(true);

Que nos indica que la función no tiene ceros en ese intervalo. Si los límites en menos infinito y más infinito coinciden con esos
valores, la derivada segunda no se anula nunca, con lo que su valor es siempre positivo y, por tanto, la función es siempre creciente:

(%i3) limit(w(x), x, inf)
(%o3) 1
(%i4) limit(w(x), x, minf)
(%o4) 3

Efectivamente, la función f(x) es siempre monótona creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.
(%i1)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(3*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o1)[[Archivo: ejercicio_3-1.png]]

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-05-03T12:34:51Z

Fcamsan: /* Ejercicio 3.1 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

(%i1) j(x):=a*x+b $
(%i2) limit(j(x),x,0,minus);
(%o2) b
(%i3) b:1 $
(%i4) b;
(%o4) 1

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

OTRA FORMA

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) diff(f(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) limit (%o2,x,0,plus);
(%o3) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

(%i1) define(w(x),diff(g(x),x))$
(%i2) find_root(w(x),x,-1000,1000)

Obtenemos el resultado:
function has same sign at endpoints
[f(-1000.0)=2.999999500000375,f(1000.0)=1.000000499999625]
-- an error. To debug this try debugmode(true);

Que nos indica que la función no tiene ceros en ese intervalo. Si los límites en menos infinito y más infinito coinciden con esos
valores, la derivada segunda no se anula nunca, con lo que su valor es siempre positivo y, por tanto, la función es siempre creciente:

(%i3) limit(w(x), x, inf)
(%o3) 1
(%i4) limit(w(x), x, minf)
(%o4) 3

Efectivamente, la función f(x) es siempre monótona creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.
(%i1)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(3*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o1)[[Archivo:ejercicio_3-1.png]]

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-05-03T12:33:20Z

Fcamsan: /* Ejercicio 3.1 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

(%i1) j(x):=a*x+b $
(%i2) limit(j(x),x,0,minus);
(%o2) b
(%i3) b:1 $
(%i4) b;
(%o4) 1

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

OTRA FORMA

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) diff(f(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) limit (%o2,x,0,plus);
(%o3) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

(%i1) define(w(x),diff(g(x),x))$
(%i2) find_root(w(x),x,-1000,1000)

Obtenemos el resultado:
function has same sign at endpoints
[f(-1000.0)=2.999999500000375,f(1000.0)=1.000000499999625]
-- an error. To debug this try debugmode(true);

Que nos indica que la función no tiene ceros en ese intervalo. Si los límites en menos infinito y más infinito coinciden con esos
valores, la derivada segunda no se anula nunca, con lo que su valor es siempre positivo y, por tanto, la función es siempre creciente:

(%i3) limit(w(x), x, inf)
(%o3) 1
(%i4) limit(w(x), x, minf)
(%o4) 3

Efectivamente, la función f(x) es siempre monótona creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.
(%i1)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(3*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o1)[[Imagen:C:\Documents and Settings\Administrador\Escritorio\ejercicio_3-1.png]]

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-05-03T12:30:49Z

Fcamsan: /* Ejercicio 3.1 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

(%i1) j(x):=a*x+b $
(%i2) limit(j(x),x,0,minus);
(%o2) b
(%i3) b:1 $
(%i4) b;
(%o4) 1

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

OTRA FORMA

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) diff(f(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) limit (%o2,x,0,plus);
(%o3) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

(%i1) define(w(x),diff(g(x),x))$
(%i2) find_root(w(x),x,-1000,1000)

Obtenemos el resultado:
function has same sign at endpoints
[f(-1000.0)=2.999999500000375,f(1000.0)=1.000000499999625]
-- an error. To debug this try debugmode(true);

Que nos indica que la función no tiene ceros en ese intervalo. Si los límites en menos infinito y más infinito coinciden con esos
valores, la derivada segunda no se anula nunca, con lo que su valor es siempre positivo y, por tanto, la función es siempre creciente:

(%i3) limit(w(x), x, inf)
(%o3) 1
(%i4) limit(w(x), x, minf)
(%o4) 3

Efectivamente, la función f(x) es siempre monótona creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.
(%i1)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(3*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-05-03T12:29:55Z

Fcamsan: /* Ejercicio 3.1 */

'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.
(%i1) f(x):= if(x>0) then (%e^x-1)/x else a*x+b$

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) limit(f(x),x,0,plus);
(%o2) 1
=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

(%i1) j(x):=a*x+b $
(%i2) limit(j(x),x,0,minus);
(%o2) b
(%i3) b:1 $
(%i4) b;
(%o4) 1

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

(%i1) g(x):= (exp(x)-1)/x;
(%i2) diff(g(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) ratsimp(%o2);
(%o3) ((x-1)*%e^x+1)/x^2
(%i4) define (h(x), %o3);
(%i5) limit(h(x),x,0,plus);
(%o5) 1/2

OTRA FORMA

(%i1) assume(x>0);
(%o1) [x>0]
(%i2) diff(f(x),x);
(%o2) %e^x/x-(%e^x-1)/x^2
(%i3) limit (%o2,x,0,plus);
(%o3) 1/2

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

(%i6) j(x):=a*x+b;
(%i7) diff(j(x),x);
(%o7) a
(%i8) define (k(x), %o7)$
(%i9) limit (k(x),x,0,minus);
(%o9) a
(%i10)a:%o5;
(%i11) a;
(%o11) 1/2

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.
(%i2)limit(g(x), x, inf);
(%o2)inf
(%i3)limit(g(x), x, minf);
(%o3)-inf

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2) wxplot2d(g(x), [x,-5,5], [y,-5,5]);
[[Imagen:ej_2.2.png]]

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)'diff(g(x),x)=diff(g(x),x);
(%o1) 'diff((2*x-sqrt(x^2+1)),x,1)=2-x/sqrt(x^2+1)

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%i2)find_root(2*x=sqrt(1+x^2),x,-100,100);
(%o1)0.57735026918963

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

(%i1) define(w(x),diff(g(x),x))$
(%i2) find_root(w(x),x,-1000,1000)

Obtenemos el resultado:
function has same sign at endpoints
[f(-1000.0)=2.999999500000375,f(1000.0)=1.000000499999625]
-- an error. To debug this try debugmode(true);

Que nos indica que la función no tiene ceros en ese intervalo. Si los límites en menos infinito y más infinito coinciden con esos
valores, la derivada segunda no se anula nunca, con lo que su valor es siempre positivo y, por tanto, la función es siempre creciente:

(%i3) limit(w(x), x, inf)
(%o3) 1
(%i4) limit(w(x), x, minf)
(%o4) 3

Efectivamente, la función f(x) es siempre monótona creciente.

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.
(%i1)wxplot2d([['parametric, cos(t), cos(3*t), [t, -10, 10], [nticks, 300]]], [x,-2,2], [y,-2,2])$
(%o1)[[Archivo:C:\Documents and Settings\Administrador\Escritorio\1.jpg]]

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-29T10:12:37Z

Fcamsan: /* Ejercicio 1.5. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
(%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
(%o2)[k=2]
M(k) es invertible si k es diferente de 2.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
(%i3)invert(M);
(%03)matrix([(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)],
[3/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4)],
[(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4),(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)])

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
(%i4)eigenvalues(M);
(%o4)[[-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,3],[1,1,1]]

Otra posible forma es calculando las raices del polinomio caracteristico.
(%i5)charpoly(M,x);
(%o5)2*x+((2-x)*(k-x)-1)*(2-x)-k-4
(%i6)expand(%);
(%o6)-x^3+k*x^2+4*x^2-4*k*x-x+3*k-6
(%i7)solve(%=0,x);
(%o7)[x=-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,x=(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,x=3]

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A efinida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-29T09:51:51Z

Fcamsan: /* Ejercicio 1.5. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
(%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
(%o2)[k=2]
M(k) es invertible si k es diferente de 2.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
(%i3)invert(M);
(%03)matrix([(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)],
[3/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4)],
[(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4),(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)])

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
(%i4)charpoly(M,x);
(%o4)2*x+((2-x)*(k-x)-1)*(2-x)-k-4
(%i5)expand(%);
(%o5)-x^3+k*x^2+4*x^2-4*k*x-x+3*k-6
(%i6)solve(%=0,x);
(%o6)[x=-(sqrt(k^2-2*k+9)-k-1)/2,x=(sqrt(k^2-2*k+9)+k+1)/2,x=3]

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A efinida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-29T09:41:24Z

Fcamsan: /* Ejercicio 1.4. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
(%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
(%o2)[k=2]
M(k) es invertible si k es diferente de 2.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
(%i3)invert(M);
(%03)matrix([(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)],
[3/(2*(2*k-1)-k-4),3/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4)],
[(-k-1)/(2*(2*k-1)-k-4),-3/(2*(2*k-1)-k-4),(2*k-1)/(2*(2*k-1)-k-4)])

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A efinida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-29T09:37:30Z

Fcamsan: /* Ejercicio 1.3. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
M(k) es invertible si el determinante es distinto de cero.
(%i2)solve(2*(2*k-1)-k-4=0);
(%o2)[k=2]
M(k) es invertible si k es diferente de 2.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A efinida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-29T09:18:55Z

Fcamsan: /* Ejercicio 1.2. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A efinida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-29T09:18:47Z

Fcamsan: /* Ejercicio 1.3. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A efinida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2010-04-29T09:18:27Z

Fcamsan: /* Ejercicio 1.3. */

== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz
[ 2 -1 1]
M(k) = [-1 k 1]
[ 1 1 2]
para k en R.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
(%i1)determinant(M);
(%o1)2*(2*k-1)-k-4

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es
a(i,j) = binomial(j-1,i-1), si i <= j
= 0, si i > j

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por
[ 1 -5]
[-5 3]

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A efinida por
[ 1 -5]
[-5 3]

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

2010 Ejercicios 2: Funciones de una variable

2010-04-13T18:03:31Z

Fcamsan: /* Ejercicio 1 */

2010 Ejercicios de introducción a Maxima

2010-04-13T17:45:56Z

Fcamsan: /* Ejercicio 4 */

'''Fonciones y variables a utilizar:''' ''float'', ''is'', ''expand'', ''fpprec'', ''bfloat'', ''solve'', ''factor'', ''rectform'', ''abs'', ''carg'', ''plot2D'' y ''find_root''.

== Ejercicio 1 ==
=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la constante <math>a = (20+14\sqrt{2})^{1/3} + (20-14\sqrt{2})^{1/3}</math>.
----
'''Solución:'''
(%i1) a : (20+14*sqrt(2))^(1/3) + (20-14*sqrt(2))^(1/3);
(%o1) (7*2^(3/2)+20)^(1/3)+(20-7*2^(3/2))^(1/3)

=== Ejercicio 1.2 ===
Calcular el valor numérico de a. ¿A qué entero se aproxima?

'''Solución:'''
(%i2) float(a);
(%o2) 3.999999999999996

(%i3) round(%);
(%o3) 4

== Ejercicio 2 ==
Ejercicio 2. Escribir el número <math>\left(sin\frac{\pi}{3}+cos\frac{\pi}{3}\right)^9</math> en la forma <math>a + b \ast c^d</math>, donde <math>a, b, c</math> y <math>d</math> son números racionales.

''Nota'': Cambiar el valor de la variable ''%piargs'' a ''true'' y usar ''radcan'' para la simplificación de radicales.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
Calcular la cifra 149 del número <math>\pi</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==
Se considera el polinomio <math>p = x^4-x^3-7x^2-8x-6</math>.
(%i1) p:x^4-x^3-7*x^2-8*x-6;
(%o1) x^4-x^3-7*x^2-8*x-6

=== Ejercicio 4.1. ===
Calcular las raices reales de <math>p</math>.

'''Solución:'''
(%i2) realroots(p);
(%o2) [x=-55222251/33554432,x=122331115/33554432]

=== Ejercicio 4.2 ===
Factorizar al máximo el polinomio <math>p</math>.

'''Solución:'''
(%i3) factor(p);
(%o3) (x^2-2*x-6)*(x^2+x+1)

== Ejercicio 5 ==
Sea <math>z=\left(\frac{1-i\sqrt 3}{1+i}\right)^{20}</math>.

(%i1) z: ((1-%i*sqrt(3))/(1+%i))^20$

=== Ejercicio 5.1 ===
Calcular la parte real y la parte imaginaria de <math>z</math>.

'''Solución:'''

(%i2) realpart(z);
(%o2) 512

(%i3) imagpart(z)$
(%i4) radcan(%);
(%o4) 512*sqrt(3)

=== Ejercicio 5.2 ===
Calcular el módulo y el argumento de <math>z</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 6 ==

=== Ejercicio 6.1 ===
Con la ayuda de la representación gráfica, conjeturar el número de soluciones de la ecuación
:<math>\sin x=1-x^4</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 6.2 ===
Dar una aproximación de cada solución.

'''Solución:'''

== Ejercicio 7 ==
Resolver el siguiente sistema lineal en función de los parámetros
<math>a, b</math> y <math>c</math>:
:<math>
\left\{
\begin{array}{l}
x+ay+a^2 z=0 \\
x+by+b^2 z=0 \\
x+cy+c^2z=1
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1)syst:[x+a*y+a^2*z=0, x+b*y+b^2*z=0, x+c*y+c^2*z=1];
(%01)[a^2*z+a*y+x=0,b^2*z+b*y+x=0,c^2*z+c*y+x=1]
(%i2)solve(syst, [x,y,z]);
(%o2)[[x=(a*b)/(c^2-b*c+a*(b-c)),y=-(b+a)/(c^2-b*c+a*(b-c)),z=1/(c^2-b*c+a*(b-c))]]