Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) - Contribuciones del usuario [es]

Ejercicio sobre continuidad de funciones definidas a trozos.

2011-05-08T18:44:13Z

EliBV: /*Ejercicio de continuidad de funciones definidas a trozos*/

'''Calcular el valor de "a" para que la siguiente función sea continua en x=1. f(x)= (x+1) si x<=1, (3-ax^2) si x>1.'''

********

'''Solución:'''

1. Primero calculamos el valor de la función en x=1. Para ello, damos nombre a cada trozo de la función de la suguiente manera:

(%i6) h(x):= x +1;
(%i7) g(x):= 3-a*x^2;

A continuación, sustituimos el punto x=1 en el trozo de función correspondiente:

(%i8) h(1);
(%o8) 2

2. Una vez hecho esto, calculamos los límites laterales de la función:

(%i9) limit(h(x), x, 1, minus);
(%o9) 2
(%i10) limit(g(x), x, 1, plus);
(%o10) 3 - a

Como ambos límites tienen que valer lo mismo, igualamos ambos resultados.

(%i11) solve(2=3-a, a);
(%o11) [a = 1]

Por lo tanto, a = 1. Comprobamos, haciendo los límites por la derecha y por la izquierda y viendo que obtenemos el mismo resultado:

(%i12) limit(3-x^2, x, 1, plus);
(%o12) 2
(%i13) limit(3-x^2, x, 1, minus);
(%o13) 2

Conclusión: a debe ser igual a 1 para que la función definida a trozos del enunciado sea contínua en el punto de abcisas x=1.

Ejercicio sobre continuidad de funciones

2011-05-08T18:30:18Z

EliBV: /*Ejercicio de continuidad de funciones*/

'''Estudiar la continuidad de la función: f(x)=(x^2)/(x-1) en el punto de abcisas x=1.'''

*******

'''Solución:'''

1. Comprobamos si existe la función en el punto x=1. Para ello sustituimos el valor en la función:

(%i1) f(x):= (x^2-x)/(x-1);
2
x - x
(%o1) f(x) := ------
x - 1
(%i2) f(1);
expt: undefined: 0 to a negative exponent.
#0: f(x=1)
-- an error. To debug this try: debugmode(true);

Vemos que el programa nos advierte de que la funciónno está definida para dicho punto, por lo tanto, el dominio de dicha función es todo R excepto 1.

2. Ahora comprobamos si existe el límite de la función en x=1.

(%i3) limit((x^2)/(x-1), x, 1);
(%o3) infinity

El líminte es infinito, por lo que es una discontinuidad evitable. Hacemos lo siguiente:

(%i4) limit(x(x-1)/(x-1), x, 1);
x(x - 1)
(%o4) limit --------
x -> 1 x - 1
(%i5) limit(x, x, 1);
(%o5) 1

El límite es igual a 1.

Como conclusión tenemos que la función tiene una discontinuidad evitable en x=1, es decir, la función no tiene imágen en x=1 pero si tiene límite.

Ejercicios libres

2011-05-08T18:22:52Z

EliBV: /*Ejercicios*/

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

== Ejercicios ==
* [[El factorial de 100]].
* [[El factorial de cualquier número]].
* [[El Fibonacci de cualquier número]].
* [[Desarrollando potencias con Maxima]].
* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
* [[Definir y dibujar una función]].
* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].
* [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].
* [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].
* [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].
* [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].
* [[Problema 12 del proyecto Euler]].
* [[Problema 20 del proyecto Euler]].
* [[Estudio de una función]].
* [[Estudio de una función definida a trozos]].
* [[Número de puntos dentro del círculo de radio n]].
* [[Optimización de funciones]].
* [[Ejercicio de Selectividad SM2165]].
* [[Ejercicio de Selectividad Junio 2003 Matemáticas Aplicadas a las CCSS]].
* [[Ejercicio sobre matrices]].
* [[Ejercicio sobre integrales]].
* [[Ejercicio sobre derivadas]].
* [[Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas]].
* [[Ejercicio de Selectividad Junio 2001 Matemáticas Aplicadas a las CCSS]].
* [[Ejercicio de probabilidad elemental]].
* [[Resolver el sistema lineal de ecuaciones]]
* [[Calcular el área y volumen de una superficie de revolución: Toro]]
* [[Ejercicio de Selectividad Castilla-La Mancha Junio 2007]]
* [[Ejercicio Matrices]]
* [[Ejercicios de planos]]
* [[Calcular el area y el baricentro de un triangulo]].
* [[Calcular la ecuación de una circunferencia, a partir de 3 puntos dados]].
* [[Programa que encuentra todas las ternas pitagóricas que sumen un número escogido, en particular resuelve el Problema 9 del Proyecto de Euler]]
* [[Programa que, para una función dada, calcula los puntos críticos, máximos-mínimos relativos, puntos de inflexión y representa la grafica automaticamente]]
*[[Demostración del teorema de Pappus a través pseudo-divisiones]]
* [[Calcular los extremos relativos de f(x)=(x+1)^2*(x-2)]]
* [[Calcular a y b para que la función f(x)= x^3+a*x^2+b*x tenga un mínimo en el punto (2,3)]]
* [[Ejercicio Selectividad Andalucía Junio 2007]]
* [[Ejercicio sobre continuidad de funciones]].
* [[Ejercicio sobre continuidad de funciones definidas a trozos.]].

Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas

2011-04-22T19:25:35Z

EliBV: /*Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas*/

* [[Ejercicio sobre integrales]].
Se considera la función real de variable real definida por: f(x)= x^3-3*x^2+4

a)Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.
b)Determínense los extremos relativos de f.

'''Solución:'''

a) Para calcular el punto de inflexión de la función f(x), debemos calcular su segunda derivada y estudiar los valores de x que la hacen cero.

(%i1) f(x):= x^3 - 3*x^2 + 4;

(%i2) diff(f(x), x, 2);

(%o2) 6 x - 6

(%i3) a:solve(6*x -6=0, x);

(%o3) [x = 1]

Ahora, comprobamos que ciertamente para x=1 existe un punto de inflexión mediante la tercera derivada. Al sustituir dicho punto en ella, el resultado debe ser distinto de cero.

(%i4) diff(f(x), x, 3);

(%o4) 6

* Ahora que ya conocemos el punto de inflexión de la función, vamos a calcular la recta tangente a ella en dicho punto. Dicha recta tangente viene dada por:
y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)

Por lo tanto, nos queda calcular la primera derivada y sustituir:

(%i5) diff(f(x),x);

(%o5) 3x^2-6x

(%i6) a:f(1);

(%o6) 2

(%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;

(%i8) b:f1(1);

(%o8) - 3

*Por lo tanto, ahora sólo nos queda sustituir los valores:

y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)

y= -3*(x-1)+ 2

y=-3x +5

b)Para calcular los extremos relativos de la función, resolvemos la primera derivada y estudiamos el signo de la segunda derivada una vez sustituidos los valores, de forma que:
* Si f''(x_0)< 0, en x_0 tenemos un máximo.
* Si f''(x_0)> 0, en x_0 tenemos un mínimo.

Si llamamos f1 a la primera derivada y f2 a la segunda:

(%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;

(%i9) solve(3*x^2-6*x=0,x);

(%o9) [x = 0, x = 2]

Sustituimos los valores anteriores en la segunda derivada:

(%i10) f2(x):=6* x - 6;

(%i11) f2(0);

(%o11) - 6

(%i12) f2(2);

(%o12) 6

Por lo tanto, para x=0 tenemos un máximo y para x=2 tenemos un minimo relativo.

Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas

2011-04-22T19:25:10Z

EliBV: /*Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas*/

* [[Ejercicio sobre integrales]].
Se considera la función real de variable real definida por: f(x)= x^3-3*x^2+4

a)Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.
b)Determínense los extremos relativos de f.

'''Solución:'''

a) Para calcular el punto de inflexión de la función f(x), debemos calcular su segunda derivada y estudiar los valores de x que la hacen cero.

(%i1) f(x):= x^3 - 3*x^2 + 4;

(%i2) diff(f(x), x, 2);

(%o2) 6 x - 6

(%i3) a:solve(6*x -6=0, x);

(%o3) [x = 1]

Ahora, comprobamos que ciertamente para x=1 existe un punto de inflexión mediante la tercera derivada. Al sustituir dicho punto en ella, el resultado debe ser distinto de cero.

(%i4) diff(f(x), x, 3);

(%o4) 6

* Ahora que ya conocemos el punto de inflexión de la función, vamos a calcular la recta tangente a ella en dicho punto. Dicha recta tangente viene dada por:
y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)
Por lo tanto, nos queda calcular la primera derivada y sustituir:

(%i5) diff(f(x),x);

(%o5) 3x^2-6x

(%i6) a:f(1);

(%o6) 2

(%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;

(%i8) b:f1(1);

(%o8) - 3

*Por lo tanto, ahora sólo nos queda sustituir los valores:

y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)

y= -3*(x-1)+ 2

y=-3x +5

b)Para calcular los extremos relativos de la función, resolvemos la primera derivada y estudiamos el signo de la segunda derivada una vez sustituidos los valores, de forma que:
* Si f''(x_0)< 0, en x_0 tenemos un máximo.
* Si f''(x_0)> 0, en x_0 tenemos un mínimo.

Si llamamos f1 a la primera derivada y f2 a la segunda:

(%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;

(%i9) solve(3*x^2-6*x=0,x);

(%o9) [x = 0, x = 2]

Sustituimos los valores anteriores en la segunda derivada:

(%i10) f2(x):=6* x - 6;

(%i11) f2(0);

(%o11) - 6

(%i12) f2(2);

(%o12) 6

Por lo tanto, para x=0 tenemos un máximo y para x=2 tenemos un minimo relativo.

Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas

2011-04-22T19:24:03Z

EliBV: /*Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas*/

* [[Ejercicio sobre integrales]].
Se considera la función real de variable real definida por: f(x)= x^3-3*x^2+4

a)Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión.
b)Determínense los extremos relativos de f.

'''Solución:'''

a) Para calcular el punto de inflexión de la función f(x), debemos calcular su segunda derivada y estudiar los valores de x que la hacen cero.

(%i1) f(x):= x^3 - 3*x^2 + 4;

(%i2) diff(f(x), x, 2);
(%o2) 6 x - 6
(%i3) a:solve(6*x -6=0, x);
(%o3) [x = 1]

Ahora, comprobamos que ciertamente para x=1 existe un punto de inflexión mediante la tercera derivada. Al sustituir dicho punto en ella, el resultado debe ser distinto de cero.

(%i4) diff(f(x), x, 3);
(%o4) 6

* Ahora que ya conocemos el punto de inflexión de la función, vamos a calcular la recta tangente a ella en dicho punto. Dicha recta tangente viene dada por:
y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)
Por lo tanto, nos queda calcular la primera derivada y sustituir:

(%i5) diff(f(x),x);
(%o5) 3x^2-6x

(%i6) a:f(1);
(%o6) 2

(%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;
(%i8) b:f1(1);
(%o8) - 3

*Por lo tanto, ahora sólo nos queda sustituir los valores:
y=f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)
y= -3*(x-1)+ 2

y=-3x +5

b)Para calcular los extremos relativos de la función, resolvemos la primera derivada y estudiamos el signo de la segunda derivada una vez sustituidos los valores, de forma que:
Si f''(x_0)< 0, en x_0 tenemos un máximo.
Si f''(x_0)> 0, en x_0 tenemos un mínimo.

Si llamamos f1 a la primera derivada y f2 a la segunda:
(%i7) f1(x):= 3*x^2-6*x;
(%i9) solve(3*x^2-6*x=0,x);
(%o9) [x = 0, x = 2]

Sustituimos los valores anteriores en la segunda derivada:

(%i10) f2(x):=6* x - 6;
(%i11) f2(0);
(%o11) - 6
(%i12) f2(2);
(%o12) 6

Por lo tanto, para x=0 tenemos un máximo y para x=2 tenemos un minimo relativo.

Ejercicios libres

2011-04-22T19:02:16Z

EliBV: /*Ejercicios*/

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

== Ejercicios ==
* [[El factorial de 100]].
* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
* [[Definir y dibujar una función]].
* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].
* [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].
* [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].
* [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].
* [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].
* [[Problema 12 del proyecto Euler]].
* [[Problema 20 del proyecto Euler]].
* [[Estudio de una función]].
* [[Estudio de una función definida a trozos]].
* [[Número de puntos dentro del círculo de radio n]].
* [[Optimización de funciones]].
* [[Ejercicio de Selectividad SM2165]].
* [[Ejercicio de Selectividad Junio 2003 Matemáticas Aplicadas a las CCSS]].
* [[Ejercicio sobre matrices]].
* [[Ejercicio sobre integrales]].
* [[Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas]].

Ejercicio sobre integrales

2011-04-22T18:43:23Z

EliBV: /*Ejercicio sobre integrales*/

Dada la función f(x) = x^3/(sqrt(1-x^2)), calcula su integral definida entre 0 y 1/2.

'''Solución:'''

* Definimos la función f(x) en maxima:
(%i1) f(x):= x^3/(sqrt(1-x^2));

* Ahora escribimos el comando que calcula la integral definida:
integrate (f(x), x, 0, 1/2);

* El resultado es el siguiente:

2/3 - 3^(3/2)/8

Ejercicios libres

2011-04-22T18:39:36Z

EliBV: /*Ejercicios*/

Ejercicio sobre matrices

2011-04-22T18:07:01Z

EliBV: /*Ejercicio sobre matrices*/

Demostrar que A^2 - A- 2 I = 0, siendo A=([0,1,1],[1,0,1],[1,1,0]).

'''Solución:'''

Definimos la matriz A, calculamos A^2 y resolvemos el sistema anterior:

(%i20) A:matrix([0,1,1],[1,0,1],[1,1,0])$

(%i21) B:A . A;

(%o21) matrix([2,1,1],[1,2,1],[1,1,2])

(%i22) I:matrix([1,0,0],[0,1,0],[0,0,1])$

(%i23) R:B-A-(2*I);

(%023) matrix([0,0,0],[0,0,0],[0,0,0])

*Tal y como hemos comprobado se cumple que el resultado de la ecuación anterior es cero.

Ejercicio sobre matrices

2011-04-22T18:02:42Z

EliBV: /*Ejercicio sobre matrices*/

Demostrar que A^2 - A- 2 I = 0, siendo A=([0,1,1],[1,0,1],[1,1,0]).

Solución:

Definimos la matriz A, calculamos A^2 y resolvemos el sistema anterior:

(%i20) A:matrix([0,1,1],[1,0,1],[1,1,0])$

(%i21) B:A . A;

(%o21) matrix([2,1,1],[1,2,1],[1,1,2])

(%i22) I:matrix([1,0,0],[0,1,0],[0,0,1])$

(%i23) R:B-A-(2*I);

(%023) matrix([0,0,0],[0,0,0],[0,0,0])

*Tal y como hemos comprobado se cumple que el resultado de la ecuación anterior es cero.

Ejercicio sobre matrices

2011-04-22T18:02:08Z

EliBV: /*Ejercicio sobre matrices*/

Demostrar que A^2 - A- 2 I = 0, siendo A=([0,1,1],[1,0,1],[1,1,0]).

Solución:

Definimos la matriz A, calculamos A^2 y resolvemos el sistema anterior:

(%i20) A:matrix([0,1,1],[1,0,1],[1,1,0])$
(%i21) B:A . A;
(%o21) matrix([2,1,1],[1,2,1],[1,1,2])

(%i22) I:matrix([1,0,0],[0,1,0],[0,0,1])$
(%i23) R:B-A-(2*I);
(%023) matrix([0,0,0],[0,0,0],[0,0,0])

*Tal y como hemos comprobado se cumple que el resultado de la ecuación anterior es cero.

Ejercicios libres

2011-04-22T17:55:10Z

EliBV: /*Ejercicios*/

Ejercicio de Selectividad Junio 2003 Matemáticas Aplicadas a las CCSS

2011-04-22T11:26:02Z

EliBV: /* Ejercicio selectividad */

'''Ejercicio de Selectividad Junio 2003.'''

Sean las matrices M([1,2],[3,4]) y N([4,3],[2,1])
a) Calcular la matriz A=M*Mt-5M (donde Mt es la matriz traspuesta de M).
b) Calcular la matriz B=<math>M^-1</math> y resuelva la ecuación N+X*M=M*B, donde X es una matriz 2x2.

'''Solución:'''

'''a)''' Introducimos en Maxima la matriz M y calculamos su traspuesta:

(%i10) M:matrix([1,2],[3,4]);
[ 1 2 ]
(%o10) [ ]
[ 3 4 ]
(%i12) T:transpose(M);
[ 1 3 ]
(%o12) [ ]
[ 2 4 ]

Ahora calculamos 5M:

(%i13) CM:5 . M;

[ 5 10 ]
(%o13) [ ]
[ 15 20 ]

Ahora calculamos la matriz A:

(%i14) A:M . T - CM;
[ 0 1 ]
(%o14) [ ]
[ - 4 5 ]

'''b)'''Ahora calculamos la inversa de la matriz M. Para ello introducimos en maxima:

(%i15) B:invert(M);
[ - 2 1 ]
[ ]
(%o15) [ 3 1 ]
[ - - - ]
[ 2 2 ]

A continuación, proponemos el sistema de ecuaciones. Definimos la matriz x:

(%i16) X:matrix([a,b],[c,d]);
[ a b ]
(%o16) [ ]
[ c d ]
(%i17) XM:X . M;
[ 3 b + a 4 b + 2 a ]
(%o17) [ ]
[ 3 d + c 4 d + 2 c ]
(%i18) XMN: N + XM;
[ 3 b + a + 4 4 b + 2 a + 3 ]
(%o18) [ ]
[ 3 d + c + 2 4 d + 2 c + 1 ]
(%i19) MB: M. B;
[ 1 0 ]
(%o19) [ ]
[ 0 1 ]

Sabemos que cada elemento i,j de XMN debe ser igual a su correspondiente i,j de MB:

(%i23) solve ([3*b+a+4=1, 4*b+2*a+3=0, 3 *d + c + 2=0, 4 *d + 2* c + 1=0],[a,b,c,d]);
3 3 5 3
(%o23) [[a = -, b = - -, c = -, d = - -]]
2 2 2 2

Ya tenemos resuelto el sistema de ecuaciones cuya solución es (3/2, -3/2, 5/2, -3/2).

Ejercicio de Selectividad Junio 2003 Matemáticas Aplicadas a las CCSS

2011-04-22T11:24:32Z

EliBV: /* Ejercicio selectividad */

Ejercicios libres

2011-04-22T10:53:56Z

EliBV: /* Ejercicios */

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

== Ejercicios ==
* [[El factorial de 100]].
* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
* [[Definir y dibujar una función]].
* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].
* [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].
* [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].
* [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].
* [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].
* [[Problema 12 del proyecto Euler]].
* [[Problema 20 del proyecto Euler]].
* [[Estudio de una función]].
* [[Estudio de una función definida a trozos]].
* [[Número de puntos dentro del círculo de radio n]].
* [[Optimización de funciones]].
* [[Ejercicio de Selectividad SM2165]]
* [[Ejercicio de Selectividad Junio 2003 Matemáticas Aplicadas a las CCSS]]

Ejercicios de selectividad

2011-04-20T11:42:33Z

EliBV: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
* [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
* [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
* [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
* [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].

Ejercicios de selectividad

2011-04-20T11:35:55Z

EliBV: /* Ejercicios */

Optimización de funciones

2011-04-20T11:19:39Z

EliBV: /* Ejercicio de optimización*/

'''Ejercicio de optimización de funciones.'''
Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento (n) de acuerdo con la expresión:
B(n) = -8n^3 + 60n^2 - 96n
a. Determina el número de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios semanales.
b. Determina el valor de dichos beneficios máximos.
'''
Solución:'''

'''a.''' Primero calculamos la primera derivada de la función para buscar sus extremos relativos:

(%i1) B(n):= -8*n^3 + 60*n^2 - 96*n;

3 2
(%o1) B(n) := (- 8) n + 60 n + (- 96) n

(%i2) a:diff(B(n), n);

2
(%o2) - 24 n + 120 n - 96

(%i3) solve (a=0,n);

(%o3) [n = 1, n = 4]

Ahora comprobamos si los valores obtenidos son máximos o mínimos relativos. Para ello, comprobamos el signo de la segunda derivada:

(%i4) b:diff(B(n),n,2);

(%o4) 120 - 48 n

(%i6) b2(n):=120-48*n;

(%o6) b2(n) := 120 - 48 n

(%i7) b2(1);

(%o7) 72

(%i8) b2(4);

(%o8) - 72

Por lo tanto, tenemos que para n=1 tenemos un mínimo ya que el signo de la segunda derivada es positivo y para n=4 tenemos un máximo puesto que el singo de la segunda derivada es negativo.

Conclusión: para n=4 tiendas se maximizan los beneficios semanales.

'''b.''' En este apartado, sólo tenenmos que sustituir el número de tiendas que maximizan los beneficios, n=4, en la función que proporciona el beneficio semanal:

(%i9) B(4);

(%o9) 64

Por lo tanto, los beneficios semanales para 4 tiendas son 64 mil euros.

Optimización de funciones

2011-04-20T11:17:39Z

EliBV: /* Ejercicio de optimización*/

'''Ejercicio de optimización de funciones.'''
Una franquicia de tiendas de moda ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del número de tiendas que tiene en funcionamiento (n) de acuerdo con la expresión:
B(n) = -8n^3 + 60n^2 - 96n
a. Determina el número de tiendas que debe tener para maximizar sus beneficios semanales.
b. Determina el valor de dichos beneficios máximos.
'''
Solución:'''

'''a.''' Primero calculamos la primera derivada de la función para buscar sus extremos relativos:

(%i1) B(n):= -8*n^3 + 60*n^2 - 96*n;
3 2
(%o1) B(n) := (- 8) n + 60 n + (- 96) n
(%i2) a:diff(B(n), n);
2
(%o2) - 24 n + 120 n - 96
(%i3) solve (a=0,n);
(%o3) [n = 1, n = 4]

Ahora comprobamos si los valores obtenidos son máximos o mínimos relativos. Para ello, comprobamos el signo de la segunda derivada:

(%i4) b:diff(B(n),n,2);
(%o4) 120 - 48 n
(%i6) b2(n):=120-48*n;
(%o6) b2(n) := 120 - 48 n
(%i7) b2(1);
(%o7) 72
(%i8) b2(4);
(%o8) - 72

Por lo tanto, tenemos que para n=1 tenemos un mínimo ya que el signo de la segunda derivada es positivo y para n=4 tenemos un máximo puesto que el singo de la segunda derivada es negativo.

Conclusión: para n=4 tiendas se maximizan los beneficios semanales.

'''b.''' En este apartado, sólo tenenmos que sustituir el número de tiendas que maximizan los beneficios, n=4, en la función que proporciona el beneficio semanal:

(%i9) B(4);
(%o9) 64

Por lo tanto, los beneficios semanales para 4 tiendas son 64 mil euros.

Ejercicios libres

2011-04-20T10:33:14Z

EliBV: /* Ejercicios */

Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x

2011-04-20T10:29:35Z

EliBV: /* Ejercicio 2.2.12 */

Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x.

'''Solución:'''

Escribir en Maxima:

(%i12) solve ([-x+y=z, x-z=y, y+z=x], [x,y,z]);

Maxima da como resultado:

solve: dependent equations eliminated: (3)
(%o12) [[x = %r1, y = %r1, z = 0]]

Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x

2011-04-20T10:25:58Z

EliBV: Página creada con 'Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x. Solución: Escribir en Maxima: solve ([-x+y=z, x-z=y, y+z=x], [x,y,z]); Maxima da como res…'

Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x.

Solución:

Escribir en Maxima: solve ([-x+y=z, x-z=y, y+z=x], [x,y,z]);

Maxima da como resultado: solve: dependent equations eliminated: (3)
(%o12) [[x = %r1, y = %r1, z = 0]]

Ejercicios de selectividad

2011-04-20T10:23:58Z

EliBV: /* Ejercicios */

Ejercicios de selectividad

2011-04-20T10:12:29Z

EliBV: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
* [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
* [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
* [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
* [[Ejercicio: Planteamiento y resolución de un sistema de ecuaciones.]].

Alumnos

2011-04-19T21:20:09Z

EliBV:

{| class="wikitable" border="1"
! Nombre
! Usuario
|-
| Álvarez Valles, Daniel || Dani
|-
| Bravo García, Monserrat || Montse Bravo
|-
| Braza Valle, Elisabet || EliBV
|-
| Caro Martín, Carmen Rocío ||
|-
| Charneco Fernández, Juan ||
|-
| Durán González, María José || emejota
|-
| Escalante Macías, Javier ||
|-
| Escudero Domínguez, Ana María || Anaescdom
|-
| Fajardo Galán, José Manuel || Jmfajardo
|-
| Gallardo Jiménez, Rafael || Rafgaljim
|-
| Gálvez Fernández, Carmen María || Cargalfer
|-
| García Donoso, Ignacio || igdonoso80
|-
| García Márquez, Máximo ||
|-
| González Esteban, Pastora Asunción || pasgonest
|-
| González Lobo, Macarena || Macaglez
|-
| Hidalgo Gutiérrez, Sandra || Sanhidgut
|-
| Izquierdo Laynez, Antonio || antizqlay
|-
| Jiménez Cruz, María Ángeles || Marjimcru
|-
| Jurado Rodríguez, Juan José ||
|-
| Maravert Ortega, María del Carmen || carmarort
|-
| Márquez Bocanegra, Antonio Jesús ||
|-
| Martín Cubiles, José Carlos ||
|-
| Martín Cuervo, José Luis || Jose Cuervo
|-
| Ogayar Lechuga, Pablo || pablogayar
|-
| Pendas Fernández, Aida || Aida
|-
| Prieto Martín, Alicia ||
|-
| Regodón Domínguez, Elena || Eleregdom
|-
| Rodríguez Canseco, Raúl ||
|-
| Romero Guerrero, Angela María || Angromgue
|-
| Ronchel Ortigado, Ernesto || eronchel
|-
| Salguero López, Andrés || andsallop
|-
| Sangalo Delgado, José Javier ||
|-
| Santana Gil, Elisa || elisa22
|-
| Sendín Bernardo, Alba || Albasendin
|-
| Sosa Orta, Cristina || Crisosort
|-
| Tofe Morejón, Antonio Manuel || Anttofmor
|-
| Toscano Barragán, Rocío || ROCTOSBAR
|-
| Vallecillo López, Ana Isabel || Anavallop
|}