Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) - Contribuciones del usuario [es]

Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001

2011-04-12T05:13:49Z

Anttofmor:

En primer lugar, se definen las funciones y las constantes:
f(x):=sqrt(1+x^2);
a:0;
b:1;
E:0.001;
En virtud de la fórmula del error para la regla de Simpson: 
E <= (b-a)^5*|max(f' ' ' '(x))|/(180*n^4) 
Y a la vista de la gráfica de la derivada cuarta de f(x), que podemos ver gracias a Maxima y cuyo máximo, en valor absoluto, vale 3
define(g(x),diff(f(x),x,4));
plot2d(g(x),[x,-1,1],[y,-3,3]);
maxg:3;
Nos queda que para determinar el número de intervalos, sólo falta despejar la n:
solve(E=((b-a)^5*maxg)/(180*n^4),n);
Maxima ofrece las cuatro soluciones de esa ecuación de cuarto grado, de las cuales debemos tomar la entera y positiva, que nos ha salido la 4ª:
float(%[4]);
Lo que nos da un valor de n = 2.02. Por muy poco, con n=2 no tendremos la precisión deseada. Tomaremos pues n=4, ya que la Regla de Simpson sólo tiene sentido con un número par de intervalos.
n:4;
La anchura t de esos intervalos será, por tanto (b-a)/4, y los puntos quedarán recogidos en el vector puntos.
t:(b-a)/n;
puntos:[a,a+t,a+2*t,a+3*t,b];
Según la Regla de Simpson, la integral vale: (b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2t)+2*f(a+3t)+f(b))/(3*n), que para la función inicial y los valores de a y b:
float((b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2*t)+4*f(a+3*t)+f(b))/(3*n));
Devuelve un valor de 1.1477822.
Haciendo la integral con la orden integrate, el valor ofrecido es:
float(integrate(f(x),x,0,1));
1.14779357 Que difiere del valor obtenido en mucho menos que 0.001.

Alumnos

2011-04-12T05:12:48Z

Anttofmor:

{| class="wikitable" border="1"
! Nombre
! Usuario
|-
| Álvarez Valles, Daniel || Dani
|-
| Bravo García, Monserrat || Monbragar
|-
| Braza Valle, Elisabet ||
|-
| Caro Martín, Carmen Rocío ||
|-
| Charneco Fernández, Juan ||
|-
| Durán González, María José || emejota
|-
| Escalante Macías, Javier ||
|-
| Escudero Domínguez, Ana María || Anaescdom
|-
| Fajardo Galán, José Manuel || Jmfajardo
|-
| Gallardo Jiménez, Rafael || Rafgaljim
|-
| Gálvez Fernández, Carmen María || Cargalfer
|-
| García Donoso, Ignacio || igdonoso80
|-
| García Márquez, Máximo ||
|-
| González Esteban, Pastora Asunción ||
|-
| González Lobo, Macarena || Macaglez
|-
| Hidalgo Gutiérrez, Sandra || Sanhidgut
|-
| Izquierdo Laynez, Antonio ||
|-
| Jiménez Cruz, María Ángeles || Marjimcru
|-
| Jurado Rodríguez, Juan José ||
|-
| Maravert Ortega, María del Carmen ||
|-
| Márquez Bocanegra, Antonio Jesús ||
|-
| Martín Cubiles, José Carlos ||
|-
| Martín Cuervo, José Luis || Jose Cuervo
|-
| Ogayar Lechuga, Pablo ||
|-
| Pendas Fernández, Aida || Aida
|-
| Prieto Martín, Alicia ||
|-
| Regodón Domínguez, Elena || Eleregdom
|-
| Rodríguez Canseco, Raúl ||
|-
| Romero Guerrero, Angela María || Angromgue
|-
| Ronchel Ortigado, Ernesto ||
|-
| Salguero López, Andrés ||
|-
| Sangalo Delgado, José Javier ||
|-
| Santana Gil, Elisa ||
|-
| Sendín Bernardo, Alba ||
|-
| Sosa Orta, Cristina || Crisosort
|-
| Tofe Morejón, Antonio Manuel || Anttofmor
|-
| Toscano Barragán, Rocío || ROCTOSBAR
|-
| Vallecillo López, Ana Isabel || Anavallop
|}

Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001

2011-04-10T23:51:53Z

Anttofmor:

En primer lugar, se definen las funciones y las constantes:
f(x):=sqrt(1+x^2);
a:0;
b:1;
E:0.001;
En virtud de la fórmula del error para la regla de Simpson: 
E <= (b-a)^5*|max(f' ' ' '(x))|/(180*n^4) 
Y a la vista de la gráfica de la derivada cuarta de f(x), que podemos ver gracias a Maxima y cuyo máximo, en valor absoluto, vale 3
define(g(x),diff(f(x),x,4));
plot2d(g(x),[x,-1,1],[y,-3,3]);
maxg:3;
Nos queda que para determinar el número de intervalos, sólo falta despejar la n:
solve(E=((b-a)^5*maxg)/(180*n^4),n);
Maxima ofrece las cuatro soluciones de esa ecuación de cuarto grado, de las cuales debemos tomar la entera y positiva, que nos ha salido la 4ª:
float(%[2]);
Lo que nos da un valor de n = 2.02. Por muy poco, con n=2 no tendremos la precisión deseada. Tomaremos pues n=4, ya que la Regla de Simpson sólo tiene sentido con un número par de intervalos.
n:4;
La anchura t de esos intervalos será, por tanto (b-a)/4, y los puntos quedarán recogidos en el vector puntos.
t:(b-a)/n;
puntos:[a,a+t,a+2*t,a+3*t,b];
Según la Regla de Simpson, la integral vale: (b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2t)+2*f(a+3t)+f(b))/(3*n), que para la función inicial y los valores de a y b:
float((b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2*t)+4*f(a+3*t)+f(b))/(3*n));
Devuelve un valor de 1.1477822.
Haciendo la integral con la orden integrate, el valor ofrecido es:
float(integrate(f(x),x,0,1));
1.14779357 Que difiere del valor obtenido en mucho menos que 0.001.

Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001

2011-04-10T23:50:03Z

Anttofmor:

En primer lugar, se definen las funciones y las constantes:
f(x):=sqrt(1+x^2);
a:0;
b:1;
E:0.001;
En virtud de la fórmula del error para la regla de Simpson: 
[[Archivo:C:\Documents and Settings\MANUEL\Mis documentos\Mis imágenes\error.bmp]]
E <= (b-a)^5*|max(f' ' ' '(x))|/(180*n^4)
Y a la vista de la gráfica de la derivada cuarta de f(x), que podemos ver gracias a Maxima y cuyo máximo, en valor absoluto, vale 3
define(g(x),diff(f(x),x,4));
plot2d(g(x),[x,-1,1],[y,-3,3]);
maxg:3;
Nos queda que para determinar el número de intervalos, sólo falta despejar la n:
solve(E=((b-a)^5*maxg)/(180*n^4),n);
Maxima ofrece las cuatro soluciones de esa ecuación de cuarto grado, de las cuales debemos tomar la entera y positiva, que nos ha salido la 4ª:
float(%[2]);
Lo que nos da un valor de n = 2.02. Por muy poco, con n=2 no tendremos la precisión deseada. Tomaremos pues n=4, ya que la Regla de Simpson sólo tiene sentido con un número par de intervalos.
n:4;
La anchura t de esos intervalos será, por tanto (b-a)/4, y los puntos quedarán recogidos en el vector puntos.
t:(b-a)/n;
puntos:[a,a+t,a+2*t,a+3*t,b];
Según la Regla de Simpson, la integral vale: (b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2t)+2*f(a+3t)+f(b))/(3*n), que para la función inicial y los valores de a y b:
float((b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2*t)+4*f(a+3*t)+f(b))/(3*n));
Devuelve un valor de 1.1477822.
Haciendo la integral con la orden integrate, el valor ofrecido es:
float(integrate(f(x),x,0,1));
1.14779357 Que difiere del valor obtenido en mucho menos que 0.001.

Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001

2011-04-10T23:45:06Z

Anttofmor:

En primer lugar, se definen las funciones y las constantes:
f(x):=sqrt(1+x^2);
a:0;
b:1;
E:0.001;
En virtud de la fórmula del error para la regla de Simpson:
E <= (b-a)^5*|max(f' ' ' '(x))|/(180*n^4)
Y a la vista de la gráfica de la derivada cuarta de f(x), que podemos ver gracias a Maxima y cuyo máximo, en valor absoluto, vale 3
define(g(x),diff(f(x),x,4));
plot2d(g(x),[x,-1,1],[y,-3,3]);
maxg:3;
Nos queda que para determinar el número de intervalos, sólo falta despejar la n:
solve(E=((b-a)^5*maxg)/(180*n^4),n);
Maxima ofrece las cuatro soluciones de esa ecuación de cuarto grado, de las cuales debemos tomar la entera y positiva, que nos ha salido la 4ª:
float(%[2]);
Lo que nos da un valor de n = 2.02. Por muy poco, con n=2 no tendremos la precisión deseada. Tomaremos pues n=4, ya que la Regla de Simpson sólo tiene sentido con un número par de intervalos.
n:4;
La anchura t de esos intervalos será, por tanto (b-a)/4, y los puntos quedarán recogidos en el vector puntos.
t:(b-a)/n;
puntos:[a,a+t,a+2*t,a+3*t,b];
Según la Regla de Simpson, la integral vale: (b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2t)+2*f(a+3t)+f(b))/(3*n), que para la función inicial y los valores de a y b:
float((b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2*t)+4*f(a+3*t)+f(b))/(3*n));
Devuelve un valor de 1.1477822.
Haciendo la integral con la orden integrate, el valor ofrecido es:
float(integrate(f(x),x,0,1));
1.14779357 Que difiere del valor obtenido en mucho menos que 0.001.

Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001

2011-04-10T23:44:48Z

Anttofmor:

En primer lugar, se definen las funciones y las constantes:
f(x):=sqrt(1+x^2);
a:0;
b:1;
E:0.001;
En virtud de la fórmula del error para la regla de Simpson:
E <= (b-a)^5*|max(f' ' ' '(x))|/(180*n^4)
Y a la vista de la gráfica de la derivada cuarta de f(x), que podemos ver gracias a Maxima y cuyo máximo, en valor absoluto, vale 3
define(g(x),diff(f(x),x,4));
plot2d(g(x),[x,-1,1],[y,-3,3]);
maxg:3;
Nos queda que para determinar el número de intervalos, sólo falta despejar la n:
solve(E=((b-a)^5*maxg)/(180*n^4),n);
Maxima ofrece las cuatro soluciones de esa ecuación de cuarto grado, de las cuales debemos tomar la entera y positiva, que nos ha salido la 4ª:
float(%[2]);
Lo que nos da un valor de n = 2.02. Por muy poco, con n=2 no tendremos la precisión deseada. Tomaremos pues n=4, ya que la Regla de Simpson sólo tiene sentido con un número par de intervalos.
n:4;
La anchura t de esos intervalos será, por tanto (b-a)/4, y los puntos quedarán recogidos en el vector puntos.
t:(b-a)/n;
puntos:[a,a+t,a+2*t,a+3*t,b];
Según la Regla de Simpson, la integral vale: (b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2t)+2*f(a+3t)+f(b))/(3*n), que para la función inicial y los valores de a y b:
float((b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2*t)+4*f(a+3*t)+f(b))/(3*n));
Devuelve un valor de 1.1477822.
Haciendo la integral con la orden integrate, el valor ofrecido es:
float(integrate(f(x),x,0,1));
1.14779357 que difiere del valor obtenido en mucho menos que 0.001

Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001

2011-04-10T23:43:55Z

Anttofmor:

En primer lugar, se definen las funciones y las constantes:
f(x):=sqrt(1+x^2);
a:0;
b:1;
E:0.001;
En virtud de la fórmula del error para la regla de Simpson:
E <= (b-a)^5*|max(f' ' ' '(x))|/(180*n^4)
Y a la vista de la gráfica de la derivada cuarta de f(x), que podemos ver gracias a Maxima y cuyo máximo, en valor absoluto, vale 3
define(g(x),diff(f(x),x,4));
plot2d(g(x),[x,-1,1],[y,-3,3]);
maxg:3;
Nos queda que para determinar el número de intervalos, sólo falta despejar la n:
solve(E=((b-a)^5*maxg)/(180*n^4),n);
Maxima ofrece las cuatro soluciones de esa ecuación de cuarto grado, de las cuales debemos tomar la entera y positiva, que nos ha salido la 4ª:
float(%[2]);
Lo que nos da un valor de n = 2.02. Por muy poco, con n=2 no tendremos la precisión deseada. Tomaremos pues n=4, ya que la Regla de Simpson sólo tiene sentido con un número par de intervalos.
n:4;
La anchura t de esos intervalos será, por tanto (b-a)/4, y los puntos quedarán recogidos en el vector puntos.
t:(b-a)/n;
puntos:[a,a+t,a+2*t,a+3*t,b];
Según la Regla de Simpson, la integral vale: (b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2t)+2*f(a+3t)+f(b))/(3*n), que para la función inicial y los valores de a y b:
float((b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2*t)+4*f(a+3*t)+f(b))/(3*n));
Devuelve un valor de 1.1477822.
Haciendo la integral con la orden integrate, el valor ofrecido es:
float(integrate(f(x),x,0,1));
1.14779357
Que difiere del valor obtenido en mucho menos que 0.001

Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001

2011-04-10T23:42:34Z

Anttofmor:

En primer lugar, se definen las funciones y las constantes:
f(x):=sqrt(1+x^2);
a:0;
b:1;
E:0.001;
En virtud de la fórmula del error para la regla de Simpson:
E <= (b-a)^5*|max(f''''(x))|/(180*n^4)
Y a la vista de la gráfica de f''''(x), que podemos ver gracias a Maxima y cuyo máximo, en valor absoluto, vale 3
define(g(x),diff(f(x),x,4));
plot2d(g(x),[x,-1,1],[y,-3,3]);
maxg:3;
Nos queda que para determinar el número de intervalos, sólo falta despejar la n:
solve(E=((b-a)^5*maxg)/(180*n^4),n);
Maxima ofrece las cuatro soluciones de esa ecuación de cuarto grado, de las cuales debemos tomar la entera y positiva, que nos ha salido la 4ª:
float(%[2]);
Lo que nos da un valor de n = 2.02. Por muy poco, con n=2 no tendremos la precisión deseada. Tomaremos pues n=4, ya que la Regla de Simpson sólo tiene sentido con un número par de intervalos.
n:4;
La anchura t de esos intervalos será, por tanto (b-a)/4, y los puntos quedarán recogidos en el vector puntos.
t:(b-a)/n;
puntos:[a,a+t,a+2*t,a+3*t,b];
Según la Regla de Simpson, la integral vale: (b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2t)+2*f(a+3t)+f(b))/(3*n), que para la función inicial y los valores de a y b:
float((b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2*t)+4*f(a+3*t)+f(b))/(3*n));
Devuelve un valor de 1.1477822.
Haciendo la integral con la orden integrate, el valor ofrecido es:
float(integrate(f(x),x,0,1));
1.14779357
Que difiere del valor obtenido en mucho menos que 0.001

Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001

2011-04-10T23:42:01Z

Anttofmor:

En primer lugar, se definen las funciones y las constantes:
f(x):=sqrt(1+x^2);
a:0;
b:1;
E:0.001;
En virtud de la fórmula del error para la regla de Simpson:
E <= (b-a)^5*|max(f''''(x))|/(180*n^4)
Y a la vista de la gráfica de f''''(x), que podemos ver gracias a Maxima y cuyo máximo, en valor absoluto, vale 3
define(g(x),diff(f(x),x,4));
plot2d(g(x),[x,-1,1],[y,-3,3]);
maxg:3;
Nos queda que para determinar el número de intervalos, sólo falta despejar la n:
solve(E=((b-a)^5*maxg)/(180*n^4),n);
Maxima ofrece las cuatro soluciones de esa ecuación de cuarto grado, de las cuales debemos tomar la entera y positiva, que nos ha salido la 4ª:
float(%[2]);
Lo que nos da un valor de n = 2.02. Por muy poco, con n=2 no tendremos la precisión deseada. Tomaremos pues n=4, ya que la Regla de Simpson sólo tiene sentido con un número par de intervalos.
n:4;
La anchura t de esos intervalos será, por tanto (b-a)/4, y los puntos quedarán recogidos en el vector puntos.
t:(b-a)/n;
puntos:[a,a+t,a+2*t,a+3*t,b];
Según la Regla de Simpson, la integral vale: (b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2t)+2*f(a+3t)+f(b))/(3*n), que para la función inicial y los valores de a y b:
float((b-a)*(f(a)+4*f(a*t)+2*f(a+2*t)+4*f(a+3*t)+f(b))/(3*n));
Devuelve un valor de 1.1477822.
Haciendo la integral con la orden integrate, el valor ofrecido es:
float(integrate(f(x),x,0,1));
1.14779357
Que difiere del valor obtenido en mucho menos que 0.001

Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001

2011-04-10T23:39:01Z

Anttofmor:

En primer lugar, se definen las funciones y las constantes:
f(x):=sqrt(1+x^2);
a:0;
b:1;
E:0.001;
En virtud de la fórmula del error para la regla de Simpson:
E <= (b-a)^5*|max(f''''(x))|/(180*n^4)
Y a la vista de la gráfica de f''''(x), que podemos ver gracias a Maxima y cuyo máximo, en valor absoluto, vale 3
define(g(x),diff(f(x),x,4));
plot2d(g(x),[x,-1,1],[y,-3,3]);
maxg:3;
Nos queda que para determinar el número de intervalos, sólo falta despejar la n:
solve(E=((b-a)^5*maxg)/(180*n^4),n);
Maxima ofrece las cuatro soluciones de esa ecuación de cuarto grado, de las cuales debemos tomar la entera y positiva, que nos ha salido la 4ª:
float(%[2]);
Lo que nos da un valor de n = 2.02. Por muy poco, con n=2 no tendremos la precisión deseada. Tomaremos pues n=4, ya que la Regla de Simpson sólo tiene sentido con un número par de intervalos.
n:4;
La anchura t de esos intervalos será, por tanto (b-a)/4, y los puntos quedarán recogidos en el vector puntos.
t:(b-a)/n;
puntos:[a,a+t,a+2*t,a+3*t,b];
Según la Regla de Simpson, la integral vale: (b-a)*(f(a)+4*f(a+t)+2*f(a+2t)+2*f(a+3t)+f(b))/(3*n), que para la función inicial y los valores de a y b:
(b-a)*(f(a)+4*f(a*t)+2*f(a+2*t)+4*f(a+3*t)+f(b))/(3*n);
Devuelve un valor de 1.1477822.
Haciendo la integral con la orden integrate, el valor ofrecido es:
float(integrate(f(x),x,0,1));
1.14779357
Que difiere del valor obtenido en mucho menos que 0.001

Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001

2011-04-10T23:19:47Z

Anttofmor: Página creada con 'En primer lugar, se definen las funciones y las constantes: f(x):=sqrt(1+x^2); a:0; b:1; E:0.001; En virtud de la fórmula del error para la regla de Simpson: E <= (b-a)^5*|…'

Ejercicios libres

2011-04-10T23:10:19Z

Anttofmor: /* Ejercicios */

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

== Ejercicios ==
* [[El factorial de 100]].
* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
* [[Definir y dibujar una función]].
* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].

Ejercicios libres

2011-04-10T22:48:05Z

Anttofmor: /* Ejercicios */

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

== Ejercicios ==
* [[El factorial de 100]].
* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
* [[Definir y dibujar una función]].
* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función (sen(x))^2 entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].

Ejercicios libres

2011-04-10T22:42:05Z

Anttofmor: /* Ejercicios */

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

== Ejercicios ==
* [[El factorial de 100]].
* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
* [[Definir y dibujar una función]].
* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función (1+x^3)^(-1/2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].

Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función exp(x^2) entre 1 y 2 con un error menor a 0.001

2011-04-10T22:40:29Z

Anttofmor: Página creada con 'El número de intervalos a utilizar en la Regla de Simpson se obtiene en virtud de la fórmula del error para dicha regla: E <= (b-a)^5*max(|f''''(x)|)/(180*n^4) Es preciso hall…'

El número de intervalos a utilizar en la Regla de Simpson se obtiene en virtud de la fórmula del error para dicha regla:
E <= (b-a)^5*max(|f''''(x)|)/(180*n^4)
Es preciso hallar el máximo de la derivada cuarta de la función, pero al ser exp(x^2) una función estrictamente creciente, su máximo se encontrará en el extremo mayor del intervalo [a, b], es decir, en x = 2.
Despejando n:

Ejercicios libres

2011-04-10T22:20:38Z

Anttofmor: /* Ejercicios */

Obtener, mediante la regla del trapecio, el área de la función exp(x^2) entre 1 y 2 con un error menor a 0.001

2011-04-10T22:20:10Z

Anttofmor: Página creada con 'Primero es necesario determinar el número de intervalos a usar en la regla de Simpson: <math><=</math>'

Primero es necesario determinar el número de intervalos a usar en la regla de Simpson:
<math><=</math>

Ejercicios libres

2011-04-10T22:16:57Z

Anttofmor: /* Ejercicios */

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

== Ejercicios ==
* [[El factorial de 100]].
* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
* [[Definir y dibujar una función]].
* [[Obtener, mediante la regla del trapecio, el área de la función exp(x^2) entre 1 y 2 con un error menor a 0.001]].

Ejercicios libres

2011-04-10T22:11:28Z

Anttofmor: /* Ejercicios */

Ejercicios libres

2011-04-10T21:58:50Z

Anttofmor: /* Ejercicios */

Ejercicios libres

2011-04-10T21:55:03Z

Anttofmor: /* Ejercicios */

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-10T21:50:59Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.6. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-10T21:34:45Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.5. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-10T21:31:07Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.4. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-10T21:30:26Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-10T21:29:56Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.3. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-10T21:27:22Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.2. */

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-10T21:26:31Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.1. */

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-10T21:26:18Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.1. */

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-05T17:38:07Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.3 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento. 
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R. 
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-2,2],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
No sale la gráfica.

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-05T17:37:44Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.3 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que: 
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento.
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R.
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-2,2],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
No sale la gráfica.

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-05T17:33:02Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.3 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que:
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento.
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R.
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-2,2],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
No sale la gráfica.

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-05T16:37:31Z

Anttofmor: /* Ejercicio 1.3 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos compuesta por:
1. Un cociente entre funciones continuas en R, que sólo puede presentar problemas cuando se anula el denominador, que es precisamente en x=0.
2. Una función lineal, continua en R.
Por tanto, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
'f(x):= if x<0 then (e^x-1)/x elseif x>=0 a*x+b;
'limit(f(x), x, 0) = limit (f(x), x, 0);

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-2,2],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
No sale la gráfica.

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''