Software Libre para la Enseñanza y el Aprendizaje de las Matemáticas (2010-11) - Contribuciones del usuario [es]

Ejercicio Matrices

2011-05-03T23:13:45Z

Anaescdom:

'''Enunciado:'''
* Dadas las matrices A, B y C, calcular si es posible:
A=([2,-1],[3,2])
B=([0,1],[4,-2])
C=([1,3,5],[2,-1,1])

* a) A+B
* b) A*C
* c) C*B
* d) (2*A+B)*C

'''Solución:'''
* Definir la matriz A
(%i1) A:matrix([2,-1],[3,2]);
(%o1) matrix([2,-1],[3,2])

* Definir la matriz B
(%i2) B:matrix([0,1],[4,-2]);
(%o2) matrix([0,1],[4,-2])

* Definir la matriz C
(%i3) C:matrix([1,3,5],[2,-1,1]);
(%o3) matrix([1,3,5],[2,-1,1])

* a) Calcular la suma de las matrices A+B
(%i4) A+B;
(%o4) matrix([2,0],[7,0])

* b) Calcular el producto de las matrices A*C
(%i5) A.C;
(%o5) matrix([0,7,9],[7,7,17])

* c) Calcular el producto de las matrices C*B
(%i6)C.B;
El producto CB no se puede efectuar porque el número de columnas de C y el número de filas de B no coinciden

* d) Calcular (2*A+B)*C
(%i7)(2*A+B).C;
(%o7)matrix([2,13,19],[14,28,52])

Ejercicio Matrices

2011-05-03T23:13:19Z

Anaescdom:

'''Enunciado:'''
* Dadas las matrices A, B y C, calcular si es posible:
A=([2,-1],[3,2])
B=([0,1],[4,-2])
C=([1,3,5],[2,-1,1])

* a) A+B
* b) A*C
* c) C*B
* d) (2*A+B)*C

'''Solución:'''
* Definir la matriz A
(%i1) A:matrix([2,-1],[3,2]);
(%o1) matrix([2,-1],[3,2])

* Definir la matriz B
(%i2) B:matrix([0,1],[4,-2]);
(%o2) matrix([0,1],[4,-2])

* Definir la matriz C
(%i3) C:matrix([1,3,5],[2,-1,1]);
(%o3) matrix([1,3,5],[2,-1,1])

* a)Calcular la suma de las matrices A+B
(%i4) A+B;
(%o4) matrix([2,0],[7,0])

* b)Calcular el producto de las matrices A*C
(%i5) A.C;
(%o5) matrix([0,7,9],[7,7,17])

* c)Calcular el producto de las matrices C*B
(%i6)C.B;
El producto CB no se puede efectuar porque el número de columnas de C y el número de filas de B no coinciden

* d)Calcular (2*A+B)*C
(%i7)(2*A+B).C;
(%o7)matrix([2,13,19],[14,28,52])

Ejercicio Matrices

2011-05-03T23:12:07Z

Anaescdom: Página creada con ''''Enunciado:''' * Dadas las matrices A, B y C, calcular si es posible: A=([2,-1],[3,2]) B=([0,1],[4,-2]) C=([1,3,5],[2,-1,1]) a) A+B b) A*C c) C*B d) (2*A+B)*C '''Solució…'

'''Enunciado:'''
* Dadas las matrices A, B y C, calcular si es posible:
A=([2,-1],[3,2])
B=([0,1],[4,-2])
C=([1,3,5],[2,-1,1])

a) A+B
b) A*C
c) C*B
d) (2*A+B)*C

'''Solución:'''
* Definir la matriz A
(%i1) A:matrix([2,-1],[3,2]);
(%o1) matrix([2,-1],[3,2])

* Definir la matriz B
(%i2) B:matrix([0,1],[4,-2]);
(%o2) matrix([0,1],[4,-2])

* Definir la matriz C
(%i3) C:matrix([1,3,5],[2,-1,1]);
(%o3) matrix([1,3,5],[2,-1,1])

* a)Calcular la suma de las matrices A+B
(%i4) A+B;
(%o4) matrix([2,0],[7,0])

* b)Calcular el producto de las matrices A*C
(%i5) A.C;
(%o5) matrix([0,7,9],[7,7,17])

* c)Calcular el producto de las matrices C*B
El producto CB no se puede efectuar porque el número de columnas de C y el número de filas de B no coinciden

* d)Calcular (2*A+B)*C
(%i7)(2*A+B).C;
(%o7)matrix([2,13,19],[14,28,52])

Ejercicios libres

2011-05-03T22:52:40Z

Anaescdom: /* Ejercicios */

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

== Ejercicios ==
* [[El factorial de 100]].
* [[El factorial de cualquier número]].
* [[El Fibonacci de cualquier número]].
* [[Desarrollando potencias con Maxima]].
* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
* [[Definir y dibujar una función]].
* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].
* [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].
* [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].
* [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].
* [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].
* [[Problema 12 del proyecto Euler]].
* [[Problema 20 del proyecto Euler]].
* [[Estudio de una función]].
* [[Estudio de una función definida a trozos]].
* [[Número de puntos dentro del círculo de radio n]].
* [[Optimización de funciones]].
* [[Ejercicio de Selectividad SM2165]].
* [[Ejercicio de Selectividad Junio 2003 Matemáticas Aplicadas a las CCSS]].
* [[Ejercicio sobre matrices]].
* [[Ejercicio sobre integrales]].
* [[Ejercicio sobre derivadas]].
* [[Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas]].
* [[Ejercicio de Selectividad Junio 2001 Matemáticas Aplicadas a las CCSS]].
* [[Ejercicio de probabilidad elemental]].
* [[Resolver el sistema lineal de ecuaciones]]
* [[Calcular el área y volumen de una superficie de revolución: Toro]]
* [[Ejercicio de Selectividad Castilla-La Mancha Junio 2007]]
* [[Ejercicio Matrices]]

Archivo:Grafica función.JPG

2011-05-03T22:47:47Z

Anaescdom:

Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1

2011-05-03T22:46:59Z

Anaescdom:

'''Enunciado:'''
* Representar gráficamente la función f(x)=2*x^3-[(x^2)/2]-x+(5/27)

'''Solución:'''
* Definir la función
(%i1) f(x):=2*x^3-[(x^2)/2]-x+(5/27)
(%o1) f(x):=2*x^3-[x^2/2]-x+5/27

* Para poder representarla vamos a estudiar su derivada
(%i2) 'diff(f(x),x)=diff(f(x),x);
(%o2) 'diff([2*x^3-x^2/2-x+5/27],x,1)=[6*x^2-x-1]

* Igualando a cero resulta:(Resolver la ecuación (6*x^2-x-1=0))
(%i3) solve(6*x^2-x-1=0);
(%o3) [x=-1/3,x=1/2]

* Construimos una tabla para estudiar el signo de la derivada y conocer así donde crece y donde decrece y sus máximos y mínimos. Y sacamos que:
- Crece (- infinito, -1/3)
- Decrece (-1/3,1/2)
- Máximo (-1/3,7/18)
- Mínimo (1/2,41/216)

* También es obvio que:
(%i4)limit(f(x),x,-inf);
(%o4)[-inf]

(%i5)limit(f(x),x,inf);
(%o5)[+inf]

* La gráfica resultante es:
plot2d(f(x),[x,-2,2],[y,-2,2])$
(%i6) wxplot2d(f(x),[x,-2,2],[y,-2,2])$
[[Archivo:grafica función.JPG]]

Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1

2011-05-03T22:45:15Z

Anaescdom:

Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1

2011-05-03T22:39:14Z

Anaescdom:

Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1

2011-05-03T22:37:52Z

Anaescdom:

Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1

2011-05-03T22:27:03Z

Anaescdom:

Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1

2011-05-03T22:19:46Z

Anaescdom:

Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1

2011-05-03T22:17:35Z

Anaescdom:

Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1

2011-05-03T22:12:59Z

Anaescdom:

Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1

2011-05-03T21:58:55Z

Anaescdom:

'''Enunciado:'''
*

'''Solución:'''

Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1

2011-05-03T21:57:15Z

Anaescdom: Página creada con 'Representar gráficamente la función f(x)=2x^3-[(x^2)/2]-x+(5/27)]]'

Representar gráficamente la función f(x)=2x^3-[(x^2)/2]-x+(5/27)]]

Ejercicios de selectividad

2011-05-03T21:57:06Z

Anaescdom: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
# [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
# [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
# [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].
# [[Punto simétrico respecto de una recta]].
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectividad. Matemáticas II. Ejercicio 1.1.1]]

Ejercicios de selectividad

2011-05-03T21:56:33Z

Anaescdom: /* Ejercicios */

Ejercicios de selectividad

2011-05-03T21:54:52Z

Anaescdom: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
# [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
# [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
# [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].
# [[Punto simétrico respecto de una recta]].
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección]]
# [[Ejercicio de selectividad. Representar gráficamente la función f(x)=2x^3-[(x^2)/2]-x+(5/27)]]

Ejercicios de selectividad

2011-05-03T21:54:26Z

Anaescdom: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
# [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
# [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
# [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].
# [[Punto simétrico respecto de una recta]].
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección]]

# [[Ejercicio de selectividad. Representar gráficamente la función f(x)=2x^3-[(x^2)/2]-x+(5/27)]]

Ejercicios de selectividad

2011-05-03T21:54:03Z

Anaescdom: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
# [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
# [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
# [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].
# [[Punto simétrico respecto de una recta]].
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección]]
# [[Ejercicio de selectividad. Representar gráficamente la función f(x)=2x^3-[(x^2)/2]-x+(5/27)]]

Ejercicios de selectividad

2011-05-03T21:53:43Z

Anaescdom: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
# [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
# [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
# [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
# [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].
# [[Punto simétrico respecto de una recta]].
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.3.9 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.1.1 de la colección]]
# [[Ejercicio resuelto de Selectiviad. Ejercicio 1.2.4 de la colección]]
# [[Ejercicio de selectividad. Representar gráficamente la función f(x)=2x^3-[(x^2)/2]-x+(5/27)]].

Ejercicios de selectividad

2011-04-25T10:54:13Z

Anaescdom: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
* [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
* [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
* [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
* [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].

Representar gráficamente una función

2011-04-25T10:54:01Z

Anaescdom: Blanqueada la página

Representar gráficamente una función

2011-04-25T10:42:08Z

Anaescdom:

'''Enunciado'''
Representar gráficamente la función f(x)=2x^3-[(x^2)/2]-x+5/27
¿Cuántas raíces reales positivas tiene este polinomio?

'''Solución'''
Para poder representarla vamos a estudiar su derivada

Representar gráficamente una función

2011-04-25T10:37:13Z

Anaescdom:

'''Enunciado'''
Representar gráficamente la función f(x)=2x^3-[(x^2)/2]-x+5/27
¿Cuántas raíces reales positivas tiene este polinomio?

'''Solución'''

Representar gráficamente una función

2011-04-25T10:32:59Z

Anaescdom: Página creada con ''''Enunciado''' Representar gráficamente la función '''Solución''''

'''Enunciado'''
Representar gráficamente la función

'''Solución'''

Ejercicios de selectividad

2011-04-25T10:31:40Z

Anaescdom: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
* [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
* [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
* [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
* [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].
* [[Representar gráficamente una función]].

Ejercicios de selectividad

2011-04-25T10:31:02Z

Anaescdom: /* Ejercicios */

== Introducción ==
En esta sección se encuentran problemas de selectividad de Matemáticas resueltos con sistemas de software libre. Los enunciados de los problemas se encuentran en
* [http://www.selectividad.tv/matematicas/ Colección de Eduardo Ramos].
* [http://www.selectividad.profes.net/contsel_info.asp?id_categoria=30105&categoria=Estrategias+y+modelos+de+ex%E1menes+de+Matem%E1ticas Estrategias y modelos de exámenes de Matemáticas].
* [http://ieszurbaranbad.juntaextremadura.net/descargas/matematicas/A4.pdf Ejercicios resueltos de selectividad. Matemáticas II]

== Ejercicios ==
# [[Hallar la ecuación de una esfera conociendo uno de sus diámetros]].
# [[Intersección de una esfera y un plano]].
# [[Hallar el ángulo que forman una recta y un plano]].
# [[Continuidad y derivabilidad de una función definida a trozos]].
# [[Aplicación del teorema del Valor Medio]].
# [[Maximizar el área de un rectángulo inscrito en un semicírculo]].
# [[Límite cuando x tiende a infinito de ln(x+1) - ln(x) y de x(ln(x+1) - lnx)]].
# [[Calcular un determinante 4x4]].
# [[Planteamento y resolución de un sistema de ecuaciones]].
# [[Límite cuando x tiende a 1 de (1-cos(2*pi*x)/(x-1)^2]].
# [[Hallar el cuadrado y el círculo de área mínima que podemos obtener a partir de dos metros de alambre]].
* [[Ejercicio 2.1.3: Calcular todas las matrices X tales que AX + B = X, donde...]].
* [[Ejercicio 2.1.4: Calcular la matriz X tal que AX = B, donde...]].
* [[Ejercicio 2.2.15: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: x+2y−z=1, x+y−z=1, x−z=1]].
* [[Ejercicio 2.2.12: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: y-x=z, x-z=y, y+z=x]].
# [[Representar gráficamente una función]].

El factorial de 100

2011-04-20T10:26:22Z

Anaescdom:

'''Enunciado'''
Calcular el factorial de 100.
----

'''Solución'''

(%i3)100!;
(%o3) 933262154439441526816992388562[98 digits]916864000000000000000000000000

El factorial de 100

2011-04-20T10:26:02Z

Anaescdom:

'''Enunciado'''
Calcular el factorial de 100.
----

'''Solución'''
(%i3)100!;
(%o3) 933262154439441526816992388562[98 digits]916864000000000000000000000000

El factorial de 100

2011-04-20T10:25:34Z

Anaescdom:

'''Enunciado'''
Calcular el factorial de 100.
----

'''Solución'''
100!;
(%o3) 933262154439441526816992388562[98 digits]916864000000000000000000000000

Número de puntos dentro del círculo de radio n

2011-04-20T10:23:18Z

Anaescdom:

'''Enunciado'''

Definir la función círculo tal que circulo (n) es la cantidad de pares de números naturales (x,y) que se encuentran dentro del círculo de radio n.
Por ejemplo,
circulo (3)=9
circulo (4)=15
circulo (5)=22

'''Solución: '''
(%i2) circulo(n) := block([s:0],
for x:0 while x<n do
(for y:0 while x^2+y^2<n^2 do s:s+1),
s)$
(%i3) circulo (5);
(%o3) 22

Número de puntos dentro del círculo de radio n

2011-04-20T10:20:02Z

Anaescdom:

Número de puntos dentro del círculo de radio n

2011-04-20T10:19:46Z

Anaescdom:

Número de puntos dentro del círculo de radio n

2011-04-20T10:19:08Z

Anaescdom: Página creada con '"""Enunciado""" Definir la función círculo tal que circulo (n) es la cantidad de pares de números naturales (x,y) que se encuentran dentro del círculo de radio n. Por ejem…'

"""Enunciado"""

Definir la función círculo tal que circulo (n) es la cantidad de pares de números naturales (x,y) que se encuentran dentro del círculo de radio n.
Por ejemplo,
circulo (3)=9
circulo (4)=15
circulo (5)=22

"""Solución"""

Ejercicios libres

2011-04-20T10:16:01Z

Anaescdom: /* Ejercicios */

En esta sección se encuentran ejercicios libremente enunciado por los alumnos y resueltos con los sistemas de software libre.

== Ejercicios ==
* [[El factorial de 100]].
* [[Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0]].
* [[Resolver ecuaciones de segundo grado]].
* [[Definir y dibujar una función]].
* [[Obtener, mediante la regla de Simpson, el área de la función sqrt(1+x^2) entre 0 y 1 con un error menor a 0.001]].
* [[Definir una matriz, calcular su determinante, calcular para que valores de a la matriz es invertible y calcular su matriz inversa]].
* [[Calcular la distancia entre el punto P y la recta r]].
* [[Calcular la distancia entre las rectas r y s]].
* [[Calcular el ángulo entre los vectores v y w]].
* [[Problema 12 del proyecto Euler]].
* [[Problema 20 del proyecto Euler]].
* [[Estudio de una función]].
* [[Estudio de una función definida a trozos]].
* [[Número de puntos dentro del círculo de radio n]].

Ejercicios 5: Programación

2011-04-20T10:04:47Z

Anaescdom: /* Ejercicio 1.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''
(%i1) tangente(f,a):= block ([m],
m:at(diff(f(x),x),x=a),
y=ratsimp(f(a)+m*(x-a)))$
(%i2) (f(x):=x^3,tangente(f,2));
(%o2) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);
(%i3)(f(x)=ln(tan(abs(x))), tangente(f,-%pi/12));
(%o3)y=(18*%pi^2*x+%pi^3)/864

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''
media(n):=block([lista,k],
lista: []
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista: cons(k,lista))$
mean(lista))$

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''
Goldbach(n):=block([lista,k],
lista: [k],
for k from 2 thru n do
(if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''
goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista:[],
(if primep(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

Ejercicios 5: Programación

2011-04-20T10:01:50Z

Anaescdom: /* Ejercicio 1.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la función tangente tal que tangente(f,a) es la ecuación de la tangente a la función f en el punto de abscisa a. Por ejemplo,
(%i1) (f(x):=x^3, tangente(f,2));
(%o1) y=12*(x-2)+8

'''Solución:'''
(%i1) tangente(f,a):= block ([m],
m:at(diff(f(x),x),x=a),
y=ratsimp(f(a)+m*(x-a)))$
(%i2) (f(x):=x^3,tangente(f,2));
(%o2) y=12*x-16

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular la tangente a f(x)=ln(tan(|x|) en el punto de abscisa -pi/12.

'''Solución:'''
tangente(ln(tan(abs(x)),-%pi/12);

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir el procedimiento signosTrinomio tal que signosTrinomio(a,b,c) es la tabla de la variación de los signos del trinomio ax^2+bx+c. Por ejemplo,
(%i1) signosTrinomio(1,-2,1);
(%o1) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,inf],+]]
(%i2) signosTrinomio(-1,2,-1);
(%o2) [[[-inf,1],-],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i3) signosTrinomio(1,-3,2);
(%o3) [[[-inf,1],+],[1,0],[[1,2],-],[2,0],[[2,inf],+]]
(%i4) signosTrinomio(-1,3,-2);
(%o4) [[[-inf,2],-],[2,0],[[2,1],+],[1,0],[[1,inf],-]]
(%i5) signosTrinomio(1,0,1);
(%o5) [[[-inf,inf],+]]
(%i6) signosTrinomio(-1,0,-1);
(%o6) [[[-inf,inf],-]]
Se supone que a es distinto de cero.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular la tabla de la variación de los signos del trinomio -6x^2-3x+14/3

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Se lanza un dado cúbico equilibrado hasta que se obtiene la cara 6 por primera vez. Se designa por X la variable aleatorio que cuenta el número de lanzamientos efectuados. Se dice que X es el tiempo de espera del primer 6.

=== Ejercicio 3.1. ===
Definir el procedimiento X() que simule una serie de lanzamientos del dado y devuelva el número de lanzamientos realizados para obtener el 6 por
primera vez.

'''Solución:'''
X(n):=block(
if random(7)=6 print(“Se ha obtenido el valor 6”)
else n=n+1 print(n,”número de lanzamientos hasta el momento));

=== Ejercicio 3.2. ===
Con la ayuda del bucle for, definir el procedimiento simulacion(n) que simule una serie de n lanzamientos y devuelva la lista de frecuencia de los eventos [X=i] para 1 <= i <= 60. Por ejemplo,
(%i1) simulacion(1000);
(%o1) [0,145,115,104,88,61,65,53,51,50,40,28,30,29,27,13,21,18,10,6,8,4,9,3,
5,1,2,4,3,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0]

'''Solución:'''
simulación(n):=block([lista,k],
lista : [],
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 3.3. ===
Definir la función media tal que media(n) es el valor medio de X en n lanzamientos. Calcular tres veces media(1000).

'''Solución:'''
media(n):=block([lista,k],
lista: []
for k from 1 thru n do
(if random(k) then lista: cons(k,lista))$
mean(lista))$

== Ejercicio 4 ==

La conjetura de Goldbach afirma que todo número natural par mayor que 3 se puede escribir como la suma de dos números primos. Por ejemplo,
: 4 = 2 + 2, 20 = 3 + 17, 50 = 3 + 47

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función goldbach tal que goldbach(n) es una descomposición de n como suma de dos números primos. Por ejemplo,
(%i1) goldbach(20);
(%o1) [3,17]
Indicación: Iterar los primos desde x=2 hasta n/1 hasta que n-x sea primo.

'''Solución:'''
Goldbach(n):=block([lista,k],
lista: [k],
for k from 2 thru n do
(if primep(n-x) then lista: cons(k,lista)))

=== Ejercicio 4.2. ===
Descomponer 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Definir la función goldbachTodas tal que goldbachTodas(n) es la lista de todas las descomposiciones de n como suma de dos números primos x e y con x<=y. Por ejemplo,
(%i1) goldbachTodas(20);
(%o1) [[7,13],[3,17]]

'''Solución:'''
goldbachTodas(n):=block([lista,k],
lista:[],
(if primep(k) then lista : cons(k,lista)))$

=== Ejercicio 4.4. ===
Calcular el número de descomposiciones de 2010 como suma de dos primos.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-13T08:58:20Z

Anaescdom: /* Ejercicio 2.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(1);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i4) A(2);
(%o4) matrix([1,1,1],[0,1,2],[0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2\cr 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

(%i5) A(5);
(%o5) matrix([1,1,1,1,1,1],[0,1,2,3,4,5],[0,0,1,3,6,10],[0,0,0,1,4,10],[0,0,0,0,1,5],[0,0,0,0,0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\cr 0 & 0 & 1 & 3 & 6 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 10\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
X:[(a,b),(c,d)];

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
M:A.X-X.A;

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-13T08:55:18Z

Anaescdom: /* Ejercicio 2.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''
(%i3) A(a);
(%o3) matrix([1,1],[0,1])
\[\begin{pmatrix}1 & 1\cr 0 & 1\end{pmatrix}\]

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
X:[(a,b),(c,d)];

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
M:A.X-X.A;

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 6: Matrices con Maxima

2011-04-13T08:53:38Z

Anaescdom: /* Ejercicio 2.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
Definir la matriz

<math>
M_k =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
-1 & k & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
</math>

para <math>k \in \mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
Mk:matrix([2,-1,1],[-1,k,1],[1,1,2]);

=== Ejercicio 1.2. ===
Calcular el determinante de M(k).

'''Solución:'''
determinant(Mk);

=== Ejercicio 1.3. ===
Determinar los valores de k para los que M(k) es invertible.

'''Solución:'''
Los valores que harán invertible a la matriz serán todos aquellos para los cuales |A| sea distinto de 0. Mediante Maxima podemos determinar qué valores anulan el determinante:
solve(determinant(Mk)=0);
Esa operación nos dice que el determinante es 0 para k = 2, por tanto, para todo k distinto de 2, la matriz será invertible.

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular la inversa de M(k).

'''Solución:'''
invert(Mk);

=== Ejercicio 1.5. ===
Calcular los autovalores de M(k).

'''Solución:'''
En primer lugar hallaremos el polinomio característico de la matriz, es decir, el polinomio resultante de |A-xI|
charpoly(Mk,x);
Los autovalores serán las raíces de ese polinomio:
solve(%=0,x);
Aparece el autovalor 3 y otros dos autovalores que dependen del parámetro k.

=== Ejercicio 1.6. ===
Determinar los k para los que M(k) tien autovalores múltiples.
M(k) tendrá autovalores múltiples cuando los dos autovalores dependientes de k coincidan. Si igualamos las dos primeras componentes del resultado anterior (los dos autovalores dependientes de k), despejaremos el valor de k que hace doble el autovalor.
solve(%[1]=%[2],k);
Como la ecuación en k es de 2º grado, no tendremos un valor solución, sino dos. Según Maxima, esos valores son (1 + i * 2 * sqrt(2)) y (1 - i * 2 * sqrt(2)).

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir las matrices A(k) (para k en N) tales que A(k) es la matriz triangular superior de orden n+1 cuyo término general es

<math>
a_{i,j} =
\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{j-1}{i-1}, & \mbox{si } i \leq j \\
0, & \mbox{si } i > j
\end{array}
\right.
</math>

'''Solución:'''
(%i1) a[i,j] := if i <= j then binomial (j-1,i-1) else 0$
A(n) := genmatrix (a,n+1,n+1);
(%i2)
(%o2) A(n):=genmatrix(a,n+1,n+1)

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular las inversas de las matrices A(1), A(2) y A(5).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Conjeturar cuál es la inversa de A(n) y definirla como B(n).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.5. ===
Comprobar la conjetura para n entre 1 y 10.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
El objetivo de este ejercicio ed determinar las matrices cuadradas X de orden 2 que conmutan con la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

=== Ejercicio 3.1. ===
Escribir la matriz A definida por

<math>
\left(
\begin{array}{cc}
1 & -5 \\
-5 & 3
\end{array}
\right)
</math>

'''Solución:'''
A:[(1,-5),(-5,3)];

=== Ejercicio 3.2. ===
Definir la matriz X cuyos términos son a,b,c,d.

'''Solución:'''
X:[(a,b),(c,d)];

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular M = AX − XA

'''Solución:'''
M:A.X-X.A;

=== Ejercicio 3.4. ===
Resolver el sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas M=0.

Indicación: Antes de resolverlo, asignarle a la variable globalsolve el valor true.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.5. ===
Definir las matrices B que son soluciones de la ecuación M=0

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.6. ===
Comprobar que A y B conmutan.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-08T08:49:53Z

Anaescdom: /* Ejercicio 1.2. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],
[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-08T08:49:19Z

Anaescdom: /* Ejercicio 1.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-08T08:47:24Z

Anaescdom: /* Ejercicio 1.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],[18,f[18]],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Ejercicios 4: Sucesiones y recursión

2011-04-08T08:46:46Z

Anaescdom: /* Ejercicio 1.1. */

__NOTOC__
== Ejercicio 1 ==

=== Ejercicio 1.1. ===
La sucesión de Fibonacci está definida como

<math>
f(n) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0, & \mbox{si } n=0, \\
1, & \mbox{si } n=1, \\
f(n-1)+f(n-2), & \mbox{si }n>1
\end{array}
\right.
</math>

Definir f[n] como la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''
(%i1) f[0] : 0$
(%i2) f[1] : 1$
(%i3) f[n] : f[n-1]+f[n-2]$
(%i4) l1: makelist ([n,f[n]],n,0,20);
(%o4) [[0,0],[1,1],[2,f[2]],[3,f[3]],[4,f[4]],[5,f[5]],[6,f[6]],[7,f[7]],[8,f[8]],[9,f[9]],
[10,f[10]],[11,f[11]],[12,f[12]],[13,f[13]],[14,f[14]],[15,f[15]],[16,f[16]],[17,f[17]],[18,f[18],[19,f[19]],[20,f[20]]]

=== Ejercicio 1.2. ===
Definir la lista l1 cuyos elementos son los 20 primeros términos de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3. ===
Calcular el término que ocupa la posición 20 en la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.4. ===
Calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5. ===
Definir la sucesión g, que calcule el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci de forma iterativa, usando sólo dos variables: a y b. Usando la función g, calcular el término de posición 20 de la sucesión de Fibonacci.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.6. ===
Comprobar si se puede obtener el término 800 de la sucesión de Fibonacci mediante alguna de las dos funciones f ó g.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==

=== Ejercicio 2.1. ===
Definir s[n] como la suma de los n primeros términos de la sucesión (-1)^(k+1)/k!

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.2. ===
Calcular los valores exactos de s[1], s[2], s[5] y s[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.3. ===
Calcular los valores decimales aproximados de s[20] y s[50].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.4. ===
Cargar el paquete simplify_sum y calcular la suma de la serie s[n].

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==

Un banco presta un capital K al t por ciento aunual, que se reembolsa en N años, con anualidades x constante. Sea c[0]=K y sea c[n] el capital pendiente de pagar después de la n-ésima anualidad. Entonces,
: c[n+1] = (1+t)*c[n]-x

=== Ejercicio 3.1. ===
Expresar c[n] de manera explícita en función de n, K, t y x.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.2. ===
Se sabe que c[N]=0. Deducir el valor de x en función de K, t y N.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 3.3. ===
Calcular el importe de una anualidad, cuando K = 100000, t = 5,5% y N = 15.

'''Solución:'''

== Ejercicio 4 ==

=== Ejercicio 4.1. ===
Definir la función f(x) = x/(3-2x).

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.2. ===
Definir la sucesión u[n] tal que <math>u_0 = 2</math> y <math>u_{n+1} = f(u_n)</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.3. ===
Calcular u[1], u[2] y u[9].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.4. ===
Dibujar, en la misma gráfica, la función f, la recta de ecuación y=x y los puntos de coordenada (u[k],f(u[k])) para 0<=k<=15.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.5. ===
Conjeturar la monotonía de la sucesión u[n] y su limite.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.6. ===
Resolver la ecuación f(x)=x. Llamar a las raices a y b.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.7. ===
Definir la sucesión w[n] = (u[n]-a)/(u[n]-b)

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.8. ===
Calcular los 10 primeros términos de la sucesión w[n].

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.9. ===
Comprobar que w[n] es una progresión geométrica y calcular su razón.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 4.10. ===
Deducir la expresión de u[n] en función de n.

'''Solución:'''

Resolver la ecuación 3x^2-17x+10=0

2011-04-07T08:40:55Z

Anaescdom:

'''Enunciado'''
Resolver la ecuación 3x^2+17x+10=0.

'''Solución'''
(%o1) [x=-5,x=-2/3]

Archivo:Imagen ejercicio 3.5.jpg

2011-04-06T08:15:06Z

Anaescdom: grafica

grafica

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-06T08:14:44Z

Anaescdom: /* Ejercicio 3.5 */

__NOTOC__
'''Funciones a utilizar:''' ''if...then...else'', ''assume'', ''limit'', ''forget'', ''plot2d'', ''diff'', ''define'', ''solve'', ''trigexpand'', ''trigsimp'' y ''subst''.

== Ejercicio 1 ==
Sean <math>a</math> y <math>b</math> dos números reales. Se considera la función <math>f</math> definida sobre los números reales por
:<math>
f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
\dfrac{e^x-1}{x} &\mbox{si} & x>0\\
a\,x+b &\mbox{si} & x\leq 0
\end{array}
\right.
</math>

=== Ejercicio 1.1 ===
Definir la función <math>f</math> usando el condicional ''if ... then ... else''.

'''Solución:'''
(%i1)d(x):=if x>0 then (e^x-1)/x else ax+b;

== Ejercicio 1.2 ==
''limit'' no puede evaluar expresiones del tipo ''if...then''. Por ello, para determinar el límite de <math>f</math> en cero por la derecha se necesita precisar en qué intervalo se encuentra <math>x</math>. Esto puede hacerse con la función ''assume''.

Escribir la expresión ''assume(x>0)'', después calcular el límite de <math>f</math> en cero por la derecha. Se puede eliminar la hipótesis sobre <math>x</math> con ''forget(x>0)''.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.3 ===
Deducir el valor de <math>b</math> para el que <math>f</math> es continua en <math>\mathbb{R}</math>.

'''Solución:'''
f(x) se trata de una función a trozos tal que:<br/>
1. Para x > 0, f(x) es un cociente entre funciones continuas en R, por tanto, podrá presentar problemas de discontinuidad en los puntos en los que su denominador se anula, eso sólo ocurre para x=0, pero en ese punto, f(x) presenta otro comportamiento.<br/>
2. Para x<= 0, f(x) es una función lineal, y por tanto, continua en todo R.<br/>
Por consiguiente, el único punto en el que la función a trozos puede presentar problemas es donde cambia de criterio, en x = 0.
Para que f(x) sea continua en x = 0, deben ser iguales los límites laterales de la función en dicho punto:
solve(limit((exp(x)-1)/x,x,0)=limit(a*x+b,x,0));
Devolviéndonos que b = 1.

=== Ejercicio 1.4 ===
Calcular la derivada de <math>f</math> en cero por la derecha.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 1.5 ===
Calcular el valor de <math>a</math> para el que <math>f</math> es derivable en cero.

'''Solución:'''

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>g</math> la función real definida por <math>g(x) = 2x-\sqrt{1+x^2}</math>
(%i1)g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$

=== Ejercicio 2.1 ===
Calcular los límites de <math>g</math> en más y menos infinito.

'''Solución:'''
(%01) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2)$
(%02) limit(g(x),x,inf);
(%02) inf
(%03) limit(g(x),x,-inf);
(%03) -inf

<math> inf, -inf</math>

=== Ejercicio 2.2 ===
Dibujar la gráfica de la función <math>g</math>.

'''Solución:'''
(%o4) wxplot2d(g(x), [x,-2,2],[y,-3,3]);[gnuplot_preamble, "set grid "])$
plot2d: some values were clipped.
(%t05) << Graphics >>
No sale la gráfica.

=== Ejercicio 2.3 ===
Calcular <math>g'(x)</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2)diff(g(x),x);
(%02)2-x/sqrt(x^2+1);

=== Ejercicio 2.4 ===
Resolver la ecuación <math>g(x)=0</math>.

'''Solución:'''
(%i1) g(x):= 2*x-sqrt(1+x^2);
(%i2) g(0);
(%02) -1

=== Ejercicio 2.5 ===
Determinar los intervalos de crecimiento de <math>g</math>.

'''Solución:'''

=== Ejercicio 2.6 ===
Calcular las ecuaciones reducidas de las asíntotas de <math>g</math>.

'''Solución:'''

== Ejercicio 3 ==
=== Ejercicio 3.1 ===
Desarrollar <math>cos(3t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i1) trigexpand(cos(3*t));
(%o1) cos(t)^3-3*cos(t)*sin(t)^2
(%i2) trigsimp(%);
(%o2) 4*cos(t)^3-3*cos(t)

=== Ejercicio 3.2 ===
Desarrollar <math>cos(4t)</math> en función de <math>cos(t)</math>

'''Solución:'''

(%i3) trigexpand(cos(4*t));
(%o3) sin(t)^4-6*cos(t)^2*sin(t)^2+cos(t)^4
(%i4) trigsimp(%);
(%o4) 8*cos(t)^4-8*cos(t)^2+1

=== Ejercicio 3.3 ===
Desarrollar <math>cos(5t)</math> en función de <math>cos(t)</math>.

'''Solución:'''

(%i5) trigexpand(cos(5*t));
(%o5) 5*cos(t)*sin(t)^4-10*cos(t)^3*sin(t)^2+cos(t)^5
(%i6) trigsimp(%);
(%o6) 16*cos(t)^5-20*cos(t)^3+5*cos(t)

=== Ejercicio 3.4 ===
Determinar los polinomios <math>T_n</math> de la variable <math>x</math> tales que para todo <math>t \in \mathbb{R}</math>, <math>cos(nt) = T_n(cos\ t)</math> para <math>n \in \{3,4,5\}</math>.

'''Solución:'''
(%i12) T3(x) := 4*x^3-3*x;
(%o12) T3(x):=4*x^3-3*x
(%i13) T4(x) := 8*x^4-8*x^2+1;
(%o13) T4(x):=8*x^4-8*x^2+1
(%i14) T5(x) := 16*x^5-20*x^3+5*x;
(%o14) T5(x):=16*x^5-20*x^3+5*x

=== Ejercicio 3.5 ===
Representar las funciones <math>T_3</math>, <math>T_4</math> y <math>T_5</math> en la misma gráfica.

'''Solución:'''
--> plot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%i15) wxplot2d([T3(x),T4(x), T5(x)], [x,-1,1])$
(%t15)(sale el dibujo de la gráfica en Maxima)
[[Archivo:imagen ejercicio 3.5.jpg]]

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-06T08:12:10Z

Anaescdom: /* Ejercicio 3.5 */

Ejercicios 2: Funciones de una variable

2011-04-06T08:04:53Z

Anaescdom: /* Ejercicio 3.4 */