(* R2: Demostraciones por inducción en Coq *)
Require Export Basics Induction.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 1.1. Demostrar que
forall n:nat, n * 0 = 0.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem mult_0_r : forall n:nat,
n * 0 = 0.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 1.2. Demostrar que
forall n m : nat, S (n + m) = n + (S m).
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem plus_n_Sm : forall n m : nat,
S (n + m) = n + (S m).
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 1.3. Demostrar que
forall n m : nat, n + m = m + n.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem plus_comm : forall n m : nat,
n + m = m + n.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 1.4. Demostrar que
forall n m p : nat, n + (m + p) = (n + m) + p.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem plus_assoc : forall n m p : nat,
n + (m + p) = (n + m) + p.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Se considera la siguiente función que dobla su argumento.
Fixpoint double (n:nat) :=
match n with
| O => O
| S n' => S (S (double n'))
end.
Demostrar que
forall n, double n = n + n.
------------------------------------------------------------------ *)
Fixpoint double (n:nat) :=
match n with
| O => O
| S n' => S (S (double n'))
end.
Lemma double_plus : forall n, double n = n + n .
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar que
forall n : nat, evenb (S n) = negb (evenb n).
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem evenb_S : forall n : nat,
evenb (S n) = negb (evenb n).
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar, usando assert pero no induct,
forall n m p : nat, n + (m + p) = m + (n + p).
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem plus_swap : forall n m p : nat,
n + (m + p) = m + (n + p).
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar que la multiplicación es conmutativa.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem mult_comm : forall m n : nat,
m * n = n * m.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9.1. Demostrar que
forall n:nat, true = leb n n.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem leb_refl : forall n:nat,
true = leb n n.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9.2. Demostrar que
forall n:nat, beq_nat 0 (S n) = false.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem zero_nbeq_S : forall n:nat,
beq_nat 0 (S n) = false.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9.3. Demostrar que
forall b : bool, andb b false = false.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem andb_false_r : forall b : bool,
andb b false = false.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9.4. Demostrar que
forall n m p : nat, leb n m = true -> leb (p + n) (p + m) = true.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem plus_ble_compat_l : forall n m p : nat,
leb n m = true -> leb (p + n) (p + m) = true.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9.5. Demostrar que
forall n:nat, beq_nat (S n) 0 = false.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem S_nbeq_0 : forall n:nat,
beq_nat (S n) 0 = false.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9.6. Demostrar que
forall n:nat, 1 * n = n.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem mult_1_l : forall n:nat, 1 * n = n.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9.7. Demostrar que
forall b c : bool, orb (andb b c)
(orb (negb b)
(negb c))
= true.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem all3_spec : forall b c : bool,
orb
(andb b c)
(orb (negb b)
(negb c))
= true.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9.8. Demostrar que
forall n m p : nat, (n + m) * p = (n * p) + (m * p).
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem mult_plus_distr_r : forall n m p : nat,
(n + m) * p = (n * p) + (m * p).
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9.9. Demostrar que
forall n m p : nat, n * (m * p) = (n * m) * p.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem mult_assoc : forall n m p : nat,
n * (m * p) = (n * m) * p.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar que
forall n : nat, true = beq_nat n n.
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem beq_nat_refl : forall n : nat,
true = beq_nat n n.
Admitted.
(* ---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. La táctica replace permite especificar el subtérmino
que se desea reescribir y su sustituto: [replace (t) with (u)]
sustituye todas las copias de la expresión t en el objetivo por la
expresión u y añade la ecuación (t = u) como un nuevo subojetivo.
El uso de la táctica replace es especialmente útil cuando la táctica
rewrite actúa sobre una parte del objetivo que no es la que se desea.
Demostrar, usando la táctica replace y sin usar
[assert (n + m = m + n)], que
forall n m p : nat, n + (m + p) = m + (n + p).
------------------------------------------------------------------ *)
Theorem plus_swap' : forall n m p : nat,
n + (m + p) = m + (n + p).
Admitted.
