R3

chapter ‹R3: Razonamiento estructurado sobre programas›

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text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.1. Definir la función
     sumaImpares :: nat ⇒ nat
  tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
  impares. Por ejemplo,
     sumaImpares 5  =  25
  ------------------------------------------------------------------›

fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaImpares 0 = 0"
| "sumaImpares (Suc n) = sumaImpares n + (2*n+1)"

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.2. Escribir la demostración detallada de 
     sumaImpares n = n*n
  -------------------------------------------------------------------›

lemma "sumaImpares n = n*n"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.1. Definir la función
     sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
  tal que 
     (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
  Por ejemplo, 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16
  ------------------------------------------------------------------›

fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2"
| "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = 
      sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(n+1)"

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.2. Escribir la demostración detallada de 
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  -------------------------------------------------------------------›

lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.1. Definir la función
     copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     copia 3 x = [x,x,x]
  ------------------------------------------------------------------›

fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia 0 x       = []"
| "copia (Suc n) x = x # copia n x"

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.2. Definir la función
     todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
  la propiedad p. Por ejemplo,
     todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
     todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
  ------------------------------------------------------------------›

fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "todos p []     = True"
| "todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.2. Demostrar detalladamente que todos los elementos de
  (copia n x) son iguales a x. 
  -------------------------------------------------------------------›

lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.1. Definir la función
    factR :: nat ⇒ nat
  tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
    factR 4 = 24
  ------------------------------------------------------------------›

fun factR :: "nat ⇒ nat" where
  "factR 0       = 1"
| "factR (Suc n) = Suc n * factR n"

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.2. Se considera la siguiente definición iterativa de la
  función factorial 
     factI :: "nat ⇒ nat" where
     factI n = factI' n 1
     
     factI' :: nat ⇒ nat ⇒ nat" where
     factI' 0       x = x
     factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x
  Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene 
     factI' n x = x * factR n
  Indicación: La propiedad mult_Suc es 
     (Suc m) * n = n + m * n
  Puede que se necesite desactivarla en un paso con 
     (simp del: mult_Suc)
  -------------------------------------------------------------------›

fun factI' :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
  "factI' 0       x = x"
| "factI' (Suc n) x = factI' n (x * Suc n)"

fun factI :: "nat ⇒ nat" where
  "factI n = factI' n 1"

lemma fact: "factI' n x = x * factR n"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.3. Escribir la demostración detallada de
     factI n = factR n
  -------------------------------------------------------------------›

corollary "factI n = factR n"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5.1. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
     amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
  final de la lista xs. Por ejemplo,
     amplia [d,a] t = [d,a,t]
  ------------------------------------------------------------------›

fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "amplia []     y = [y]"
| "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5.2. Escribir la demostración detallada de
     amplia xs y = xs @ [y]
  -------------------------------------------------------------------›

lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
oops

end