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chapter ‹T11: Verificación de la ordenación por inserción›

theory T11_Verificacion_de_la_ordenacion_por_insercion
imports Main
begin

text ‹En este de tema se define el algoritmo de ordenación de listas 
  por inserción y se demuestra que es correcto.›

text ‹----------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1. Definir la función
     inserta :: int ⇒ int list ⇒ int list
  tal que (inserta a xs) es la lista obtenida insertando a delante del
  primer elemento de xs que es mayor o igual que a. Por ejemplo,
     inserta 3 [2,5,1,7] = [2,3,5,1,7]
  ------------------------------------------------------------------›

fun inserta :: "int ⇒ int list ⇒ int list" where
  "inserta a []     = [a]"
| "inserta a (x#xs) = (if a ≤ x 
                       then a # x # xs 
                       else x # inserta a xs)"

value "inserta 3 [2,5,1,7] = [2,3,5,1,7]"

text ‹----------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Definir la función
     ordena :: int list ⇒ int list
  tal que (ordena xs) es la lista obtenida ordenando xs por inserción. 
  Por ejemplo, 
     ordena [3,2,5,3] = [2,3,3,5]
  ------------------------------------------------------------------›

fun ordena :: "int list ⇒ int list" where
  "ordena []     = []"
| "ordena (x#xs) = inserta x (ordena xs)"

value "ordena [3,2,5,3] = [2,3,3,5]"

text ‹----------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Definir la función
     menor :: int ⇒ int list ⇒ bool
  tal que (menor a xs) se verifica si a es menor o igual que todos los
  elementos de xs.Por ejemplo,  
     menor 2 [3,2,5] = True
     menor 2 [3,0,5] = False
  ------------------------------------------------------------------›

fun menor :: "int ⇒ int list ⇒ bool" where
  "menor a []     = True"
| "menor a (x#xs) = (a ≤ x ∧ menor a xs)"

value "menor 2 [3,2,5] = True"
value "menor 2 [3,0,5] = False"

text ‹----------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Definir la función
     ordenada :: int list ⇒ bool
  tal que (ordenada xs) se verifica si xs es una lista ordenada de
  manera creciente. Por ejemplo,  
     ordenada [2,3,3,5] = True 
     ordenada [2,4,3,5] = False 
  ------------------------------------------------------------------›

fun ordenada :: "int list ⇒ bool" where
  "ordenada []     = True"
| "ordenada (x#xs) = (menor x xs ∧ ordenada xs)"

value "ordenada [2,3,3,5] = True" 
value "ordenada [2,4,3,5] = False" 

text ‹----------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Demostrar que si y es una cota inferior de zs y x ≤ y,
  entonces x es una cota inferior de zs.
  ------------------------------------------------------------------›

― ‹La demostración automática es›
lemma menor_menor: 
  assumes "x ≤ y"  
  shows   "menor y zs ⟶ menor x zs"
  using assms
  by (induct zs) auto

― ‹La demostración detallada es›
lemma menor_menor_2: 
  assumes "x ≤ y"  
  shows   "menor y zs ⟶ menor x zs"
proof (induct zs)
  show "menor y [] ⟶ menor x []"
    by (simp only: menor.simps(1) 
                   simp_thms(17))
next
  fix z zs
  assume HI: "menor y zs ⟶ menor x zs"  
  show "menor y (z # zs) ⟶ menor x (z # zs)"
  proof (rule impI)
    assume sup: "menor y (z # zs)"
    show "menor x (z # zs)"
    proof (simp only: menor.simps(2))
      show "x ≤ z ∧ menor x zs"
      proof (rule conjI)
        have "x ≤ y" 
          using assms 
          by this
        also have "y ≤ z" 
          using sup 
          by (simp only: menor.simps(2))
        finally show "x ≤ z" 
          by this
      next
        have "menor y zs" 
          using sup 
          by (simp only: menor.simps(2))
        with HI show "menor x zs" 
          by (rule mp)
      qed
    qed
  qed
qed

text ‹----------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Demostrar el siguiente teorema de corrección: x es una
  cota inferior de la lista obtenida insertando y en zs syss x ≤ y y x
  es una cota inferior de zs.
  ------------------------------------------------------------------›

― ‹La demostración automática es›
lemma menor_inserta:
  "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)"
  by (induct zs) auto

― ‹La demostración detallada es›
lemma menor_inserta_2: 
  "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)"
proof (induct zs)
  show "menor x (inserta y []) = (x ≤ y ∧ menor x [])"
    by (simp only: menor.simps(2)
                   inserta.simps(1))
next 
  fix z zs
  assume HI: "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)"
  show "menor x (inserta y (z#zs)) = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" 
  proof (cases "y ≤ z")
    assume "y ≤ z"
    then have "menor x (inserta y (z#zs)) = menor x (y#z#zs)" 
      by (simp only: inserta.simps(2)
                     if_True)
    also have "… = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" 
      by (simp only: menor.simps(2))
    finally show ?thesis 
      by this
  next
    assume "¬(y ≤ z)"
    then have "menor x (inserta y (z#zs)) = 
               menor x (z # inserta y zs)" 
      by (simp only: inserta.simps(2)
                     if_False)
    also have "… = (x ≤ z ∧ menor x (inserta y zs))" 
      by (simp only: menor.simps(2))
    also have "… = (x ≤ z ∧ (x ≤ y ∧ menor x zs))" 
      by (simp only: HI)
    also have "… = ((x ≤ z ∧ x ≤ y) ∧ menor x zs)"
      by (simp only: conj_assoc)
    also have "… = ((x ≤ y ∧ x ≤ z) ∧ menor x zs)"
      by (simp only: conj_commute)
    also have "… = (x ≤ y ∧ (x ≤ z ∧ menor x zs))"
      by (simp only: conj_assoc)
    also have "… = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))"
      by (simp only: menor.simps(2))
    finally show ?thesis 
      by this
  qed
qed

text ‹----------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Demostrar que al insertar un elemento la lista obtenida
  está ordenada syss lo estaba la original.
  ------------------------------------------------------------------›

― ‹La demostración automática es›
lemma 
  "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs"
  by (induct xs) (auto simp add: menor_menor menor_inserta)

― ‹La demostración estructurada es›
lemma 
  "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs"
proof (induct xs)
  case Nil
  then show ?case try
    by simp
next
  case (Cons a xs)
  then show ?case 
    using menor_inserta 
         menor_menor 
    by auto
qed

lemma ordenada_inserta:
  "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs"
proof (induct xs)
  show "ordenada (inserta a []) = ordenada []"
  proof -
    have "ordenada (inserta a []) = ordenada [a]"
      by (simp only: inserta.simps(1))
    also have "… = (menor a [] ∧ ordenada [])"
      by (simp only: ordenada.simps(2))
    also have "… = (True ∧ ordenada [])"
      by (simp only: menor.simps(1))
    also have "… = ordenada []"
      by (simp only: simp_thms(22))
    finally show ?thesis
      by this
  qed
next
  fix x xs
  assume HI: "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" 
  show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" 
  proof (cases "a ≤ x")
    assume "a ≤ x"
    then show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)"
      using menor_menor by auto
  next
    assume "¬(a ≤ x)"
    then have "ordenada (inserta a (x # xs)) = 
           ordenada (x # inserta a xs)" by simp
    also have "… = (menor x (inserta a xs) ∧ ordenada (inserta a xs))" 
      by simp
    also have "… = (menor x (inserta a xs) ∧ ordenada xs)" 
      using HI by simp
    also have "… = (menor x xs ∧ ordenada xs)" 
      using ‹¬(a ≤ x)› 
      by (simp add: menor_inserta)
    also have "… = ordenada (x # xs)" 
      by simp
    finally show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" 
      by simp
  qed
qed

text ‹---------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Demostrar que, para toda lista xs, (ordena xs) está
  ordenada. 
  ------------------------------------------------------------------›

― ‹La demostración automática es›
theorem 
  "ordenada (ordena xs)"
by (induct xs) (auto simp add: ordenada_inserta)

― ‹La demostración estructurada es›
theorem 
  "ordenada (ordena xs)"
proof (induct xs) 
  case Nil
  then show ?case 
    by simp
next
  case (Cons a xs)
  then show ?case 
    by (simp add: ordenada_inserta)
qed

theorem ordenada_ordena:
  "ordenada (ordena xs)"
proof (induct xs) 
  show "ordenada (ordena [])" by simp
next
  fix x xs
  assume "ordenada (ordena xs)" 
  then have "ordenada (inserta x (ordena xs))" 
    by (simp add: ordenada_inserta)  
  then show "ordenada (ordena (x # xs))" by simp
qed

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Nota. El teorema anterior no garantiza que ordena sea correcta, ya que
  puede que (ordena xs) no tenga los mismos elementos que xs. Por
  ejemplo, si se define (ordena xs) como [] se tiene que (ordena xs)
  está ordenada pero no es una ordenación de xs. 

  Para garantizarlo, definimos la función cuenta.
  ------------------------------------------------------------------›

text ‹----------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Definir la función
     cuenta :: int list ⇒ int ⇒ nat
  tal que (cuenta xs y) es el número de veces que aparece el elemento y
  en la lista xs. Por ejemplo, 
     cuenta [1,3,4,3,5] 3 = 2
  ------------------------------------------------------------------›

fun cuenta :: "int list ⇒ int ⇒ nat" where
  "cuenta []     y = 0"
| "cuenta (x#xs) y = (if x=y 
                      then Suc (cuenta xs y) 
                      else cuenta xs y)"

value "cuenta [1,3,4,3,5] 3 = 2"

text ‹----------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Demostrar que el número de veces que aparece y en 
  (inserta x xs) es 
  * uno más el número de veces que aparece en xs, si y = x; 
  * el número de veces que aparece en xs, si y ≠ x; 
  ------------------------------------------------------------------›

― ‹La demostración automática es›
lemma cuenta_inserta:
  "cuenta (inserta x xs) y =
   (if x=y then Suc (cuenta xs y) else cuenta xs y)"
  by (induct xs) auto

text ‹----------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar que el número de veces que aparece y en 
  (ordena xs) es el número de veces que aparece en xs.
  ------------------------------------------------------------------›

― ‹La demostración automática es›
theorem 
  "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y"
  by (induct xs) (auto simp add: cuenta_inserta)

― ‹La demostración estructurada es›
theorem 
  "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y"
proof (induct xs)
  case Nil
  then show ?case 
    by simp
next
  case (Cons a xs)
  then show ?case 
    by (simp add: cuenta_inserta)
qed

― ‹La demostración estructurada es›
theorem cuenta_ordena:
  "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y"
proof (induct xs)
  show "cuenta (ordena []) y = cuenta [] y" by simp
next
  fix x xs
  assume HI: "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y"
  show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" 
  proof (cases "x = y")
    assume "x = y"
    have "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (inserta x (ordena xs)) y" 
      by simp
    also have "… = Suc (cuenta (ordena xs) y)" using ‹x = y› 
      by (simp add: cuenta_inserta) 
    also have "… = Suc (cuenta xs y)" using HI by simp
    also have "… = cuenta (x # xs) y" using ‹x = y› by simp
    finally show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" by simp
  next
    assume "x ≠ y"
    have "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (inserta x (ordena xs)) y" 
      by simp
    also have "… = cuenta (ordena xs) y" using ‹x ≠ y› 
      by (simp add: cuenta_inserta) 
    also have "… = cuenta xs y" using HI by simp
    also have "… = cuenta (x # xs) y" using ‹x ≠ y› by simp
    finally show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" 
      by simp
  qed
qed

text ‹Para exportar el código Haskell de la función snoc se usa›

export_code ordena in Haskell 
  module_name OrdInsercion 
  file_prefix "CodigoGenerado/"
end
</source>