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chapter ‹9: Deducción natural de primer orden›

theory R9_Deduccion_natural_de_primer_orden
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text ‹Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas
  básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los
  cuantificadores y de la igualdad: 
  · conjI:      ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
  · conjunct1:  P ∧ Q ⟹ P
  · conjunct2:  P ∧ Q ⟹ Q  
  · notnotD:    ¬¬ P ⟹ P
  · mp:         ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q 
  · impI:       (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
  · disjI1:     P ⟹ P ∨ Q
  · disjI2:     Q ⟹ P ∨ Q
  · disjE:      ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R 
  · FalseE:     False ⟹ P
  · notE:       ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
  · notI:       (P ⟹ False) ⟹ ¬P
  · iffI:       ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
  · iffD1:      ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P 
  · iffD2:      ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
  · ccontr:     (¬P ⟹ False) ⟹ P

  · allI:       ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R
  · allE:       (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x
  · exI:        P x ⟹ ∃x. P x
  · exE:        ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q

  · refl:       t = t
  · subst:      ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t
  · trans:      ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t
  · sym:        s = t ⟹ t = s
  · not_sym:    t ≠ s ⟹ s ≠ t
  · ssubst:     ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t
  · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d
  · arg_cong:   x = y ⟹ f x = f y
  · fun_cong:   f = g ⟹ f x = g x
  · cong:       ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y
›

text ‹Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.›

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
  by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
  by auto

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1. Demostrar
       ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_1: 
  assumes "∀x. P x ⟶ Q x"
  shows   "(∀x. P x) ⟶ (∀x. Q x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Demostrar
       ∃x. ¬(P x) ⊢ ¬(∀x. P x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_2: 
  assumes "∃x. ¬(P x)"
  shows   "¬(∀x. P x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Demostrar
       ∀x. P x ⊢ ∀y. P y
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_3: 
  assumes "∀x. P x"
  shows   "∀y. P y"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Demostrar
       ∀x. P x ⟶ Q x ⊢ (∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_4: 
  assumes "∀x. P x ⟶ Q x"
  shows   "(∀x. ¬(Q x)) ⟶ (∀x. ¬ (P x))"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Demostrar
       ∀x. P x  ⟶ ¬(Q x) ⊢ ¬(∃x. P x ∧ Q x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_5: 
  assumes "∀x. P x  ⟶ ¬(Q x)"
  shows   "¬(∃x. P x ∧ Q x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Demostrar
       ∀x y. P x y ⊢ ∀u v. P u v
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_6: 
  assumes "∀x y. P x y"
  shows   "∀u v. P u v"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Demostrar
       ∃x y. P x y ⟹ ∃u v. P u v
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_7: 
  assumes "∃x y. P x y"
  shows   "∃u v. P u v"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Demostrar
       ∃x. ∀y. P x y ⊢ ∀y. ∃x. P x y
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_8: 
  assumes "∃x. ∀y. P x y"
  shows   "∀y. ∃x. P x y"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Demostrar
       ∃x. P a ⟶ Q x ⊢ P a ⟶ (∃x. Q x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_9: 
  assumes "∃x. P a ⟶ Q x"
  shows   "P a ⟶ (∃x. Q x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar
       P a ⟶ (∃x. Q x) ⊢ ∃x. P a ⟶ Q x 
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_10: 
  fixes P Q :: "'b ⇒ bool" 
  assumes "P a ⟶ (∃x. Q x)"
  shows   "∃x. P a ⟶ Q x"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Demostrar
       (∃x. P x) ⟶ Q a ⊢ ∀x. P x ⟶ Q a
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_11: 
  assumes "(∃x. P x) ⟶ Q a"
  shows   "∀x. P x ⟶ Q a"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 12. Demostrar
       ∀x. P x ⟶ Q a ⊢ ∃ x. P x ⟶ Q a
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_12: 
  assumes "∀x. P x ⟶ Q a"
  shows   "∃x. P x ⟶ Q a"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 13. Demostrar
       (∀x. P x) ∨ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P x ∨ Q x
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_13: 
  assumes "(∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)"
  shows   "∀x. P x ∨ Q x"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 14. Demostrar
       ∃x. P x ∧ Q x ⊢ (∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_14: 
  assumes "∃x. P x ∧ Q x"
  shows   "(∃x. P x) ∧ (∃x. Q x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 15. Demostrar
       ∀x y. P y ⟶ Q x ⊢ (∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_15: 
  assumes "∀x y. P y ⟶ Q x"
  shows   "(∃y. P y) ⟶ (∀x. Q x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 16. Demostrar
       ¬(∀x. ¬(P x)) ⊢ ∃x. P x
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_16: 
  assumes "¬(∀x. ¬(P x))"
  shows   "∃x. P x"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 17. Demostrar
       ∀x. ¬(P x) ⊢ ¬(∃x. P x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_17: 
  assumes "∀x. ¬(P x)"
  shows   "¬(∃x. P x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 18. Demostrar
       ∃x. P x ⊢ ¬(∀x. ¬(P x))
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_18: 
  assumes "∃x. P x"
  shows   "¬(∀x. ¬(P x))"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 19. Demostrar
       P a ⟶ (∀x. Q x) ⊢ ∀x. P a ⟶ Q x
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_19: 
  assumes "P a ⟶ (∀x. Q x)"
  shows   "∀x. P a ⟶ Q x"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 20. Demostrar
       {∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z, 
        ∀x. ¬(R x x)}
       ⊢ ∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_20: 
  assumes "∀x y z. R x y ∧ R y z ⟶ R x z"
          "∀x. ¬(R x x)" 
  shows   "∀x y. R x y ⟶ ¬(R y x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 21. Demostrar
     {∀x. P x ∨ Q x, ∃x. ¬(Q x), ∀x. R x ⟶ ¬(P x)} ⊢ ∃x. ¬(R x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_21:
  assumes "∀x. P x ∨ Q x" 
          "∃x. ¬(Q x)" 
          "∀x. R x ⟶ ¬(P x)"
  shows   "∃x. ¬(R x)" 
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 22. Demostrar
     {∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x, ¬(∃x. P x ∧ R x)} ⊢ ∀x. P x ⟶ Q x
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_22:
  assumes "∀x. P x ⟶ Q x ∨ R x" 
          "¬(∃x. P x ∧ R x)"
  shows   "∀x. P x ⟶ Q x"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 23. Demostrar
     ∃x y. R x y ∨ R y x ⊢ ∃x y. R x y
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_23:
  assumes "∃x y. R x y ∨ R y x"
  shows   "∃x y. R x y"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 24. Demostrar
       (∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_24: 
  "(∃x. ∀y. P x y) ⟶ (∀y. ∃x. P x y)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 25. Demostrar
       (∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_25: 
  "(∀x. P x ⟶ Q) ⟷ ((∃x. P x) ⟶ Q)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 26. Demostrar
       ((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_26: 
  "((∀x. P x) ∧ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∧ Q x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 27. Demostrar o refutar
       ((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_27: 
  "((∀x. P x) ∨ (∀x. Q x)) ⟷ (∀x. P x ∨ Q x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 28. Demostrar o refutar
       ((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_28: 
  "((∃x. P x) ∨ (∃x. Q x)) ⟷ (∃x. P x ∨ Q x)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 29. Demostrar o refutar
       (∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_29: 
  "(∀x. ∃y. P x y) ⟶ (∃y. ∀x. P x y)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 30. Demostrar o refutar
       (¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_30: 
  "(¬(∀x. P x)) ⟷ (∃x. ¬P x)"
oops

section ‹Ejercicios sobre igualdad›

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 31. Demostrar o refutar
       P a ⟹ ∀x. x = a ⟶ P x
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_31b:
  assumes "P a"
  shows   "∀x. x = a ⟶ P x"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 32. Demostrar o refutar
       ∃x y. R x y ∨ R y x; ¬(∃x. R x x)⟧ ⟹ ∃x y. x ≠ y
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_32:
  fixes R :: "'c ⇒ 'c ⇒ bool"
  assumes "∃x y. R x y ∨ R y x"
          "¬(∃x. R x x)"
  shows   "∃(x::'c) y. x ≠ y"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 33. Demostrar o refutar
     {∀x. P a x x, 
      ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)} 
     ⊢ P (f a) a (f a)
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_33:
  assumes "∀x. P a x x"
          "∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)"
  shows   "P (f a) a (f a)"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 34. Demostrar o refutar
     {∀x. P a x x, 
      ∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)⟧
     ⊢ ∃z. P (f a) z (f (f a))
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_34:
  assumes "∀x. P a x x" 
          "∀x y z. P x y z ⟶ P (f x) y (f z)"
  shows   "∃z. P (f a) z (f (f a))"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 35. Demostrar o refutar
     {∀y. Q a y, 
      ∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)} 
     ⊢ ∃z. Qa z ∧ Q z (s (s a))
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_35:
  assumes "∀y. Q a y" 
          "∀x y. Q x y ⟶ Q (s x) (s y)" 
  shows   "∃z. Q a z ∧ Q z (s (s a))"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 36. Demostrar o refutar
     {x = f x, odd (f x)} ⊢ odd x
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_36:
  "⟦x = f x; odd (f x)⟧ ⟹ odd x"
oops

text ‹--------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 37. Demostrar o refutar
     {x = f x, triple (f x) (f x) x} ⊢ triple x x x
  ------------------------------------------------------------------›

lemma ejercicio_37:
  "⟦x = f x; triple (f x) (f x) x⟧ ⟹ triple x x x"
oops

end
</source>