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chapter ‹R4: Cuantificadores sobre listas›

theory R4_Cuantificadores_sobre_listas
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  Ejercicio 1. Definir la función 
     todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de la lista 
  xs cumplen la propiedad p. Por ejemplo, se verifica 
     todos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[1,3]]
     ¬todos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[3]]

  Nota: La función todos es equivalente a la predefinida list_all. 
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fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "todos p xs = undefined"

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  Ejercicio 2. Definir la función 
     algunos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (algunos p xs) se verifica si algunos elementos de la lista 
  xs cumplen la propiedad p. Por ejemplo, se verifica 
     algunos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[3]]
     ¬algunos (λx. 1<length x) [[],[3]]"

  Nota: La función algunos es equivalente a la predefinida list_ex. 
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fun algunos  :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "algunos p xs = undefined"

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  Ejercicio 3.1. Demostrar o refutar automáticamente 
     todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)
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›

lemma "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
oops

text ‹
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  Ejercicio 3.2. Demostrar o refutar detalladamente
     todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
›

lemma "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
oops

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.1. Demostrar o refutar automáticamente
     todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)
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lemma "todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)"
oops

text ‹
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  Ejercicio 4.2. Demostrar o refutar detalladamente
     todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)
  --------------------------------------------------------------------- 
›

lemma todos_append:
  "todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)"
oops

text ‹
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  Ejercicio 5.1. Demostrar o refutar automáticamente 
     todos P (rev xs) = todos P xs
  --------------------------------------------------------------------- 
›

lemma "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5.2. Demostrar o refutar detalladamente
     todos P (rev xs) = todos P xs
  --------------------------------------------------------------------- 
›

lemma "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Demostrar o refutar:
    algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)
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›

lemma "algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)"
oops

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7.1. Demostrar o refutar automáticamente 
     algunos P (map f xs) = algunos (P ∘ f) xs
  --------------------------------------------------------------------- 
›

lemma "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
oops

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7.2. Demostrar o refutar datalladamente
     algunos P (map f xs) = algunos (P ∘ f) xs
  --------------------------------------------------------------------- 
›

lemma "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
oops

text ‹
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  Ejercicio 8.1. Demostrar o refutar automáticamente 
     algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)
  --------------------------------------------------------------------- 
›

lemma "algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8.2. Demostrar o refutar detalladamente
     algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)
  --------------------------------------------------------------------- 
›

lemma algunos_append:
  "algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9.1. Demostrar o refutar automáticamente
     algunos P (rev xs) = algunos P xs
  --------------------------------------------------------------------- 
›

lemma "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops

text ‹
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9.2. Demostrar o refutar detalladamente
     algunos P (rev xs) = algunos P xs
  --------------------------------------------------------------------- 
›

lemma "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops

text ‹
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  Ejercicio 10. Encontrar un término no trivial Z tal que sea cierta la 
  siguiente ecuación:
     algunos (λx. P x ∨ Q x) xs = Z
  y demostrar la equivalencia de forma automática y detallada.
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›

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  Ejercicio 11.1. Demostrar o refutar automáticamente
     algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)
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lemma "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops
     
text ‹
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  Ejercicio 11.2. Demostrar o refutar datalladamente
     algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)
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lemma "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops
     
text ‹
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  Ejercicio 12. Definir la funcion primitiva recursiva 
     estaEn :: 'a ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (estaEn x xs) se verifica si el elemento x está en la lista
  xs. Por ejemplo, 
     estaEn (2::nat) [3,2,4] = True
     estaEn (1::nat) [3,2,4] = False
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›

fun estaEn :: "'a ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "estaEn x xs = undefined"

text ‹
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  Ejercicio 13. Expresar la relación existente entre estaEn y algunos. 
  Demostrar dicha relación de forma automática y detallada.
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