Jalonso: Protegió «R4» ([Editar=Solo administradores] (indefinido) [Trasladar=Solo administradores] (indefinido))

2018-11-29T13:04:34Z

Protegió «R4» ([Editar=Solo administradores] (indefinido) [Trasladar=Solo administradores] (indefinido))

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chapter {* R4: Cuantificadores sobre listas *}

theory R4_Cuantificadores_sobre_listas
imports Main
begin

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir la función
todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de la lista
xs cumplen la propiedad p. Por ejemplo, se verifica
todos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[1,3]]
¬todos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[3]]

Nota: La función todos es equivalente a la predefinida list_all.
---------------------------------------------------------------------
*}

fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"todos p xs = undefined"

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Definir la función
algunos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (algunos p xs) se verifica si algunos elementos de la lista
xs cumplen la propiedad p. Por ejemplo, se verifica
algunos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[3]]
¬algunos (λx. 1<length x) [[],[3]]"

Nota: La función algunos es equivalente a la predefinida list_ex.
---------------------------------------------------------------------
*}

fun algunos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"algunos p xs = undefined"

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.1. Demostrar o refutar automáticamente
todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.2. Demostrar o refutar detalladamente
todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 4.1. Demostrar o refutar automáticamente
todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 4.2. Demostrar o refutar detalladamente
todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma todos_append:
"todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 5.1. Demostrar o refutar automáticamente
todos P (rev xs) = todos P xs
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 5.2. Demostrar o refutar detalladamente
todos P (rev xs) = todos P xs
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Demostrar o refutar:
algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 7.1. Demostrar o refutar automáticamente
algunos P (map f xs) = algunos (P ∘ f) xs
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 7.2. Demostrar o refutar datalladamente
algunos P (map f xs) = algunos (P ∘ f) xs
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 8.1. Demostrar o refutar automáticamente
algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 8.2. Demostrar o refutar detalladamente
algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma algunos_append:
"algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9.1. Demostrar o refutar automáticamente
algunos P (rev xs) = algunos P xs
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9.2. Demostrar o refutar detalladamente
algunos P (rev xs) = algunos P xs
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Encontrar un término no trivial Z tal que sea cierta la
siguiente ecuación:
algunos (λx. P x ∨ Q x) xs = Z
y demostrar la equivalencia de forma automática y detallada.
---------------------------------------------------------------------
*}

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 11.1. Demostrar o refutar automáticamente
algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 11.2. Demostrar o refutar datalladamente
algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)
---------------------------------------------------------------------
*}

lemma "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Definir la funcion primitiva recursiva
estaEn :: 'a ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (estaEn x xs) se verifica si el elemento x está en la lista
xs. Por ejemplo,
estaEn (2::nat) [3,2,4] = True
estaEn (1::nat) [3,2,4] = False
---------------------------------------------------------------------
*}

fun estaEn :: "'a ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"estaEn x xs = undefined"

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Expresar la relación existente entre estaEn y algunos.
Demostrar dicha relación de forma automática y detallada.
---------------------------------------------------------------------
*}

end
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