<source lang="isabelle">
chapter {* R2: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R2_Razonamiento_automatico_sobre_programas
imports Main
begin

declare [[names_short]]

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1.1. Definir la función
sumaImpares :: nat ⇒ nat
tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 5 = 25
------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 hugrubsan enrparalv gleherlop chrgencar *)
fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares 0 = 0" |
"sumaImpares n = 2*n-1 + sumaImpares (n-1)"

(* josgomrom4 marfruman1 benber *)
fun sumaImpares2 :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares2 0 = 0" |
"sumaImpares2 (Suc n) = 2*n + 1 + sumaImpares2 n"

value "sumaImpares2 1 = 1"
value "sumaImpares2 3 = 9"
value "sumaImpares2 5 = 25"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1.2. Demostrar que
sumaImpares n = n*n
------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod josgomrom4 hugrubsan enrparalv gleherlop benber chrgencar *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
apply (induction n)
apply auto
done

(* pabalagon *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
apply (induction n)
apply simp
apply simp
done

(* pabalagon *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
by (induction n) simp_all

(* alfmarcua raffergon2 marfruman1 *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
by (induction n) auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2.1. Definir la función
sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
tal que
(sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.
Por ejemplo,
sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16
------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon cammonagu chrgencar hugrubsan benber *)
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2" |
"sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) =
2^(n+1) + sumaPotenciasDeDosMasUno n"

(* juacanrod josgomrom4 marfruman1*)
fun sumaPotenciasDeDosMasUno2 :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno2 0 = 2" |
"sumaPotenciasDeDosMasUno2 (Suc n) =
2^(Suc n) + sumaPotenciasDeDosMasUno2 n"

(* alfmarcua raffergon2 enrparalv alikan *)
fun sumaPotenciasDeDosMasUno3 :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno3 0 = 2" |
"sumaPotenciasDeDosMasUno3 n = 2^n + sumaPotenciasDeDosMasUno3 (n-1)"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2.2. Demostrar que
sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
hugrubsan enrparalv benber chrgencar *)
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
apply (induction n)
apply auto
done

(* pabalagon *)
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
by (induction n) simp_all

(* marfruman1 *)
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
by (induct n) auto

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.1. Definir la función
copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
copia 3 x = [x,x,x]
------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon cammonagu josgomrom4 hugrubsan benber *)
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia 0 x = []" |
"copia (Suc n) x = x#copia n x"

(* juacanrod marfruman1 *)
fun copia2 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia2 0 x = []" |
"copia2 (Suc n) x = [x] @ copia2 n x"

(* alfmarcua raffergon2 enrparalv *)
fun copia3 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia3 0 x = []" |
"copia3 n x = x#(copia (n-1) x)"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.2. Definir la función
todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
la propiedad p. Por ejemplo,
todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
Nota: La conjunción se representa por ∧
----------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
marfruman1 hugrubsan enrparalv benber chrgencar *)
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"todos p [] = True" |
"todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.3. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
iguales a x.
------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
hugrubsan enrparalv benber *)
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
apply (induction n)
apply auto
done

(* Comentario: La demostración anterior falla para copia3. *)

(* pabalagon *)
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
by (induction n) simp_all

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4.1. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
final de la lista xs. Por ejemplo,
amplia [d,a] t = [d,a,t]
------------------------------------------------------------------ *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4
marfruman1 hugrubsan enrparalv benber chrgencar *)
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"amplia [] y = [y]" |
"amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4.2. Demostrar que
amplia xs y = xs @ [y]
------------------------------------------------------------------- *}

(* pabalagon cammonagu juacanrod alfmarcua raffergon2 josgomrom4 hugrubsan enrparalv benber chrgencar *)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
apply (induction xs)
apply auto
done

(* pabalagon *)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
by (induction xs) simp_all

(* marfruman1 *)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
by (induction xs) auto

end
</source>