Razonamiento automático (2017-18) Razonamiento automático (2017-18)

chapter {* T6a: Verificación de la ordenación por inserción *}

theory T6a_Verificacion_de_la_ordenacion_por_insercion
imports Main
begin

text {*
  En este de tema se define el algoritmo de ordenación de listas 
  por inserción y se demuestra que es correcto. *}

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1. Definir la función
     inserta :: int ⇒ int list ⇒ int list
  tal que (inserta a xs) es la lista obtenida insertando a delante del
  primer elemento de xs que es mayor o igual que a. Por ejemplo,
     inserta 3 [2,5,1,7] = [2,3,5,1,7]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun inserta :: "int ⇒ int list ⇒ int list" where
  "inserta a []     = [a]"
| "inserta a (x#xs) = (if a ≤ x 
                       then a # x # xs 
                       else x # inserta a xs)"

value "inserta 3 [2,5,1,7] = [2,3,5,1,7]"

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Definir la función
     ordena :: int list ⇒ int list
  tal que (ordena xs) es la lista obtenida ordenando xs por inserción. 
  Por ejemplo, 
     ordena [3,2,5,3] = [2,3,3,5]
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun ordena :: "int list ⇒ int list" where
  "ordena []     = []"
| "ordena (x#xs) = inserta x (ordena xs)"

value "ordena [3,2,5,3] = [2,3,3,5]"

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Definir la función
     menor :: int ⇒ int list ⇒ bool
  tal que (menor a xs) se verifica si a es menor o igual que todos los
  elementos de xs.Por ejemplo,  
     menor 2 [3,2,5] = True
     menor 2 [3,0,5] = False
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun menor :: "int ⇒ int list ⇒ bool" where
  "menor a []     = True"
| "menor a (x#xs) = (a ≤ x ∧ menor a xs)"

value "menor 2 [3,2,5] = True"
value "menor 2 [3,0,5] = False"

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Definir la función
     ordenada :: int list ⇒ bool
  tal que (ordenada xs) se verifica si xs es una lista ordenada de
  manera creciente. Por ejemplo,  
     ordenada [2,3,3,5] = True 
     ordenada [2,4,3,5] = False 
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun ordenada :: "int list ⇒ bool" where
  "ordenada []     = True"
| "ordenada (x#xs) = (menor x xs & ordenada xs)"

value "ordenada [2,3,3,5] = True" 
value "ordenada [2,4,3,5] = False" 

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Demostrar que si y es una cota inferior de zs y x ≤ y,
  entonces x es una cota inferior de zs.
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "La demostración automática es"
lemma menor_menor: 
  assumes "x ≤ y"  
  shows   "menor y zs ⟶ menor x zs"
using assms
by (induct zs) auto

-- "La demostración estructurada es"
lemma menor_menor_2: 
  assumes "x ≤ y"  
  shows   "menor y zs ⟶ menor x zs"
proof (induct zs)
  show "menor y [] ⟶ menor x []" by simp
next
  fix z zs
  assume HI: "menor y zs ⟶ menor x zs"  
  show "menor y (z # zs) ⟶ menor x (z # zs)"
  proof
    assume sup: "menor y (z # zs)"
    show "menor x (z # zs)"
    proof (simp only: menor.simps(2))
      show "x ≤ z ∧ menor x zs"
      proof
          have "x ≤ y" using assms .
          also have "y ≤ z" using sup by simp
          finally show "x ≤ z" .
      next
        have "menor y zs" using sup by simp
        with HI show "menor x zs" by simp
      qed
    qed
  qed
qed

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Demostrar el siguiente teorema de corrección: x es una
  cota inferior de la lista obtenida insertando y en zs syss x ≤ y y x
  es una cota inferior de zs.
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "La demostración automática es"
lemma menor_inserta:
  "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)"
by (induct zs) auto

-- "La demostración estructurada es"
lemma menor_inserta_2: 
  "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)"
proof (induct zs)
  show "menor x (inserta y []) = (x ≤ y ∧ menor x [])" by simp
next 
  fix z zs
  assume HI: "menor x (inserta y zs) = (x ≤ y ∧ menor x zs)"
  show "menor x (inserta y (z#zs)) = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" 
  proof (cases "y ≤ z")
    assume "y ≤ z"
    hence "menor x (inserta y (z#zs)) = menor x (y#z#zs)" by simp
    also have "… = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" by simp
    finally show ?thesis by simp
  next
    assume "¬(y ≤ z)"
    hence "menor x (inserta y (z#zs)) = 
           menor x (z # inserta y zs)" by simp
    also have "… = (x ≤ z ∧ menor x (inserta y zs))" by simp
    also have "… = (x ≤ z ∧ x ≤ y ∧ menor x zs)" using HI by simp
    also have "… = (x ≤ y ∧ menor x (z#zs))" by auto
    finally show ?thesis by simp
  qed
qed

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Demostrar que al insertar un elemento la lista obtenida
  está ordenada syss lo estaba la original.
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "La demostración automática es"
lemma ordenada_inserta:
  "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs"
by (induct xs) (auto simp add: menor_menor menor_inserta)

-- "La demostración estructurada es"
lemma ordenada_inserta_2:
  "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs"
proof (induct xs)
  show "ordenada (inserta a []) = ordenada []" by simp
next
  fix x xs
  assume HI: "ordenada (inserta a xs) = ordenada xs" 
  show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" 
  proof (cases "a ≤ x")
    assume "a ≤ x"
    hence "ordenada (inserta a (x # xs)) = 
           ordenada (a # x # xs)" by simp
    also have "… = (menor a (x#xs) ∧ ordenada (x # xs))" by simp
    also have "… = ordenada (x # xs)"  
      using `a ≤ x`  by (auto simp add: menor_menor)
    finally show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" 
      by simp
  next
    assume "¬(a ≤ x)"
    hence "ordenada (inserta a (x # xs)) = 
           ordenada (x # inserta a xs)" by simp
    also have "… = (menor x (inserta a xs) ∧ ordenada (inserta a xs))" 
      by simp
    also have "… = (menor x (inserta a xs) ∧ ordenada xs)" 
      using HI by simp
    also have "… = (menor x xs ∧ ordenada xs)" 
      using `¬(a ≤ x)` by (simp add: menor_inserta)
    also have "… = ordenada (x # xs)" by simp
    finally show "ordenada (inserta a (x # xs)) = ordenada (x # xs)" 
      by simp
  qed
qed

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Demostrar que, para toda lista xs, (ordena xs) está
  ordenada. 
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "La demostración automática es"
theorem ordenada_ordena:
  "ordenada (ordena xs)"
by (induct xs) (auto simp add: ordenada_inserta)

-- "La demostración estructurada es"
theorem ordenada_ordena_2:
  "ordenada (ordena xs)"
proof (induct xs) 
  show "ordenada (ordena [])" by simp
next
  fix x xs
  assume "ordenada (ordena xs)" 
  then have "ordenada (inserta x (ordena xs))" 
    by (simp add: ordenada_inserta)  
  then show "ordenada (ordena (x # xs))" by simp
qed

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Nota. El teorema anterior no garantiza que ordena sea correcta, ya que
  puede que (ordena xs) no tenga los mismos elementos que xs. Por
  ejemplo, si se define (ordena xs) como [] se tiene que (ordena xs)
  está ordenada pero no es una ordenación de xs. 

  Para garantizarlo, definimos la función cuenta.
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Definir la función
     cuenta :: int list ⇒ int ⇒ nat
  tal que (cuenta xs y) es el número de veces que aparece el elemento y
  en la lista xs. Por ejemplo, 
     cuenta [1,3,4,3,5] 3 = 2
  ------------------------------------------------------------------ *}

fun cuenta :: "int list ⇒ int ⇒ nat" where
  "cuenta []     y = 0"
| "cuenta (x#xs) y = (if x=y 
                      then Suc (cuenta xs y) 
                      else cuenta xs y)"

value "cuenta [1,3,4,3,5] 3 = 2"

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Demostrar que el número de veces que aparece y en 
  (inserta x xs) es 
  * uno más el número de veces que aparece en xs, si y = x; 
  * el número de veces que aparece en xs, si y ≠ x; 
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "La demostración automática es"
lemma cuenta_inserta:
  "cuenta (inserta x xs) y =
   (if x=y then Suc (cuenta xs y) else cuenta xs y)"
by (induct xs) auto

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar que el número de veces que aparece y en 
  (ordena xs) es el número de veces que aparece en xs.
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "La demostración automática es"
theorem cuenta_ordena:
  "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y"
by (induct xs) (auto simp add: cuenta_inserta)

-- "La demostración estructurada es"
theorem cuenta_ordena_2:
  "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y"
proof (induct xs)
  show "cuenta (ordena []) y = cuenta [] y" by simp
next
  fix x xs
  assume HI: "cuenta (ordena xs) y = cuenta xs y"
  show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" 
  proof (cases "x = y")
    assume "x = y"
    have "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (inserta x (ordena xs)) y" 
      by simp
    also have "… = Suc (cuenta (ordena xs) y)" using `x = y` 
      by (simp add: cuenta_inserta) 
    also have "… = Suc (cuenta xs y)" using HI by simp
    also have "… = cuenta (x # xs) y" using `x = y` by simp
    finally show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" by simp
  next
    assume "x ≠ y"
    have "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (inserta x (ordena xs)) y" 
      by simp
    also have "… = cuenta (ordena xs) y" using `x ≠ y` 
      by (simp add: cuenta_inserta) 
    also have "… = cuenta xs y" using HI by simp
    also have "… = cuenta (x # xs) y" using `x ≠ y` by simp
    finally show "cuenta (ordena (x # xs)) y = cuenta (x # xs) y" 
      by simp
  qed
qed

end