Relación 2

chapter {* R2: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R2_Razonamiento_automatico_sobre_programas
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begin

declare [[names_short]]

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.1. Definir la función
     sumaImpares :: nat ⇒ nat
  tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
  impares. Por ejemplo,
     sumaImpares 5  =  25
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* anddonram  edupalhid macmerflo luicedval rafcabgon jescudero
   davperriv diwu2 rafferrod *)  
fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaImpares 0 = 0"
| "sumaImpares (Suc n) = 2*(Suc n) - 1 + sumaImpares n" 

value "sumaImpares 5 = 25"

(* cesgongut *)
fun sumaImpares2 :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaImpares2 0 = 0" |
  "sumaImpares2 (Suc n) = 2*n + 1 + sumaImpares2 n"

value "sumaImpares2 5 = 25"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1.2. Demostrar que 
     sumaImpares n = n*n
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* anddonram edupalhid macmerflo luicedval rafcabgon davperriv diwu2
   jescudero rafferrod*) 
lemma "sumaImpares n = n*n"
  by(induct n) simp_all

(* cesgongut *)
lemma "sumaImpares2 n = n*n"
  apply (induct n) 
    apply simp
    apply simp
  done
  
text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.1. Definir la función
     sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
  tal que 
     (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
  Por ejemplo, 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* anddonram edupalhid macmerflo luicedval rafcabgon davperriv diwu2
   jescudero rafferrod cesgongut *) 
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
   "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 1 + 1"
 |  "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = 2^(Suc n) + sumaPotenciasDeDosMasUno n"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2.2. Demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* anddonram edupalhid macmerflo luicedval rafcabgon davperriv diwu2
   jescudero rafferrod cesgongut*) 
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
  by(induct n) simp_all

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.1. Definir la función
     copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     copia 3 x = [x,x,x]
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* anddonram edupalhid macmerflo luicedval rafcabgon davperriv diwu2
   jescudero rafferrod cesgongut *) 
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia 0 x = []"
| "copia (Suc n) x= x # copia n x"

value "copia 3 x = [x,x,x]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.2. Definir la función
     todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
  la propiedad p. Por ejemplo,
     todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
     todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
  Nota: La conjunción se representa por ∧
  ----------------------------------------------------------------- *}

(* anddonram luicedval macmerflo rafcabgon davperriv diwu2 rafferrod
   jescudero cesgongut *) 
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "todos p []     = True"
| "todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"

value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True"
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False"

(* edupalhid *)
fun todos2 :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "todos2 p []     = True" |
  "todos2 p (x#xs) = (if p x then todos2 p xs else False)"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3.3. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
  iguales a x. 
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* anddonram edupalhid luicedval macmerflo rafcabgon davperriv diwu2
   rafferrod jescudero cesgongut *) 
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  by (induct n) simp_all

lemma "todos2 (λy. y=x) (copia n x)"
  by (induct n) simp_all

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.1. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
     amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
  final de la lista xs. Por ejemplo,
     amplia [d,a] t = [d,a,t]
  ------------------------------------------------------------------ *}

(* anddonram edupalhid luicedval macmerflo rafcabgon davperriv diwu2
   rafferrod jescudero cesgongut *) 
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "amplia [] y     = [y]"
| "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"

value "amplia [d,a] t = [d,a,t]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4.2. Demostrar que 
     amplia xs y = xs @ [y]
  ------------------------------------------------------------------- *}

(* anddonram edupalhid luicedval macmerflo rafcabgon davperriv diwu2
   rafferrod jescudero cesgongut *) 
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
  by (induct xs) simp_all
 
end