Relación 3

2016-11-12T18:04:24Z

Migtermor:

Relación 2

2016-11-05T12:28:28Z

Migtermor:

<source lang="isar">
chapter {* R2: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R2_Razonamiento_automatico_sobre_programas
imports Main
begin

declare [[names_short]]

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1.1. Definir la función
sumaImpares :: nat ⇒ nat
tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 5 = 25
------------------------------------------------------------------ *}

(* ivamenjim wilmorort*)
fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares 0 = 0"
| "sumaImpares n = 2*(n-1) + 1 + sumaImpares (n-1)"

value "sumaImpares 5 = 25"

(* wilmorort *)

(*Notar: Por la propiedad de Gauss se puede deducir que:
la suma de los n números impares es igual a la suma de los
n y n-1 números consecutivos*)
fun suma :: "nat ⇒ nat" where
"suma 0 = 0"
| "suma n = n + suma(n-1)"

fun sumaImpares1 :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares1 0 = 0"
| "sumaImpares1 n = suma(n) + suma(n-1)"

value "sumaImpares1 5 = 25"

(* Comentario: La definición sumaImpares1 no es recursiva y, por tanto,
no es apropiada para demostraciones por inducción. *)

(* fraortmoy *)
fun sumaImpares2 :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares2 0 = 0"
| "sumaImpares2 (Suc(n)) = ((Suc(n)*2)-1) + sumaImpares2 n"

value "sumaImpares2 5 = 25"

(* anaprarod danrodcha crigomgom migtermor*)
fun sumaImpares3 :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares3 0 = 0"
|"sumaImpares3 (Suc n) = (2*n +1) + (sumaImpares3 n)"

value "sumaImpares3 5 = 25"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1.2. Demostrar que
sumaImpares n = n*n
------------------------------------------------------------------- *}

(* ivamenjim wilmorort anaprarod crigomgom *)
lemma "sumaImpares n = n*n"
apply (induct n)
apply auto
done

(* wilmorort *)
(* Demostración estructurada *)

lemma aux1 : "suma(Suc n) + suma(n) = (n+1) + suma(n) + n + suma(n-1)"
apply (induct n)
apply auto
done

lemma aux2: "(n+1) + suma(n) + n + suma(n-1) = (n+1) + n + sumaImpares1 n "
apply (induct n)
apply auto
done

lemma "sumaImpares1 n = n*n"
proof (induct n)
show "sumaImpares1 0 = 0*0" by simp
next
fix n
assume HI:"sumaImpares1 n = n*n"
have "sumaImpares1 (Suc n) = suma(Suc n) + suma(n)" by simp
have "suma(Suc n) + suma(n) = (n+1) + suma(n) + n + suma(n-1)" using
"aux1" by simp
also have "... = (n+1) + n + sumaImpares1 n " using "aux2" by simp
also have "... = 2*n +1 + n*n" using HI by simp
also have "... = (n+1)*(n+1)" by simp
finally show "sumaImpares1 (Suc n) = Suc n * Suc n" by simp
qed

(* fraortmoy *)
(* La demostración para la función sumaImpares2 es la misma que la de
sumaImpares*)

lemma "sumaImpares2 n = n*n"
apply (induct n)
apply auto
done

(* danrodcha migtermor*)
lemma "sumaImpares n = n*n"
by (induct n) auto

(* danrodcha *)
lemma "sumaImpares n = n*n" (is "?P n")
proof (induct n)
show "?P 0" by simp
next
fix n assume "?P n"
thus "?P (Suc n)" by simp
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2.1. Definir la función
sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
tal que
(sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.
Por ejemplo,
sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16
------------------------------------------------------------------ *}

(* wilmorort ivamenjim *)
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2"
| "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^n + sumaPotenciasDeDosMasUno (n-1)"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16"

(* fraortmoy anaprarod danrodcha crigomgom migtermor*)
fun sumaPotenciasDeDosMasUno2 :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno2 0 = 2"
| "sumaPotenciasDeDosMasUno2 (Suc(n)) =
(2^(Suc n)) + sumaPotenciasDeDosMasUno2 n"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno2 3 = 16"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2.2. Demostrar que
sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
------------------------------------------------------------------- *}

(* wilmorort ivamenjim fraortmoy anaprarod crigomgom*)
(* esta demostración funciona con sumaPotenciasDeDosMasUno2 *)

lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
apply (induct n)
apply auto
done

(* danrodcha migtermor*)
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
by (induct n) auto

(* danrodcha *)
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)" (is "?P n")
proof (induct n)
show "?P 0" by simp
next
fix n assume "?P n"
thus "?P (Suc n)"by simp
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.1. Definir la función
copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
copia 3 x = [x,x,x]
------------------------------------------------------------------ *}

(* ivamenjim wilmorort*)
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia 0 x = [] "
| "copia n x = x # (copia (n-1) x)"

(* wilmorort anaprarod *)
fun copia1 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia1 0 x = []"
| "copia1 (Suc n) x = [x] @ (copia1 n x) "

(* Comentario: La dedinición copia1 se puede simplificar eliminando @ *)

(* danrodcha crigomgom migtermor*)
fun copia2 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia2 0 x = []"
| "copia2 (Suc n) x = x # copia2 n x"

value "copia 3 x = [x,x,x]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.2. Definir la función
todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
la propiedad p. Por ejemplo,
todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
Nota: La conjunción se representa por ∧
----------------------------------------------------------------- *}

(* wilmorort *)
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"todos p [] = True"
| "todos p (x#xs) = (p x = True ∧ todos p xs) "

(* Comentario: La definición todos se puede simplificar eliminando True
*)

value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True"
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False"

(* fraortmoy anaprarod danrodcha crigomgom migtermor*)
fun todos1 :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"todos1 p [] = True"
| "todos1 p (x#xs) = (p x ∧ todos1 p xs )"

value "todos1 (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True"
value "todos1 (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.3. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
iguales a x.
------------------------------------------------------------------- *}
(*wilmorort fraortmoy anaprarod crigomgom*)

lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
apply (induct n)
apply auto
done

(* danrodcha*)
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
by (induct n) auto

(* danrodcha *)
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)" (is "?P n")
proof (induct n)
show "?P 0" by simp
next
fix n assume "?P n"
thus "?P (Suc n)" by simp
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4.1. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
final de la lista xs. Por ejemplo,
amplia [d,a] t = [d,a,t]
------------------------------------------------------------------ *}

(* wilmorort fraortmoy anaprarod crigomgom migtermor*)
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"amplia [] y = [y] "
| "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"

value "amplia [d,a] t = [d,a,t]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4.2. Demostrar que
amplia xs y = xs @ [y]
------------------------------------------------------------------- *}

(* wilmorort fraortmoy anaprarod crigomgom *)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
apply (induct xs)
apply auto
done

(* danrodcha migtermor*)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
by (induct xs) auto

(* danrodcha *)
lemma "amplia xs y = xs @ [y]" (is "?P xs")
proof (induct xs)
show "?P []" by simp
next
fix a xs assume "?P xs"
thus "?P (a#xs)" by simp
qed

end
</source>