Relación 3 - Historial de revisiones

Jospalhid en 23:57 21 dic 2015

2015-12-21T23:57:27Z

Jospalhid en 23:46 21 dic 2015

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Angfraalv en 20:29 21 dic 2015

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2015-12-14T16:06:39Z

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<source lang="isar">
header {* R3: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R3
imports Main
begin

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir la función
sumaImpares :: nat ⇒ nat
tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 5 = 25
------------------------------------------------------------------ *}

fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares n = undefined"

value "sumaImpares 5" -- "= 25"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar que
sumaImpares n = n*n
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "sumaImpares n = n*n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir la función
sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
tal que
(sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.
Por ejemplo,
sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16
------------------------------------------------------------------ *}

fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno n = undefined"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3" -- "= 16"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar que
sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Definir la función
copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
copia 3 x = [x,x,x]
------------------------------------------------------------------ *}

fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia n x = undefined"

value "copia 3 x" -- "= [x,x,x]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Definir la función
todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
la propiedad p. Por ejemplo,
todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
Nota: La conjunción se representa por ∧
----------------------------------------------------------------- *}

fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"todos p xs = undefined"

value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" -- "= True"
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4]" -- "= False"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
iguales a x.
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Definir la función
factR :: nat ⇒ nat
tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
factR 4 = 24
------------------------------------------------------------------ *}

fun factR :: "nat ⇒ nat" where
"factR n = undefined"

value "factR 4" -- "= 24"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Se considera la siguiente definición iterativa de la
función factorial
factI :: "nat ⇒ nat" where
factI n = factI' n 1

factI' :: nat ⇒ nat ⇒ nat" where
factI' 0 x = x
factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x
Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene
factI' n x = x * factR n
------------------------------------------------------------------- *}

fun factI' :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
"factI' 0 x = x"
| "factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x"

fun factI :: "nat ⇒ nat" where
"factI n = factI' n 1"

value "factI 4" -- "= 24"

lemma fact: "factI' n x = x * factR n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar que
factI n = factR n
------------------------------------------------------------------- *}

corollary "factI n = factR n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
final de la lista xs. Por ejemplo,
amplia [d,a] t = [d,a,t]
------------------------------------------------------------------ *}

fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"amplia xs y = undefined"

value "amplia [d,a] t" -- "= [d,a,t]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar que
amplia xs y = xs @ [y]
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
oops

end
</source>

@@ Línea 14: / Línea 14: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
---"angfraalv"
+--"angfraalv jospalhid"
 fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
     "sumaImpares 0       = 0" |
@@ Línea 26: / Línea 26: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
---"angfraalv"
+--"angfraalv jospalhid"
 lemma "sumaImpares n = n*n"
 proof (induct n)
@@ Línea 51: / Línea 51: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
---"angfraalv"
+--"angfraalv jospalhid"
 fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
    fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
@@ Línea 64: / Línea 64: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
---"angfraalv"
+--"angfraalv jospalhid"
 lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
 proof (induct n)
@@ Línea 86: / Línea 86: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
---"angfraalv"
+--"angfraalv jospalhid"
 fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
    "copia 0 _       = []" |
@@ Línea 103: / Línea 103: @@
    ----------------------------------------------------------------- *}
---"angfraalv"
+--"angfraalv jospalhid"
 fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
    "todos _ []     = True " |
@@ Línea 116: / Línea 116: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
---"angfraalv"
+--"angfraalv jospalhid"
 lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
 proof (induct n)
@@ Línea 135: / Línea 135: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
---"angfraalv"
+--"angfraalv jospalhid"
 fun factR :: "nat ⇒ nat" where
    "factR 0       = 1" |
@@ Línea 164: / Línea 164: @@
 value "factI 4" -- "= 24"
 lemma fact: "factI' n x = x * factR n"
-oops
+proof (induct n arbitrary: x)
 text {* ---------------------------------------------------------------
@@ Línea 172: / Línea 186: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
 corollary "factI n = factR n"
-oops
+by (simp add:fact)
 text {* ---------------------------------------------------------------
@@ Línea 183: / Línea 198: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
---"angfraalv"
+--"angfraalv jospalhid"
 fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
    "amplia [] y     = [y]" |
@@ Línea 194: / Línea 209: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
 lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
-oops
+proof (induct xs)
 end
 </source>

@@ Línea 157: / Línea 157: @@
 fun factI' :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
    "factI' 0       x = x"
-| "factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x"
+| "factI' (Suc n) x = factI' n ((Suc n)*x)"
 fun factI :: "nat ⇒ nat" where

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