Relación 2 - Historial de revisiones

Jalonso en 11:25 15 dic 2015

2015-12-15T11:25:25Z

Marsoldia2 en 23:28 14 dic 2015

2015-12-14T23:28:32Z

Jospalhid en 18:47 14 dic 2015

2015-12-14T18:47:08Z

Jospalhid en 18:45 14 dic 2015

2015-12-14T18:45:31Z

Angfraalv en 17:37 14 dic 2015

2015-12-14T17:37:22Z

Jalonso: Página creada con ' header {* R2: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL } theory R2 imports Main begin text { ------------------------------------------------------...'

2015-12-01T11:54:51Z

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Página nueva

<source lang="isar">
header {* R2: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R2
imports Main
begin

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir la función
sumaImpares :: nat ⇒ nat
tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 5 = 25
------------------------------------------------------------------ *}

fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares n = undefined"

value "sumaImpares 5" -- "= 25"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar que
sumaImpares n = n*n
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "sumaImpares n = n*n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir la función
sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
tal que
(sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.
Por ejemplo,
sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16
------------------------------------------------------------------ *}

fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno n = undefined"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3" -- "= 16"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar que
sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Definir la función
copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
copia 3 x = [x,x,x]
------------------------------------------------------------------ *}

fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia n x = undefined"

value "copia 3 x" -- "= [x,x,x]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Definir la función
todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
la propiedad p. Por ejemplo,
todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
Nota: La conjunción se representa por ∧
----------------------------------------------------------------- *}

fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"todos p xs = undefined"

value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" -- "= True"
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4]" -- "= False"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
iguales a x.
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Definir la función
factR :: nat ⇒ nat
tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
factR 4 = 24
------------------------------------------------------------------ *}

fun factR :: "nat ⇒ nat" where
"factR n = undefined"

value "factR 4" -- "= 24"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Se considera la siguiente definición iterativa de la
función factorial
factI :: "nat ⇒ nat" where
factI n = factI' n 1

factI' :: nat ⇒ nat ⇒ nat" where
factI' 0 x = x
factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x
Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene
factI' n x = x * factR n
------------------------------------------------------------------- *}

fun factI' :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
"factI' 0 x = x"
| "factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x"

fun factI :: "nat ⇒ nat" where
"factI n = factI' n 1"

value "factI 4" -- "= 24"

lemma fact: "factI' n x = x * factR n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar que
factI n = factR n
------------------------------------------------------------------- *}

corollary "factI n = factR n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
final de la lista xs. Por ejemplo,
amplia [d,a] t = [d,a,t]
------------------------------------------------------------------ *}

fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"amplia xs y = undefined"

value "amplia [d,a] t" -- "= [d,a,t]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar que
amplia xs y = xs @ [y]
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
oops

end
</source>

@@ Línea 27: / Línea 27: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
---"angfraalv"
+-- "angfraalv"
 lemma "sumaImpares n = n*n"
 by (induct n) simp_all
---"jospalhid marsoldia2"
+-- "jospalhid marsoldia2"
 lemma "sumaImpares n = n*n"
 by (induct n) auto
@@ Línea 60: / Línea 60: @@
 by (induct n) simp_all
---"jospalhid marsoldia2"
+-- "jospalhid marsoldia2"
 lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
 by (induct n) auto
@@ Línea 79: / Línea 79: @@
 value "copia 3 x" -- "= [x,x,x]"
---"jospalhid"
+-- "jospalhid"
 fun copia2 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
    "copia2 0 _       = []"|
-   "copia2 (Suc n) x = x#copia n x"
+   "copia2 (Suc n) x = x#copia2 n x"
 value "copia2 3 x" -- "=[x,x,x]"
@@ Línea 96: / Línea 96: @@
    ----------------------------------------------------------------- *}
---"angfraalv jospalhid marsoldia2"
+-- "angfraalv jospalhid marsoldia2"
 fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
    "todos _ []     = True " |
@@ Línea 109: / Línea 109: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
---"jospalhid marsoldia2"
+-- "jospalhid marsoldia2"
-lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
+lemma "todos (λy. y=x) (copia2 n x)"
 by (induct n) auto
@@ Línea 149: / Línea 149: @@
 value "factI 4" -- "= 24"
---"jospalhid"
+-- "jospalhid"
 lemma fact: "factI' n x = x * factR n"
 by (induct n arbitrary: x) auto
@@ Línea 158: / Línea 158: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
---"jospalhid"
+-- "jospalhid"
 corollary "factI n = factR n"
 by (simp add:fact)
@@ Línea 175: / Línea 175: @@
    "amplia (x#xs) y = x#(amplia xs y)"
---"jospalhid"
+-- "jospalhid"
 fun amplia2 :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
    "amplia2 [] y     = [y]"|
@@ Línea 187: / Línea 187: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
---"jospalhid"
+-- "jospalhid"
 lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
 by (induct xs) auto

@@ Línea 14: / Línea 14: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
--- "angfraalv jospalhid"
+-- "angfraalv jospalhid marsoldia2"
 fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
    "sumaImpares 0       = 0" |
@@ Línea 31: / Línea 31: @@
 by (induct n) simp_all
---"jospalhid"
+--"jospalhid marsoldia2"
 lemma "sumaImpares n = n*n"
 by (induct n) auto
@@ Línea 44: / Línea 44: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
--- "angfraalv jospalhid"
+-- "angfraalv jospalhid marsoldia2"
 fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
     "sumaPotenciasDeDosMasUno 0       = 2 " |
@@ Línea 60: / Línea 60: @@
 by (induct n) simp_all
---"jospalhid"
+--"jospalhid marsoldia2"
 lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
 by (induct n) auto
@@ Línea 72: / Línea 72: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
--- "angfraalv"
+-- "angfraalv marsoldia2"
 fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
    "copia 0       x = []" |
@@ Línea 96: / Línea 96: @@
    ----------------------------------------------------------------- *}
---"angfraalv jospalhid"
+--"angfraalv jospalhid marsoldia2"
 fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
    "todos _ []     = True " |
@@ Línea 109: / Línea 109: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
---"jospalhid"
+--"jospalhid marsoldia2"
 lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
 by (induct n) auto
@@ Línea 120: / Línea 120: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
---"angfraalv jospalhid"
+--"angfraalv jospalhid marsoldia2"
 fun factR :: "nat ⇒ nat" where
    "factR 0       = 1" |
@@ Línea 170: / Línea 170: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
--- "angfraalv"
+-- "angfraalv marsoldia2"
 fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
    "amplia []     y = y#[]" |

@@ Línea 177: / Línea 177: @@
 --"jospalhid"
 fun amplia2 :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
-   "amplia2 [] y = [y]"|
+   "amplia2 [] y     = [y]"|
    "amplia2 (x#xs) y = x#(amplia xs y)"

@@ Línea 14: / Línea 14: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
--- "angfraalv"
+-- "angfraalv jospalhid"
 fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
-   "sumaImpares 0 = 0" |
+   "sumaImpares 0       = 0" |
    "sumaImpares (Suc n) = ((2*(Suc n)) - 1) + sumaImpares n"
@@ Línea 30: / Línea 30: @@
 lemma "sumaImpares n = n*n"
 by (induct n) simp_all
 text {* ---------------------------------------------------------------
@@ Línea 40: / Línea 44: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
--- "angfraalv"
+-- "angfraalv jospalhid"
 fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
     "sumaPotenciasDeDosMasUno 0       = 2 " |
@@ Línea 55: / Línea 59: @@
 lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
 by (induct n) simp_all
 text {* ---------------------------------------------------------------
@@ Línea 70: / Línea 78: @@
 value "copia 3 x" -- "= [x,x,x]"
 text {* ---------------------------------------------------------------
@@ Línea 81: / Línea 96: @@
    ----------------------------------------------------------------- *}
---"angfraalv"
+--"angfraalv jospalhid"
 fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
    "todos _ []     = True " |
@@ Línea 94: / Línea 109: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
 lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
-oops
+by (induct n) auto
 text {* ---------------------------------------------------------------
@@ Línea 104: / Línea 120: @@
    ------------------------------------------------------------------ *}
---"angfraalv"
+--"angfraalv jospalhid"
 fun factR :: "nat ⇒ nat" where
    "factR 0       = 1" |
-   "factR (Suc n) = (Suc n)*(factR n)"
+   "factR (Suc n) = Suc n * factR n"
 value "factR 4" -- "= 24"
@@ Línea 133: / Línea 149: @@
 value "factI 4" -- "= 24"
 lemma fact: "factI' n x = x * factR n"
-oops
+by (induct n arbitrary: x) auto
 text {* ---------------------------------------------------------------
@@ Línea 141: / Línea 158: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
 corollary "factI n = factR n"
-oops
+by (simp add:fact)
 text {* ---------------------------------------------------------------
@@ Línea 156: / Línea 174: @@
    "amplia []     y = y#[]" |
    "amplia (x#xs) y = x#(amplia xs y)"
 value "amplia [d,a] t" -- "= [d,a,t]"
@@ Línea 164: / Línea 187: @@
    ------------------------------------------------------------------- *}
 lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
-oops
+by (induct xs) auto
 end
 </source>