Razonamiento automático (2015-16) - Contribuciones del usuario [es]

Relación 3

2015-12-21T20:29:04Z

Angfraalv:

<source lang="isar">
header {* R3: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R3
imports Main
begin

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir la función
sumaImpares :: nat ⇒ nat
tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 5 = 25
------------------------------------------------------------------ *}

--"angfraalv"
fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares 0 = 0" |
"sumaImpares (Suc n) = ((2*(Suc n)) - 1) + sumaImpares n"

value "sumaImpares 5" -- "= 25"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar que
sumaImpares n = n*n
------------------------------------------------------------------- *}

--"angfraalv"
lemma "sumaImpares n = n*n"
proof (induct n)
show "sumaImpares 0 = 0*0" by simp
next
fix n
assume HI: "sumaImpares n = n*n"
have "sumaImpares (Suc n) = ((2*(Suc n)) - 1) + sumaImpares n"
by simp
also have "... = ((2*(Suc n)) - 1) + n*n " using HI by simp
also have "... = (Suc n) + (Suc n) + (n*n) - 1" by simp
also have "... = (Suc n) + n + (n*n)" by simp
also have "... = (Suc n) + ((Suc n)*n)" by simp
finally show "sumaImpares (Suc n) = (Suc n)*(Suc n)" by simp
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir la función
sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
tal que
(sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.
Por ejemplo,
sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16
------------------------------------------------------------------ *}

--"angfraalv"
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2 " |
"sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(Suc n)"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3" -- "= 16"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar que
sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
------------------------------------------------------------------- *}

--"angfraalv"
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
proof (induct n)
show "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2^(0+1)" by simp
next
fix n
assume HI: "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
have "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(Suc n)"
by simp
also have "... = 2^(n+1) + 2^(Suc n)" using HI by simp
also have "... = 2*(2^(Suc n))" by simp
finally show "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = 2^((Suc n)+1)" by simp
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Definir la función
copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
copia 3 x = [x,x,x]
------------------------------------------------------------------ *}

--"angfraalv"
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia 0 _ = []" |
"copia (Suc n) x = x#copia n x"

value "copia 3 x" -- "= [x,x,x]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Definir la función
todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
la propiedad p. Por ejemplo,
todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
Nota: La conjunción se representa por ∧
----------------------------------------------------------------- *}

--"angfraalv"
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"todos _ [] = True " |
"todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"

value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" -- "= True"
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4]" -- "= False"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
iguales a x.
------------------------------------------------------------------- *}

--"angfraalv"
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
proof (induct n)
show "todos (λy. y=x) (copia 0 x)" by simp
next
fix n
assume HI: "todos (λy. y=x) (copia n x)"
have "todos (λy. y=x) (copia (Suc n) x) = (((λy. y=x) x) ∧ (todos (λy. y=x) (copia n x)))" by simp
also have "... = (todos (λy. y=x) (copia n x)) " by simp
finally show " todos (λy. y=x) (copia (Suc n) x)" using HI by auto
qed

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Definir la función
factR :: nat ⇒ nat
tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
factR 4 = 24
------------------------------------------------------------------ *}

--"angfraalv"
fun factR :: "nat ⇒ nat" where
"factR 0 = 1" |
"factR (Suc n) = Suc n * factR n"

value "factR 4" -- "= 24"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Se considera la siguiente definición iterativa de la
función factorial
factI :: "nat ⇒ nat" where
factI n = factI' n 1

factI' :: nat ⇒ nat ⇒ nat" where
factI' 0 x = x
factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x
Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene
factI' n x = x * factR n
------------------------------------------------------------------- *}

fun factI' :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
"factI' 0 x = x"
| "factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x"

fun factI :: "nat ⇒ nat" where
"factI n = factI' n 1"

value "factI 4" -- "= 24"

lemma fact: "factI' n x = x * factR n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar que
factI n = factR n
------------------------------------------------------------------- *}

corollary "factI n = factR n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
final de la lista xs. Por ejemplo,
amplia [d,a] t = [d,a,t]
------------------------------------------------------------------ *}

--"angfraalv"
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"amplia [] y = [y]" |
"amplia (x#xs) y = x#(amplia xs y)"
value "amplia [d,a] t" -- "= [d,a,t]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar que
amplia xs y = xs @ [y]
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
oops

end
</source>

Relación 2

2015-12-14T17:37:22Z

Angfraalv:

<source lang="isar">
header {* R2: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R2
imports Main
begin

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir la función
sumaImpares :: nat ⇒ nat
tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 5 = 25
------------------------------------------------------------------ *}

-- "angfraalv"
fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares 0 = 0" |
"sumaImpares (Suc n) = ((2*(Suc n)) - 1) + sumaImpares n"

value "sumaImpares 5" -- "= 25"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar que
sumaImpares n = n*n
------------------------------------------------------------------- *}

--"angfraalv"
lemma "sumaImpares n = n*n"
by (induct n) simp_all

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir la función
sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
tal que
(sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.
Por ejemplo,
sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16
------------------------------------------------------------------ *}

-- "angfraalv"
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2 " |
"sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(Suc n)"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3" -- "= 16"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar que
sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
------------------------------------------------------------------- *}

-- "angfraalv"
lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
by (induct n) simp_all

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Definir la función
copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
copia 3 x = [x,x,x]
------------------------------------------------------------------ *}

-- "angfraalv"
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia 0 x = []" |
"copia (Suc n) x = (copia n x)@[x]"

value "copia 3 x" -- "= [x,x,x]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Definir la función
todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
la propiedad p. Por ejemplo,
todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
Nota: La conjunción se representa por ∧
----------------------------------------------------------------- *}

--"angfraalv"
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"todos _ [] = True " |
"todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"

value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" -- "= True"
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4]" -- "= False"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
iguales a x.
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Definir la función
factR :: nat ⇒ nat
tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
factR 4 = 24
------------------------------------------------------------------ *}

--"angfraalv"
fun factR :: "nat ⇒ nat" where
"factR 0 = 1" |
"factR (Suc n) = (Suc n)*(factR n)"

value "factR 4" -- "= 24"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Se considera la siguiente definición iterativa de la
función factorial
factI :: "nat ⇒ nat" where
factI n = factI' n 1

factI' :: nat ⇒ nat ⇒ nat" where
factI' 0 x = x
factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x
Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene
factI' n x = x * factR n
------------------------------------------------------------------- *}

fun factI' :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
"factI' 0 x = x"
| "factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x"

fun factI :: "nat ⇒ nat" where
"factI n = factI' n 1"

value "factI 4" -- "= 24"

lemma fact: "factI' n x = x * factR n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar que
factI n = factR n
------------------------------------------------------------------- *}

corollary "factI n = factR n"
oops

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
final de la lista xs. Por ejemplo,
amplia [d,a] t = [d,a,t]
------------------------------------------------------------------ *}

-- "angfraalv"
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"amplia [] y = y#[]" |
"amplia (x#xs) y = x#(amplia xs y)"

value "amplia [d,a] t" -- "= [d,a,t]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar que
amplia xs y = xs @ [y]
------------------------------------------------------------------- *}

lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
oops

end
</source>

Relación 1

2015-11-29T22:26:28Z

Angfraalv:

<source lang="isar">
header {* R1: Programación funcional en Isabelle *}

theory R1
imports Main
begin

text {* ----------------------------------------------------------------
Ejercicio 0. Definir, por recursión, la función
factorial :: nat ⇒ nat
tal que (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo,
factorial 4 = 24
------------------------------------------------------------------- *}

fun factorial :: "nat ⇒ nat" where --"jospalhid","angfraalv"
"factorial 0 = 1" |
"factorial (Suc n) = Suc n * factorial n"

value "factorial 4" -- "24"

text {* ----------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función
longitud :: 'a list ⇒ nat
tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,
longitud [4,2,5] = 3
------------------------------------------------------------------- *}

fun longitud :: "'a list ⇒ nat" where --"jospalhid"
"longitud [] = 0" |
"longitud xs = 1 + longitud (tl xs)"

value "longitud [4,2,5]" -- "= 3"

fun longitud :: "'a list ⇒ nat" where --"angfraalv"
"longitud [] = 0" |
"longitud (x#xs) = 1 + longitud xs"

value "longitud [4,2,5]" -- "= 3"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Definir la función
fun intercambia :: 'a × 'b ⇒ 'b × 'a
tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las
componentes del par p. Por ejemplo,
intercambia (u,v) = (v,u)
------------------------------------------------------------------ *}

fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a" where --"jospalhid","angfraalv"
"intercambia (x,y) = (y,x)"

value "intercambia (u,v)" -- "= (v,u)"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir, por recursión, la función
inversa :: 'a list ⇒ 'a list
tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los
elementos de xs. Por ejemplo,
inversa [a,d,c] = [c,d,a]
------------------------------------------------------------------ *}

fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where --"jospalhid","angfraalv"
-- "se pude usar rev xs para invertir la lista directamente"
"inversa [] = []" |
"inversa xs = last xs # inversa (butlast xs)"

value "inversa [a,d,c]" -- "= [c,d,a]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Definir la función
repite :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (repite n x) es la lista formada por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
repite 3 a = [a,a,a]
------------------------------------------------------------------ *}

fun repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where --"jospalhid","angfraalv"
"repite 0 x = []" |
"repite (Suc n) x = x#(repite n x)"

value "repite 3 a" -- "= [a,a,a]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Definir la función
conc :: 'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list
tal que (conc xs ys) es la concatención de las listas xs e ys. Por
ejemplo,
conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c]
------------------------------------------------------------------ *}

fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where --"jospalhid"
"conc [] [] = []" |
"conc [] ys = ys" |
"conc xs [] = xs" |
"conc xs ys = hd xs # conc (tl xs) ys"

value "conc [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]"

fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where --"angfraalv"
"conc [] [] = []" |
"conc xs [] = xs" |
"conc [] ys = ys" |
"conc (x#xs) ys = x#(conc xs ys)"

value "conc [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Definir la función
coge :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list
tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por
ejemplo,
coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c]
------------------------------------------------------------------ *}

fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where --"jospalhid"
"coge 0 xs = []" |
"coge n [] = []" |
"coge (Suc n) xs = hd xs#coge n (tl xs)"

value "coge 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c]"

fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where --"angfraalv"
"coge 0 xs = []" |
"coge (Suc n) [] = []" |
"coge (Suc n) (x#xs) = x#(coge n xs)"

value "coge 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Definir la función
elimina :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list
tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando los n primeros
elementos de xs. Por ejemplo,
elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e]
------------------------------------------------------------------ *}

fun elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where --"jospalhid"
"elimina 0 xs = xs" |
"elimina n [] = []" |
"elimina (Suc n) xs = elimina n (tl xs)"

value "elimina 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [d,b,e]"

fun elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where --"angfraalv"
"elimina n xs = inversa (coge (((length xs) - n)::nat) (inversa xs))"

value "elimina 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [d,b,e]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Definir la función
esVacia :: 'a list ⇒ bool
tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo,
esVacia [] = True
esVacia [1] = False
------------------------------------------------------------------ *}

fun esVacia :: "'a list ⇒ bool" where --"jospalhid","angfraalv"
"esVacia [] = True" |
"esVacia xs = False"

value "esVacia []" -- "= True"
value "esVacia [1]" -- "= False"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Definir la función
inversaAc :: 'a list ⇒ 'a list
tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando
acumuladores. Por ejemplo,
inversaAc [a,c,b,e] = [e,b,c,a]
------------------------------------------------------------------ *}

fun inversaAcAux :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where --"angfraalv"
--no se si he entendido bien la idea de acumular, pero funciona
"inversaAcAux xs ys = conc ys xs "

fun inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list" where
"inversaAc [] = []" |
"inversaAc (x#xs) = inversaAcAux [x] (inversaAc xs)"

value "inversaAc [a,c,b,e]" -- "= [e,b,c,a]"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Definir la función
sum :: nat list ⇒ nat
tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo,
sum [3,2,5] = 10
------------------------------------------------------------------ *}

fun sum :: "nat list ⇒ nat" where --"jospalhid",
"sum [] = 0" |
"sum xs = hd xs + sum (tl xs)"

value "sum [3,2,5]" -- "= 10"

fun sum :: "nat list ⇒ nat" where --"angfraalv"
"sum [] = 0" |
"sum (x#xs) = x + sum xs"

value "sum [3,2,5]" -- "= 10"

text {* ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Definir la función
map :: ('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list
tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los
elementos de xs. Por ejemplo,
map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10]
------------------------------------------------------------------ *}

fun map :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where --"jospalhid"
"map f [] = []" |
"map f xs = f(hd xs) # map f (tl xs)"

value "map (λx. 2*x) [3::nat,2,5]" -- "= [6,4,10]"

fun map :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where --"angfraalv"
"map f [] = []" |
"map f (x#xs) = f(x)#(map f xs)"

value "map (λx. 2*x) [3::nat,2,5]" -- "= [6,4,10]"
end
</source>