Relación 8

header {* R8: Árboles binarios completos *}

theory R8_Arboles_binarios_completos
imports Main 
begin 

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1. Definir el tipo de datos arbol para representar los
  árboles binarios que no tienen información ni en los nodos y ni en las
  hojas. Por ejemplo, el árbol
          ·
         / \
        /   \
       ·     ·
      / \   / \
     ·   · ·   · 
  se representa por "N (N H H) (N H H)".
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

datatype arbol = H | N arbol arbol

value "N (N H H) (N H H)"

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Definir la función
     hojas :: "arbol => nat" 
  tal que (hojas a) es el número de hojas del árbol a. Por ejemplo,
     hojas (N (N H H) (N H H)) = 4
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

-- "javrodviv1"
fun hojas :: "arbol => nat" where
  "hojas H = 1"
| "hojas (N i d) = hojas i + hojas d"
  
value "hojas (N (N H H) (N H H))" -- "= 4"

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Definir la función
     profundidad :: "arbol => nat" 
  tal que (profundidad a) es la profundidad del árbol a. Por ejemplo,
     profundidad (N (N H H) (N H H)) = 2
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

-- "javrodviv1"
fun max :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
  "max a b= (if a≥ b then a else b)"

fun min :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
  "min a b= (if a≤b then a else b)"
  
value "max 6 3" -- "= 6"

fun profundidad1 :: "arbol => nat" where
  "profundidad1 H = 0"
| "profundidad1 (N a b) = 1 + max (profundidad1 a) (profundidad1 b)"

fun profundidad :: "arbol => nat" where
  "profundidad H = 0"
| "profundidad (N a b) = 1 + min (profundidad a) (profundidad b)"

value "profundidad (N (N H H) (N H H))" -- "= 2"

(* Javrodviv1: Explico estas dos funciones, la que utilizo para los 
  lemas de abajo es profundidad ya que profundidad1 me encuentra
  contraejemplos y para evitar eso busque definir profundidad
  definidad de manera distinta. No obstante la que a mi me parece
  mas sensata para definir la profundidad de un árbol es la 
  profundidad1 *)

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Definir la función
     abc :: "nat ⇒ arbol" 
  tal que (abc n) es el árbol binario completo de profundidad n. Por
  ejemplo,  
     abc 3 = N (N (N H H) (N H H)) (N (N H H) (N H H))
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

-- "javrodviv1"
fun abc :: "nat ⇒ arbol" where
  "abc 0 = H"
| "abc (Suc n) = N (abc n) (abc n)" 

value "abc 3" -- "= N (N (N H H) (N H H)) (N (N H H) (N H H))"

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Un árbol binario a es completo respecto de la medida f si
  a es una hoja o bien a es de la forma (N i d) y se cumple que tanto i
  como d son árboles binarios completos respecto de f y, además, 
  f(i) = f(r).

  Definir la función
     es_abc :: "(arbol => 'a) => arbol => bool
  tal que (es_abc f a) se verifica si a es un árbol binario completo
  respecto de f.
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

-- "javrodviv1"
fun es_abc :: "(arbol => 'a) => arbol => bool" where
  "es_abc f H = True"
| "es_abc f (N a b) = ((f a = f b) ∧ (es_abc f a ∧ es_abc f b))"

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Nota. (size a) es el número de nodos del árbol a. Por ejemplo,
     size (N (N H H) (N H H)) = 3
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

value "size (N (N H H) (N H H))"
value "size (N (N (N H H) (N H H)) (N (N H H) (N H H)))"

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Nota. Tenemos 3 funciones de medida sobre los árboles: número de
  hojas, número de nodos y profundidad. A cada una le corresponde un
  concepto de completitud. En los siguientes ejercicios demostraremos
  que los tres conceptos de completitud son iguales.
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Demostrar que un árbol binario a es completo respecto de
  la profundidad syss es completo respecto del número de hojas.
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Demostrar que un árbol binario a es completo respecto del
  número de hojas syss es completo respecto del número de nodos
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Demostrar que un árbol binario a es completo respecto de
  la profundidad syss es completo respecto del número de nodos
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar que (abc n) es un árbol binario completo.
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Demostrar que si a es un árbolo binario completo
  respecto de la profundidad, entonces a es (abc (profundidad a)).
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

text {*  
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 12. Encontrar una medida f tal que (es_abc f) es distinto de 
  (es_abc size).
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

end