Relación 1

header {* R1: Programación funcional en Isabelle *}

theory R1
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text {* ----------------------------------------------------------------
  Ejercicio 0. Definir, por recursión, la función
     factorial :: nat ⇒ nat
  tal que (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo,
     factorial 4 = 24
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "jeshorcob, javrodviv1, danrodcha, juacorvic, carvelcab, davoremar"
fun factorial :: "nat ⇒ nat" where
  "factorial 0       = 1 "
| "factorial (Suc m) = (Suc m) * factorial m"
 
value "factorial 4" -- "24"

-- "juacorvic"
fun factorial2 :: "nat ⇒ nat" where
  "factorial2 0 = 1"
| "factorial2 n =  n * factorial2 (n - 1)"

value "factorial2 4" -- "24"

text {* ----------------------------------------------------------------
  Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función
     longitud :: 'a list ⇒ nat
  tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,
     longitud [4,2,5] = 3
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "jeshorcob, javrodviv1, danrodcha, juacorvic, carvelcab, davoremar"
fun longitud :: "'a list ⇒ nat" where
  "longitud []     = 0"
| "longitud (x#xs) = 1 + longitud xs"
   
value "longitud [4,2,5]" -- "= 3"

-- "juacorvic"
fun longitud2 :: "'a list ⇒ nat" where
  "longitud2 [] = 0"
| "longitud2 xs = 1 + longitud2 (tl (xs))"

value "longitud2 [4,2,5]" -- "= 3"

(* Pedrosrei a juacorvic:
   Resulta innecesario recurrir a la función cola si se puede definir de  
   la misma forma con el constructor (#) *)

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Definir la función
     fun intercambia :: 'a × 'b ⇒ 'b × 'a
  tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las
  componentes del par p. Por ejemplo,
     intercambia (u,v) = (v,u)
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "jeshorcob, javrodviv1, danrodcha, carvelcab, juacorvic, davoremar"
fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a" where
  "intercambia (x,y) = (y,x)"

value "intercambia (u,v)" -- "= (v,u)"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Definir, por recursión, la función
     inversa :: 'a list ⇒ 'a list
  tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los
  elementos de xs. Por ejemplo,
     inversa [a,d,c] = [c,d,a]
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "jeshorcob, danrodcha, carvelcab, juacorvic, davoremar"
fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversa []     = []"
| "inversa (x#xs) = (inversa xs) @ [x]"

value "inversa [a,d,c]" -- "= [c,d,a]"

-- "javrodviv1"
fun inversa2 :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversa2 [] = []"
| "inversa2 xs = (last xs)#(inversa2 (butlast xs))"

value "inversa2 [a,d,c]" -- "= [c,d,a]"

-- "juacorvic"
fun inversa3 :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversa3 [] = []"  
| "inversa3 xs =  inversa3(tl xs) @ (hd xs#[])"

value "inversa3 [a,d,c]" -- "= [c,d,a]"

(* Pedrosrei: Es preferible recurrir al menor número posible de   
  funciones auxiliares cuando más adelante sea necesario probar 
  proposiciones sobre las funciones que definimos. Añado ahora un
  ejemplo de esto mismo:  

  Si queremos definir mejor (más estrictamente) la función, tendremos
  que recurrir a los comandos primrec o function en estos casos, la
  importancia de simplificar la definición mediante el empleo de
  constructores definidos en lugar de funciones es crucial. Por poner el
  ejemplo de esta función:
  
    function inversa4 :: "'a list ⇒ 'a list" where
      "inversa4 [] = []"
     |"inversa4 (x#xs) = (inversa xs) @ [x]"
    by pat_completeness auto
    termination by size_change 

  en cambio, si nos trasladamos a las versiones 2 y 3 la prueba de la 
  totalidad no es trivial y requeriría un gasto de tiempo inútil. *)
  

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Definir la función
     repite :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (repite n x) es la lista formada por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     repite 3 a = [a,a,a]
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "jeshorcob, javrodviv1, danrodcha, carvelcab, juacorvic"
fun repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "repite 0 x       = []"
| "repite (Suc m) x = x # (repite m x)"

value "repite 3 a" -- "= [a,a,a]"

-- "juacorvic"
fun repite2 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "repite2 0 x = []"
| "repite2 n x = (x # (repite2 (n - 1) x))"

value "repite2 3 a" -- "= [a,a,a]"

(* Pedrosrei: 
  Esta definición posee un error, el caso segundo debe tener  
  el mismo nombre que el primero y operar, de lo contrario usa otras 
  funciones ajenas. *)

-- "davoremar"
fun repite3 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "repite3 0 x     = []"
| "repite3 (Suc n) x = (repite3 n x) @ [x]"

value "repite3 3 a" -- "= [a,a,a]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Definir la función
     conc :: 'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list
  tal que (conc xs ys) es la concatención de las listas xs e ys. Por
  ejemplo, 
     conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c]
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "jeshorcob, javrodviv1, danrodcha, carvelcab, juacorvic"
fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "conc [] ys = ys"
| "conc (x#xs) ys = x#(conc xs ys)"

value "conc [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]"

-- "juacorvic"
fun conc2 :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "conc2 xs ys = xs @ ys"

value "conc2 [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]"
  
-- "juacorvic"
fun conc3:: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where  
  "conc3 [] ys = ys"
| "conc3 xs ys =  (hd xs)#(conc3 (tl xs) ys)"

value "conc3 [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]"

(* Pedrosrei: 
  Otra errata idéntica a la anterior. Así mismo, cambiar cs por xs *)

-- "davoremar"
fun conc4 :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "conc4 xs [] = xs"
| "conc4 xs (y#ys) = conc4 (xs @ [y]) ys"

value "conc4 [a,d] [b,d,a,c]" -- "= [a,d,b,d,a,c]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Definir la función
     coge :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list
  tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por 
  ejemplo, 
     coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c]
     coge 7 [a,c,d,b,e] = [a,c,d,b,e]
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "jeshorcob, javrodviv1, danrodcha, carvelcab, davoremar"
fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "coge _ []           = []"
| "coge 0 xs           = []"
| "coge (Suc m) (x#xs) = x#(coge m xs)"

value "coge 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c]"
value "coge 7 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c,d,b,e]"

-- "juacorvic"
fun coge2 :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "coge2 0 xs = []"
| "coge2 n xs = (hd xs) # coge2 (n - 1) (tl xs)"

value "coge2 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c]"
value "coge2 7 [a,c,d,b,e]" -- "= [a,c]"

(* Pedrosrei:
  Además de por las razones dadas en funciones anteriores, es preferible 
  la primera definición de la misma al eliminar salidas de error cuando 
  n es mayor al tamaño de la lista *)

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Definir la función
     elimina :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list
  tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando los n primeros
  elementos de xs. Por ejemplo, 
     elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e]
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "jeshorcob, javrodviv1, danrodcha, carvelcab, davoremar"
fun elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "elimina _ []           = []"
| "elimina 0 xs           = xs"
| "elimina (Suc m) (x#xs) = elimina m xs"

value "elimina 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [d,b,e]"
value "elimina 7 [a,c,d,b,e]" -- "= []"

(* Pedrosrei:
  Bien al eliminar un caso. Es preferible usar (Suc n) a n-1 para evitar 
  problemas de tipo en demostraciones futuras. *)

-- "juacorvic"
fun elimina2 :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "elimina2 0 xs = xs"
| "elimina2 n xs = elimina2 (n - 1 ) (tl xs)"

value "elimina2 2 [a,c,d,b,e]" -- "= [d,b,e]"
value "elimina2 7 [a,c,d,b,e]" -- "= []"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Definir la función
     esVacia :: 'a list ⇒ bool
  tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo,
     esVacia []  = True
     esVacia [1] = False
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "jeshorcob, javrodviv1, carvelcab, davoremar"
fun esVacia :: "'a list ⇒ bool" where
  "esVacia [] = True"
| "esVacia _ = False"

value "esVacia []"  -- "= True"
value "esVacia [1]" -- "= False"

-- "juacorvic"
fun esVacia2 :: "'a list ⇒ bool" where
  "esVacia2 xs = (if xs=[] then True else False)"

value "esVacia2 []"  -- "= True"
value "esVacia2 [1]" -- "= False"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Definir la función
     inversaAc :: 'a list ⇒ 'a list
  tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando
  acumuladores. Por ejemplo, 
     inversaAc [a,c,b,e] = [e,b,c,a]
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "jeshorcob, danrodcha, davoremar"
fun inversaAcAux :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAcAux [] ys = ys"
| "inversaAcAux (x#xs) ys = inversaAcAux xs (x#ys)"

-- "jeshorcob, danrodcha, davoremar"
fun inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAc xs = inversaAcAux xs []"

value "inversaAc [a,c,b,e]" -- "= [e,b,c,a]"

(* Pedrosrei:
  Navaja de Ockham de nuevo, será muy útil cuando empiecen las 
  demostraciones sobre las funciones. *)

  -- "juacorvic"
fun inversaAcAux2 :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAcAux2 [] ys = ys"
| "inversaAcAux2 xs ys = inversaAcAux2 (tl xs) ((hd xs) # ys)"

fun inversaAc2 :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAc2 xs = inversaAcAux2 xs []"

value "inversaAc2 [a,c,b,e]" -- "= [e,b,c,a]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Definir la función
     sum :: nat list ⇒ nat
  tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo,
     sum [3,2,5] = 10
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "jeshorcob, javrodviv1, danrodcha, carvelcab, davoremar"
fun sum :: "nat list ⇒ nat" where
  "sum [] = 0"
| "sum (x#xs) = x + sum xs"

value "sum [3,2,5] = 10"

(* Pedrosrei:
  Esta definición aprovecha una batería enorme de resultados que 
  Isabelle posee sobre la suma (op +) al emplear foldr y ser 
  reconocible para el sistema *)

-- "jeshorcob"
fun sum2 :: "nat list ⇒ nat" where
  "sum2 xs = foldr (op +) xs 0"

value "sum2 [3,2,5] = 10"
  
-- "juarcorvic"
fun sum3 :: "nat list ⇒ nat" where
  "sum3 [] = 0"
| "sum3 xs = (hd xs) + sum3 (tl xs)"

value "sum [3,2,5] = 10"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Definir la función
     map :: ('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list
  tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los
  elementos de xs. Por ejemplo,
     map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10]
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "jeshorcob, javrodviv1, danrodcha, carvelcab, davoremar"
fun map :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where
  "map f [] = []"
| "map f (x#xs) = (f x)#(map f xs)"

value "map (λx. 2*x) [3::nat,2,5] = [6,4,10]"

(* Pedrosrei: Mismo comentario. 
  Añado 2 tras la función para evitar errores de carga. *)

-- "juacorvic"
fun map2 :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where
  "map2 f [] =  []"
| "map2 f xs = (f (hd xs)) # (map2 f (tl xs))"

value "map2 (λx. 2*x) [3::nat,2,5] = [6,4,10]"

end