Razonamiento automático (2013-14) Razonamiento automático (2013-14)

header {* R10: Deducción natural proposicional *}

theory R10
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text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  El objetivo de esta relación es lemas usando sólo las reglas básicas
  de deducción natural de la lógica proposicional. 

  Los ejercicios son los de la asignatura de "Lógica informática" que se
  encuentran en http://goo.gl/yrPLn

  Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:
  · conjI:      ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
  · conjunct1:  P ∧ Q ⟹ P
  · conjunct2:  P ∧ Q ⟹ Q  
  · notnotD:    ¬¬ P ⟹ P
  · notnotI:    P ⟹ ¬¬ P
  · mp:         ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q 
  · mt:         ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F 
  · impI:       (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
  · disjI1:     P ⟹ P ∨ Q
  · disjI2:     Q ⟹ P ∨ Q
  · disjE:      ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R 
  · FalseE:     False ⟹ P
  · notE:       ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
  · notI:       (P ⟹ False) ⟹ ¬P
  · iffI:       ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
  · iffD1:      ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P 
  · iffD2:      ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
  · ccontr:     (¬P ⟹ False) ⟹ P
  · excluded_middle: ¬P ∨ P
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

text {*
  Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.
  *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1. Demostrar
     p ∨ q, ¬q ⊢ p
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Demostrar
     p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Demostrar
     ¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Demostrar
     ¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Demostrar
     ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Demostrar
     ⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Demostrar
     ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Demostrar
     ¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Demostrar
     ¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar
     ¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q
  ------------------------------------------------------------------ *}

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Demostrar
     ⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)
  ------------------------------------------------------------------ *}

end