Relación 2

header {* R2: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}

theory R2
imports Main 
begin

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1. Definir la función
     sumaImpares :: nat ⇒ nat
  tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
  impares. Por ejemplo,
     sumaImpares 5  =  25
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "maresccas4 pabflomar"

fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaImpares 0 = 0"
  |"sumaImpares (Suc n) = (2 * (Suc n) - 1) + sumaImpares n"

value "sumaImpares 5" -- "= 25"

-- "diecabmen1 irealetei juaruipav domlloriv"
thm nat.induct
fun sumaImpares2 :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaImpares2 0 = 0"
| "sumaImpares2 (Suc n) = (2*n + 1) + sumaImpares2 n"

value "sumaImpares2 5" -- "= 25"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Demostrar que 
     sumaImpares n = n*n
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "maresccas4,juaruipav domlloriv pabflomar"

lemma "sumaImpares n = n*n"
by (induct n) auto

-- "diecabmen1 irealetei"

lemma "sumaImpares2 n = n*n"
by (induct n) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Definir la función
     sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
  tal que 
     (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
  Por ejemplo, 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "maresccas4 diecabmen1 irealetei domlloriv pabflomar"

fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2"
  |"sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = 2^(Suc n) + sumaPotenciasDeDosMasUno n"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3" -- "= 16"

-- "juaruipav"
fun sumaPotenciasDeDosMasUno2 :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno2 0 = 2"
|  "sumaPotenciasDeDosMasUno2 (Suc n) = 2*sumaPotenciasDeDosMasUno2 n"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno2 3" -- "= 16"


text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "maresccas4 diecabmen1 irealetei juaruipav domlloriv pabflomar"

lemma "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
by (induct n) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Definir la función
     copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     copia 3 x = [x,x,x]
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "maresccas4 irealetei domlloriv juaruipav pabflomar"

fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia 0 x = []"
  |"copia (Suc n) x = x # copia n x"

value "copia 3 x" -- "= [x,x,x]"

-- "diecabmen1"

fun copia2 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia2 0 x = []"
| "copia2 (Suc n) x = x#[]@copia2 n x"

value "copia2 3 x" -- "= [x,x,x]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Definir la función
     todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
  la propiedad p. Por ejemplo,
     todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
     todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
  Nota: La conjunción se representa por ∧
  ----------------------------------------------------------------- *}

-- "maresccas4 irealetei diecabmen1 juaruipav pabflomar "

fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "todos p [] = True"
  |"todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"

value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" -- "= True"
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4]" -- "= False"

-- "domlloriv"
fun todos2 :: "('a \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> 'a list \<Rightarrow> bool" where
  "todos2 p [] = True"
| "todos2 p (x#xs) = ((p x) \<and> todos2 p xs)" 

value "todos2 (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" -- "= True"
value "todos2 (λx. x>(2::nat)) [2,6,4]" -- "= False""

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
  iguales a x. 
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "maresccas4,juaruipav domlloriv pabflomar"

lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
by (induct n) auto

-- "diecabmen1"
lemma "todos (λy. y=x) (copia2 n x)"
by (induct n) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Definir la función
    factR :: nat ⇒ nat
  tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
    factR 4 = 24
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "maresccas4 irealetei diecabmen1 juaruipav domlloriv pabflomar"

fun factR :: "nat ⇒ nat" where
  "factR 0 = 1"
  |"factR (Suc n) = (Suc n) * factR n"

value "factR 4" -- "= 24"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Se considera la siguiente definición iterativa de la
  función factorial 
     factI :: "nat ⇒ nat" where
     factI n = factI' n 1
     
     factI' :: nat ⇒ nat ⇒ nat" where
     factI' 0       x = x
     factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x
  Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene 
     factI' n x = x * factR n
  ------------------------------------------------------------------- *}

fun factI' :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
  "factI' 0       x = x"
| "factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x"

fun factI :: "nat ⇒ nat" where
  "factI n = factI' n 1"

value "factI 4" -- "= 24"

-- "maresccas4 irealetei diecabmen1 juaruipav domlloriv pabflomar"     

lemma fact: "factI' n x = x * factR n"
by (induct n arbitrary: x) auto

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar que
     factI n = factR n
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "maresccas4 diecabmen1 juaruipav pabflomar"

corollary "factI n = factR n"
by (simp add: fact)

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
     amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
  final de la lista xs. Por ejemplo,
     amplia [d,a] t = [d,a,t]
  ------------------------------------------------------------------ *}

-- "maresccas4,juaruipav domlloriv"

fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "amplia [] y = [y]"
  |"amplia (x#xs) y = x # (amplia xs y)"

value "amplia [d,a] t" -- "= [d,a,t]"

-- "irealetei diecabmen1"

fun amplia2 :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "amplia2 [] y = y#[]"
  |"amplia2 (x#xs) y = x#(amplia2 xs y)"

value "amplia2 [d,a] t" -- "= [d,a,t]"

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 12. Demostrar que 
     amplia xs y = xs @ [y]
  ------------------------------------------------------------------- *}

-- "maresccas4, juaruipav domlloriv"

lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
by (induct xs) auto

-- "irealetei diecabmen1" (* Es igual que la de maresccas4, pero lo pego para que compile*)

lemma "amplia2 xs y = xs @ [y]"
by (induct xs) auto

end