Relación 4

header {* 4ª relación de ejercicios *}

theory Relacion_4
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section {* Sustitución, inversión y eliminación *}

text {* 
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1. Definir la función 
     sust :: "'a ⇒ 'a ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
  tal que (sust x y zs) es la lista obtenida sustituyendo cada
  occurrencia de x por y en la lista zs. Por ejemplo,
     sust (1::nat) 2 [1,2,3,4,1,2,3,4] = [2,2,3,4,2,2,3,4]
  --------------------------------------------------------------------- 
*}


primrec sust :: "'a ⇒ 'a ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "sust x y [] = []"
| "sust x y (w#zs) = (if w=x then y#(sust x y zs) else w#(sust x y zs))"



text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Demostrar o refutar: 
     sust x y (xs@ys) = (sust x y xs)@(sust x y ys)"
  ---------------------------------------------------------------------  
*}

text {*
  --Usando la sentencia refute puede obtenerse un contraejemplo fácilmente.
  --Además, al ejecutarse con la aplicación, ya directamente propone un contraejemplo.
*}

-- "La demostración automática es"
lemma sust_append_auto: 
  "sust x y (xs@ys) = (sust x y xs)@(sust x y ys)"
refute
oops

-- "La demostración estructurada es"
lemma sust_append: 
  "sust x y (xs @ ys) = (sust x y xs)@(sust x y ys)"
oops

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Demostrar o refutar: 
     rev (sust x y zs) = sust x y (rev zs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

-- "La demostración automática es"
theorem "rev(sust x y zs) = sust x y (rev zs)"
refute
oops

-- "La demostración estructurada es"
theorem rev_sust: 
  "rev (sust x y zs) = sust x y (rev zs)"
oops

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Demostrar o refutar:
     sust x y (sust u v zs) = sust u v (sust x y zs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

theorem "sust x y (sust u v zs) = sust u v (sust x y zs)"
refute
oops

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Demostrar o refutar:
     sust y z (sust x y zs) = sust x z zs
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

theorem "sust y z (sust x y zs) = sust x z zs"
refute
oops


text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Definir la función
     borra :: "'a ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
  tal que (borra x ys) es la lista obtenida borrando la primera
  ocurrencia del elemento x en la lista ys. Por ejemplo,
     borra (2::nat) [1,2,3,2] = [1,3,2]

  Nota: La función borra es equivalente a la predefinida remove1. 
  --------------------------------------------------------------------- 
*}


primrec borra :: "'a ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "borra x [] = []"
| "borra x (w#ys) = (if x=w then ys else (w#(borra x ys)))"


text {* 
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Definir la función
     borraTodas :: "'a ⇒ 'a list ⇒ 'a list"
  tal que (borraTodas x ys) es la lista obtenida borrando todas las
  ocurrencias del elemento x en la lista ys. Por ejemplo,
     borraTodas (2::nat) [1,2,3,2] = [1,3]
  --------------------------------------------------------------------- 
*}



primrec borraTodas :: "'a ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "borraTodas x [] = []"
| "borraTodas x (w#ys) = (if x=w then (borraTodas x ys) else (w#(borraTodas x ys)))"



text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Demostrar o refutar: 
     borra x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

-- "La demostración automática es"
theorem "borra x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs"
refute
oops

-- "La demostración estructurada es"
theorem "borra x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs"
oops

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Demostrar o refutar:
     borraTodas x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

-- "La demostración automática es"
theorem "borraTodas x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs"
refute
oops

-- "La demostración estructurada es"
theorem "borraTodas x (borraTodas x xs) = borraTodas x xs"
oops

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar o refutar:
     borraTodas x (borra x xs) = borraTodas x xs
  --------------------------------------------------------------------- 
*}


-- "La demostración automática es"
theorem borraTodas_borra_auto: "borraTodas x (borra x xs) = borraTodas x xs"
by (induct xs) auto


-- "La demostración estructurada es"
theorem borraTodas_borra:
  "borraTodas x (borra x xs) = borraTodas x xs"
oops
    
text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Demostrar o refutar: 
     borra x (borra y xs) = borra y (borra x xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

-- "La demostración automática es"
theorem "borra x (borra y xs) = borra y (borra x xs)"
by (induct xs) auto

-- "La demostración estructurada es"
theorem "borra x (borra y xs) = borra y (borra x xs)"
oops

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 12. Demostrar o refutar el teorema: 
     borraTodas x (borra y xs) = borra y (borraTodas x xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}


-- "La demostración automática es"
theorem "borraTodas x (borra y xs) = borra y (borraTodas x xs)"
by (induct xs arbitrary: ) (auto simp add: borraTodas_borra_auto)


-- "La demostración estructurada es"
theorem "borraTodas x (borra y xs) = borra y (borraTodas x xs)"
oops


text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 13. Demostrar o refutar:
     borra y (sust x y xs) = borra x xs
  --------------------------------------------------------------------- 
*}


text {*
La igualdad propuesta es falsa.
El contraejemplo que encuentra Quickcheck es (retocándolo para que no dé
problemas al exportarlo a Isabelle):
y = a1
x = a2
xs = [a1]
El contraejemplo que encuentra Refute es idéntico salvo cambio de nombres:
x = a1
xs = [a2]
y = a2
Análogamente, el contraejemplo que encuentra Refute es idéntico salvo cambio de nombres:
y: a0
x: a1
xs: [a0]
*}


theorem "borra y (sust x y xs) = borra x xs"
oops

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 14. Demostrar o refutar:
     borraTodas y (sust x y xs) = borraTodas x xs"
  --------------------------------------------------------------------- 
*}


text {*
La igualdad propuesta es falsa.
El contraejemplo que encuentra Quickcheck es (retocándolo para que no dé
problemas al exportarlo a Isabelle):
y = a1
x = a2
xs = [a1]
El contraejemplo que encuentra Refute es idéntico salvo cambio de nombres:
x = a1
xs = [a2]
y = a2
Análogamente, el contraejemplo que encuentra Refute es idéntico salvo cambio de nombres:
y: a0
x: a1
xs: [a0]
*}


theorem "borraTodas y (sust x y xs) = borraTodas x xs"
oops


text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 15. Demostrar o refutar:
     sust x y (borraTodas x zs) = borraTodas x zs
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

-- "La demostración automática es"
theorem "sust x y (borraTodas x zs) = borraTodas x zs"
by (induct zs) auto

-- "La demostración estructurada es"
theorem sust_borraTodas:
  "sust x y (borraTodas x zs) = borraTodas x zs"
proof (induct zs)
  show "sust x y (borraTodas x []) = borraTodas x []" by auto
    next
      show "⋀a zs. sust x y (borraTodas x zs) = borraTodas x zs ⟹
           sust x y (borraTodas x (a # zs)) = borraTodas x (a # zs)" by auto
qed

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 16. Demostrar o refutar:
     sust x y (borraTodas z zs) = borraTodas z (sust x y zs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

theorem "sust x y (borraTodas z zs) = borraTodas z (sust x y zs)"
quickcheck
oops

text {*
 Para este ejercicio quickcheck encuentra el siguiente contraejemplo:
 zs = [0]
 z = 1
 y = 1
 x = 0
*}

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 17. Demostrar o refutar:
     rev (borra x xs) = borra x (rev xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

theorem "rev (borra x xs) = borra x (rev xs)"
oops

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 18. Demostrar o refutar el teorema: 
     borraTodas x (xs@ys) = (borraTodas x xs)@(borraTodas x ys)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}


-- "La demostración automática es"
lemma borraTodas_append_auto:
"borraTodas x (xs@ys) = (borraTodas x xs)@(borraTodas x ys)"
by (induct xs) auto


-- "La demostración estructurada es"
lemma borraTodas_append: 
  "borraTodas x (xs@ys) = (borraTodas x xs)@(borraTodas x ys)"
oops


text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 19. Demostrar o refutar el teorema: 
     rev (borraTodas x xs) = borraTodas x (rev xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}


-- "La demostración automática es"
theorem "rev (borraTodas x xs) = borraTodas x (rev xs)"
by (induct xs arbitrary: x) (auto simp add: borraTodas_append_auto)


-- "La demostración estructurada es"
theorem "rev (borraTodas x xs) = borraTodas x (rev xs)"
oops

end