R12
De Lógica matemática y fundamentos [Curso 2019-20]
<source lang = "isabelle" chapter ‹ R12: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL (III)›
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En toda la relación de ejercicios las demostraciones han de realizarse de las formas siguientes: + en lenguaje natural + aplicativa o declarativa usando "simp" + aplicativa o declarativa usando "simp only: ..." + automática
Además, se recomienda el uso de lemas auxiliares (nuevos o de los ejercicios anteriores) para que las demostraciones sean más cortas y claras. ---------------------------------------------------------------------›
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Ejercicio 1. Definir la función estaEn :: 'a ⇒ 'a list ⇒ bool tal que (estaEn x xs) se verifica si el elemento x está en la lista xs. Por ejemplo, estaEn (2::nat) [3,2,4] = True estaEn (1::nat) [3,2,4] = False ---------------------------------------------------------------------›
fun estaEn :: "'a ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"estaEn x [] = False"
| "estaEn x (a#xs) = (a=x ∨ estaEn x xs)"
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Definir la función sublista :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ bool tal que (sublista xs ys) se verifica si todos los elementos de la lista xs están en la lista ys. Por ejemplo, sublista [(1::nat),2,3] [3,2,1,2] = True sublista [(1::nat),2,3] [2,1,2] = False ----------------------------------------------------------------------›
fun sublista :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"sublista [] ys = True"
| "sublista (x#xs) ys = (estaEn x ys ∧ sublista xs ys )"
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar la siguiente propiedad: si xs es sublista de ys, entonces xs también es sublista de la lista (y#ys). Es decir, sublista xs ys ⟹ sublista xs (y#ys) ----------------------------------------------------------------------›
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Demostración en lenguaje natural:
----------------------------------------------------------------------›
― ‹Demostración declarativa:›
lemma sublistaMono_d:
"sublista xs ys ⟶ sublista xs (y#ys)" oops
― ‹Demostración aplicativa:›
lemma sublistaMono: "sublista xs ys ⟹ sublista xs (y#ys)"
oops
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar que la relación sublista es reflexiva. Es decir, sublista xs xs ---------------------------------------------------------------------›
text ‹------------------------------------------------------------------
Demostración en lenguaje natural:
----------------------------------------------------------------------›
― ‹Demostración declarativa:›
lemma sublistaReflexiva_d: "sublista xs xs"
oops
― ‹Demostración aplicativa:›
lemma sublistaReflexiva: "sublista xs xs"
oops
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Probar, como corolario, que sublista xs (x#xs) ---------------------------------------------------------------------›
text ‹------------------------------------------------------------------
Demostración en lenguaje natural:
----------------------------------------------------------------------›
― ‹Demostración declarativa:›
corollary sublistaInc_d: "sublista xs (x#xs)"
oops
― ‹Demostración aplicativa:›
corollary sublistaInc: "sublista xs (x#xs)"
oops
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Probar que la relación sublista es transitiva. Es decir, sublista xs ys ∧ sublista ys zs ⟶ sublista xs zs ---------------------------------------------------------------------›
text ‹------------------------------------------------------------------
Demostración en lenguaje natural:
----------------------------------------------------------------------›
― ‹Demostración declarativa:›
lemma sublistaTransitiva_d:
"sublista xs ys ∧ sublista ys zs ⟶ sublista xs zs" oops
― ‹Demostración aplicativa:›
lemma sublistaTransitiva:
"sublista xs ys ∧ sublista ys zs ⟶ sublista xs zs" oops
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Definir la función coge :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por ejemplo, coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c] ------------------------------------------------------------------ ›
fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
"coge n [] = []"
| "coge 0 xs = []" | "coge (Suc n) (x#xs) = x # (coge n xs)"
value "coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c]"
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Probar que coge 0 xs = [] ---------------------------------------------------------------------›
text ‹------------------------------------------------------------------
Demostración en lenguaje natural:
----------------------------------------------------------------------›
― ‹Demostración declarativa:›
lemma coge0_d: "coge 0 xs = []"
oops
― ‹Demostración aplicativa:›
lemma coge0: "coge 0 xs = []"
oops
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Probar que length xs ≤ n ⟹ coge n xs = xs ---------------------------------------------------------------------›
text ‹------------------------------------------------------------------
Demostración en lenguaje natural:
----------------------------------------------------------------------›
― ‹Demostración declarativa:›
lemma cogeTodos_d:
"length xs ≤ n ⟶ coge n xs = xs" oops
― ‹Demostración aplicativa:›
lemma cogeTodos: "length xs ≤ n ⟹ coge n xs = xs"
oops
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Probar que length (coge n xs) ≤ n ---------------------------------------------------------------------›
text ‹------------------------------------------------------------------
Demostración en lenguaje natural:
----------------------------------------------------------------------›
― ‹Demostración declarativa:›
lemma cogeLongN_d: "length (coge n xs) ≤ n"
oops
― ‹Demostración aplicativa:›
lemma cogeLongN: "length (coge n xs) ≤ n"
oops
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Probar que length (coge n xs) ≤ length xs ---------------------------------------------------------------------›
text ‹------------------------------------------------------------------
Demostración en lenguaje natural:
----------------------------------------------------------------------›
― ‹Demostración declarativa:›
lemma cogeLongL_d: "length (coge n xs) ≤ length xs"
oops
― ‹Demostración aplicativa:›
lemma cogeLongL: "length (coge n xs) ≤ length xs"
oops
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Probar que length (coge n xs) = min n (length xs) ---------------------------------------------------------------------›
text ‹------------------------------------------------------------------
Demostración en lenguaje natural:
----------------------------------------------------------------------›
― ‹Demostración declarativa:›
lemma lengthCogeMin_d:"length (coge n xs) = min n (length xs)"
oops
― ‹Demostración aplicativa:›
lemma lengthCogeMin: "length (coge n xs) = min n (length xs)"
oops
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Probar que estaEn x (coge n xs) ⟹ estaEn x xs ---------------------------------------------------------------------›
text ‹------------------------------------------------------------------
Demostración en lenguaje natural:
----------------------------------------------------------------------›
― ‹Demostración declarativa:›
lemma estaEnCoge_d:
"estaEn x (coge n xs) ⟶ estaEn x xs" oops
― ‹Demostración aplicativa:›
lemma estaEnCoge:
"estaEn x (coge n xs) ⟹ estaEn x xs" oops
text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Probar que sublista (coge n xs) xs ---------------------------------------------------------------------›
text ‹------------------------------------------------------------------
Demostración en lenguaje natural:
----------------------------------------------------------------------›
― ‹Demostración declarativa:›
lemma sublistaCoge_d: "sublista (coge n xs) xs"
oops
― ‹Demostración aplicativa:›
lemma sublistaCoge: "sublista (coge n xs) xs"
oops
end </source>