Mjoseh: Protegió «Rel 14 (sol)» ([Editar=Solo administradores] (indefinido) [Trasladar=Solo administradores] (indefinido))

2020-05-28T06:56:16Z

Protegió «Rel 14 (sol)» ([Editar=Solo administradores] (indefinido) [Trasladar=Solo administradores] (indefinido))

Mjoseh: Página creada con « theory R14_sol imports Main begin text ‹------------------------------------------------------------------ Ejercicio 1. Hilbert publicó u…»

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<source lang = "isabelle">
theory R14_sol
imports Main

begin

text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Hilbert publicó una axiomatización de la geometría que
incluía los siguientes axiomas:
1. Por dos puntos distintos pasa una línea recta.
2. Por dos puntos distintos no pasa más de una línea recta.
3. Toda línea tiene al menos dos puntos.
4. Existen al menos tres puntos no alineados.

Usando la relacion en(p,l) para representar que el punto p está en
la línea l, definir el entorno local Geom en el que se verifiquen los
4 axiomas anteriores.
---------------------------------------------------------------------›

locale Geom =
fixes en :: "'p ⇒ 'l ⇒ bool"
assumes linea_por_dos_puntos:
"a ≠ b ⟹ ∃l. en a l ∧ en b l"
and linea_por_dos_puntos_unica:
"⟦a ≠ b; en a l; en b l; en a m; en b m⟧ ⟹ l = m"
and dos_puntos_de_la_linea:
"∃a b. a ≠ b ∧ en a l ∧ en b l"
and tres_puntos_no_alineados:
"∃a b c. a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c ∧
¬ (∃l. en a l ∧ en b l ∧ en c l)"
begin

text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Demostrar que
∃a b c. a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c ∧ (∀l. en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l)
---------------------------------------------------------------------›

― ‹ Demostración automática ›
lemma
"∃a b c. a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c ∧ (∀l. en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l)"
using tres_puntos_no_alineados by auto

― ‹ Demostración estructurada ›
lemma tres_puntos_no_alineados_alt:
"∃a b c. a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c ∧ (∀l. en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l)"
proof -
obtain a b c where distintos: "a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c"
"¬ (∃l. en a l ∧ en b l ∧ en c l)"
using tres_puntos_no_alineados by blast
then have "∀l. en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l"
by blast
then show ?thesis
using distintos by blast
qed

― ‹ Demostración detallada ›
lemma
"∃a b c. a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c ∧ (∀l. en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l)"
proof -
have 1: "∃a b c. a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c ∧ ¬ (∃l. en a l ∧ en b l ∧ en c l)"
by (rule tres_puntos_no_alineados)
obtain a b c where 2: "a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c ∧
¬ (∃l. en a l ∧ en b l ∧ en c l)"
using 1 by (elim exE)
then have 3: "a ≠ b"
by (rule conjE)
have 4: "a ≠ c ∧ b ≠ c ∧ ¬ (∃l. en a l ∧ en b l ∧ en c l)"
using 2 by (rule conjE)
then have 5: "a ≠ c"
by (rule conjE)
have 6: "b ≠ c ∧ ¬ (∃l. en a l ∧ en b l ∧ en c l)"
using 4 by (rule conjE)
then have 7: "b ≠ c"
by (rule conjE)
with 5 have 8: "a ≠ c ∧ b ≠ c"
by (rule conjI)
with 3 have 9: "a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c"
by (rule conjI)
have 10: " ¬ (∃l. en a l ∧ en b l ∧ en c l)"
using 6 by (rule conjE)
have 12: "∀l. en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l"
proof (rule allI)
fix l
show "en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l"
proof (rule impI)
assume 11: "en a l ∧ en b l"
show "¬ en c l"
proof (rule notI)
assume "en c l"
hence "en a l ∧ en b l ∧ en c l"
using 11 by blast
hence "∃l. en a l ∧ en b l ∧ en c l"
by (rule exI)
with 10 show False
by (rule notE)
qed
qed
qed
have "a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c ∧ (∀l. en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l)"
using 9 12 by blast
then show
"∃a b c. a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c ∧ (∀l. en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l)"
by (intro exI)
qed

text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Demostrar que no todos los puntos pertenecen a la misma
línea.
---------------------------------------------------------------------›

― ‹Demostración automática›
lemma "∀l. ∃x. ¬ en x l"
using tres_puntos_no_alineados_alt by auto

― ‹ Demostración estructurada ›
lemma punto_no_en_linea: "∀l. ∃x. ¬ en x l"
proof
fix l
obtain a b c where l3: "¬ (en a l ∧ en b l ∧ en c l)"
using tres_puntos_no_alineados by blast
then show "∃x. ¬ en x l" by blast
qed

― ‹Demostración detallada ›
lemma "∀l. ∃x. ¬ en x l"
proof (rule allI)
fix l
have "∃a b c. a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c
∧ (∀l. en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l)"
by (rule tres_puntos_no_alineados_alt)
then obtain a b c where "a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c
∧ (∀l. en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l)"
by (elim exE)
then have "∀l. en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l"
by (elim conjE)
then have 1:"en a l ∧ en b l ⟶ ¬ en c l"
by (rule allE)
show "∃x. ¬ en x l"
proof (cases)
assume "¬ en a l" then show "∃x. ¬ en x l"
by (rule exI)
next
assume "¬ ¬ en a l"
then have "en a l"
by (rule notnotD)
then show "∃x. ¬ en x l"
proof (cases)
assume "en b l"
with ‹en a l› have "en a l ∧ en b l"
by (rule conjI)
with 1 have "¬ en c l"
by (rule mp)
then show "∃x. ¬ en x l"
by (rule exI)
next
assume "¬ en b l" then show "∃x. ¬ en x l"
by (rule exI)
qed
qed
qed

text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Demostrar que por cada punto pasa más de una línea.
---------------------------------------------------------------------›

― ‹ Demostración automática ›
lemma "∃l m. en x l ∧ en x m ∧ l ≠ m"
by (metis linea_por_dos_puntos tres_puntos_no_alineados_alt)

― ‹ Demostración estructurada ›
lemma dos_lineas_por_punto: "∃l m. en x l ∧ en x m ∧ l ≠ m"
proof -
obtain z where "z ≠ x" using dos_puntos_de_la_linea
by metis
then obtain l where xl: "en x l" and zl: "en z l"
using linea_por_dos_puntos by blast
obtain w where n_wl: "¬ en w l"
using punto_no_en_linea by blast
obtain m where wm: "en x m" and zm: "en w m"
using linea_por_dos_puntos xl by metis
then have "l ≠ m"
using n_wl by blast
then show ?thesis
using wm xl by blast
qed

text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar que dos líneas distintas no pueden tener más
de un punto común.
---------------------------------------------------------------------›

― ‹ Demostración automática ›
lemma
assumes "l ≠ m"
"en x l"
"en x m"
"en y l"
"en y m"
shows "x = y"
using assms linea_por_dos_puntos_unica by blast

― ‹ Demostración estructurada ›
lemma interseccion_lineas_distintas:
assumes "l ≠ m"
"en x l"
"en x m"
"en y l"
"en y m"
shows "x = y"
proof (rule ccontr)
assume "x ≠ y"
then have "l = m"
using linea_por_dos_puntos_unica assms(2-5) by simp
then show "False"
using assms(1) by simp
qed

end

text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 6. Extender el ámbito ("locale") Geom definiendo la relación
colineal tal que (colineal a b c) se verifica si existe una línea
recta que pasa por los puntos a, b y c.
---------------------------------------------------------------------›

definition (in Geom)
colineal :: "'p ⇒ 'p ⇒ 'p ⇒ bool"
where "colineal a b c ≡ ∃l. en a l ∧ en b l ∧ en c l"

text ‹------------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Demostrar que existen tres puntos a, b y c tales que
¬ colineal a b c
---------------------------------------------------------------------›

― ‹ Demostración automática ›
lemma (in Geom) "∃a b c. ¬ colineal a b c"
using colineal_def tres_puntos_no_alineados by blast

― ‹ Demostración estructurada ›
lemma (in Geom) "∃a b c. ¬ colineal a b c"
proof -
have "∃a b c. a ≠ b ∧ a ≠ c ∧ b ≠ c ∧
¬ (∃l. en a l ∧ en b l ∧ en c l)"
by (rule tres_puntos_no_alineados)
then have "∃a b c. ¬ (∃l. en a l ∧ en b l ∧ en c l)"
by blast
then show ?thesis
by (simp add: colineal_def)
qed

end

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