Mjoseh: Protegió «R10» ([Editar=Solo administradores] (indefinido) [Trasladar=Solo administradores] (indefinido))

2020-04-20T17:58:43Z

Protegió «R10» ([Editar=Solo administradores] (indefinido) [Trasladar=Solo administradores] (indefinido))

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chapter ‹ R10: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL ›

theory R10
imports Main
begin

text ‹ ---------------------------------------------------------------
En toda la relación de ejercicios las demostraciones han de realizarse
de las formas siguientes:
(*) automática
(*) detallada (bien declarativa o aplicativa)
------------------------------------------------------------------ ›

text ‹---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1.1. Definir la función
sumaImpares :: nat ⇒ nat
tal que (sumaImpares n) es la suma de los n primeros números
impares. Por ejemplo,
sumaImpares 5 = 25
------------------------------------------------------------------›

fun sumaImpares :: "nat ⇒ nat" where
"sumaImpares 0 = 0"
| "sumaImpares (Suc n) = sumaImpares n + (2*n+1)"

value "sumaImpares 5" ― ‹= 25›

text ‹---------------------------------------------------------------
Ejercicio 1.2. Demostrar que
sumaImpares n = n*n
-------------------------------------------------------------------›

― ‹Demostración automática:›
lemma "sumaImpares n = n*n"
oops

― ‹Demostración detallada:›
lemma sumaImpares_d:
"sumaImpares n = n*n"
oops

text ‹ ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2.1. Definir la función
sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
tal que
(sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n.
Por ejemplo,
sumaPotenciasDeDosMasUno 3 = 16
------------------------------------------------------------------ ›

fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
"sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2"
| "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(n+1)"

value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3" ― ‹= 16›

text ‹ ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 2.2. Demostrar que
sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
------------------------------------------------------------------- ›

― ‹Demostración automática:›
lemma
"sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
oops

― ‹Demostración detallada:›
lemma sumaPotenciasDeDosMasUno_d:
"sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
oops

text ‹ ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Definir la función
copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
x. Por ejemplo,
copia 3 x = [x,x,x]
------------------------------------------------------------------ ›

fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"copia 0 x = []"
| "copia (Suc n) x = x # copia n x"

value "copia 3 x" ― ‹= [x,x,x]›

text ‹ ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 4. Definir la función
todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
la propiedad p. Por ejemplo,
todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
Nota: La conjunción se representa por ∧
----------------------------------------------------------------- ›

fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"todos p [] = True"
| "todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"

value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" ― ‹= True›
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4]" ― ‹= False›

text ‹ ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 5. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
iguales a x.
------------------------------------------------------------------- ›

― ‹Demostración automática:›
lemma "todos (λy. y=x) (copia n x)"
oops

― ‹Demostración detallada:›
lemma todos_copia_d:
"todos (λy. y=x) (copia n x)"
oops

text ‹ ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6.1. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
final de la lista xs. Por ejemplo,
amplia [d,a] t = [d,a,t]
------------------------------------------------------------------ ›

fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
"amplia [] y = [y]"
| "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"

value "amplia [d,a] t" ― ‹= [d,a,t]›

text ‹ ---------------------------------------------------------------
Ejercicio 6.2, Demostrar que
amplia xs y = xs @ [y]
------------------------------------------------------------------- ›

― ‹Demostración automática:›
lemma "amplia xs y = xs @ [y]"
oops

― ‹Demostración detallada:›
lemma amplia_append_d: "amplia xs y = xs @ [y]"
oops

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 7. Definir la función
algunos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (algunos p xs) se verifica si algunos elementos de la lista
xs cumplen la propiedad p. Por ejemplo, se verifica
algunos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[3]]
¬algunos (λx. 1<length x) [[],[3]]"

Nota: La función algunos es equivalente a la predefinida list_ex.
---------------------------------------------------------------------
›

fun algunos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"algunos p [] = False"
| "algunos p (x#xs) = ((p x) ∨ (algunos p xs))"

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 8. Demostrar o refutar
todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)
---------------------------------------------------------------------
›
― ‹Demostración automática:›
lemma "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
oops

― ‹Demostración detallada:›
lemma todos_conj_d:
"todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
oops

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 9. Demostrar o refutar
todos P (xs @ ys) = (todos P xs ∧ todos P ys)
---------------------------------------------------------------------
›

― ‹Demostración automática:›
lemma "todos P (xs @ ys) = (todos P xs ∧ todos P ys)"
oops

― ‹Demostración detallada:›
lemma todos_append_d: "todos P (xs @ ys) = (todos P xs ∧ todos P ys)"
oops

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 10. Demostrar o refutar
todos P (rev xs) = todos P xs
---------------------------------------------------------------------
›

― ‹Demostración automática:›
lemma "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops

― ‹Demostración detallada:›
lemma todos_rev_d: "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 11. Demostrar o refutar:
algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)
---------------------------------------------------------------------
›

lemma "algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)"
oops

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 12. Demostrar o refutar
algunos P (map f xs) = algunos (P ∘ f) xs
---------------------------------------------------------------------
›

― ‹Demostración automática:›
lemma "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
oops

― ‹Demostración detallada:›
lemma algunos_map_e: "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
oops

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 13. Demostrar o refutar
algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)
---------------------------------------------------------------------
›

― ‹Demostración automática:›
lemma "algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops

― ‹Demostración detallada:›
lemma algunos_append_e:
"algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 14. Demostrar o refutar
algunos P (rev xs) = algunos P xs
---------------------------------------------------------------------
›

― ‹Demostración automática:›
lemma "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops

― ‹Demostración detallada:›
lemma algunos_rev_e:
"algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 15. Encontrar un término no trivial Z tal que sea cierta la
siguiente ecuación:
algunos (λx. P x ∨ Q x) xs = Z
y demostrar la equivalencia de forma automática y detallada.
---------------------------------------------------------------------
›

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 16. Demostrar o refutar
algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)
---------------------------------------------------------------------
›

― ‹Demostración automática:›
lemma algunos_no_todos_d:
"algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops

― ‹Demostración detallada:›
lemma algunos_no_todos_e:
"algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 17.1. Definir la función
estaEn :: 'a ⇒ 'a list ⇒ bool
tal que (estaEn x xs) se verifica si el elemento x está en la lista
xs. Por ejemplo,
estaEn (2::nat) [3,2,4] = True
estaEn (1::nat) [3,2,4] = False
---------------------------------------------------------------------
›

fun estaEn :: "'a ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"estaEn x [] = False"
| "estaEn x (a#xs) = (a=x ∨ estaEn x xs)"

text ‹
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 17.2. Expresar la relación existente entre estaEn y algunos.
Demostrar dicha relación de forma automática y detallada.
---------------------------------------------------------------------
›

end

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