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chapter ‹R13: Recorridos de árboles›

theory R13
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begin 

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 1. Definir el tipo de datos arbol para representar los
  árboles binarios que tiene información en los nodos y en las hojas. 
  Por ejemplo, el árbol
          e
         / \
        /   \
       c     g
      / \   / \
     a   d f   h 
  se representa por "N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h))".
  ---------------------------------------------------------------------›

datatype 'a arbol = H "'a" | N "'a" "'a arbol" "'a arbol"

value "N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h))" 

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 2. Definir la función 
     preOrden :: "'a arbol ⇒ 'a list"
  tal que (preOrden a) es el recorrido pre orden del árbol a. Por
  ejemplo, 
     preOrden (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h)))
     = [e,c,a,d,g,f,h] 
  ---------------------------------------------------------------------›

fun preOrden :: "'a arbol ⇒ 'a list" where
  "preOrden t = undefined"

value "preOrden (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h)))  
      = [e,c,a,d,g,f,h]" 

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 3. Definir la función 
     postOrden :: "'a arbol ⇒ 'a list"
  tal que (postOrden a) es el recorrido post orden del árbol a. Por
  ejemplo, 
     postOrden (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h)))
     = [e,c,a,d,g,f,h] 
  ---------------------------------------------------------------------›

fun postOrden :: "'a arbol ⇒ 'a list" where
  "postOrden t = undefined"

value "postOrden (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h)))
       = [a,d,c,f,h,g,e]"

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 4. Definir la función 
     inOrden :: "'a arbol ⇒ 'a list"
  tal que (inOrden a) es el recorrido in orden del árbol a. Por
  ejemplo, 
     inOrden (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h)))
     = [a,c,d,e,f,g,h]
  ---------------------------------------------------------------------›

fun inOrden :: "'a arbol ⇒ 'a list" where
  "inOrden t = undefined"

value "inOrden (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h)))
       = [a,c,d,e,f,g,h]"

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 5. Definir la función 
     espejo :: "'a arbol ⇒ 'a arbol"
  tal que (espejo a) es la imagen especular del árbol a. Por ejemplo, 
     espejo (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h)))
     = N e (N g (H h) (H f)) (N c (H d) (H a))
  ---------------------------------------------------------------------›

fun espejo :: "'a arbol ⇒ 'a arbol" where
  "espejo t = undefined"

value "espejo (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h))) 
       = N e (N g (H h) (H f)) (N c (H d) (H a))"

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 6. Demostrar que
     preOrden (espejo a) = rev (postOrden a)
  ---------------------------------------------------------------------›

lemma  "preOrden (espejo a) = rev (postOrden a)"
oops

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 7. Demostrar que
     postOrden (espejo a) = rev (preOrden a)
  ---------------------------------------------------------------------›

lemma "postOrden (espejo a) = rev (preOrden a)"
oops

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 8. Demostrar que
     inOrden (espejo a) = rev (inOrden a)
  ---------------------------------------------------------------------›

theorem "inOrden (espejo a) = rev (inOrden a)"
oops

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 9. Definir la función 
     raiz :: "'a arbol ⇒ 'a"
  tal que (raiz a) es la raiz del árbol a. Por ejemplo, 
     raiz (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h))) = e
  ---------------------------------------------------------------------›

fun raiz :: "'a arbol ⇒ 'a" where
  "raiz t = undefined"

value "raiz (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h))) = e"

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 10. Definir la función 
     extremo_izquierda :: "'a arbol ⇒ 'a"
  tal que (extremo_izquierda a) es el nodo más a la izquierda del árbol
  a. Por ejemplo,  
     extremo_izquierda (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h))) = a
  ---------------------------------------------------------------------›

fun extremo_izquierda :: "'a arbol ⇒ 'a" where
  "extremo_izquierda t = undefined"

value "extremo_izquierda (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h))) = a"

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 11. Definir la función 
     extremo_derecha :: "'a arbol ⇒ 'a"
  tal que (extremo_derecha a) es el nodo más a la derecha del árbol
  a. Por ejemplo,  
     extremo_derecha (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h))) = h
  ---------------------------------------------------------------------›

fun extremo_derecha :: "'a arbol ⇒ 'a" where
  "extremo_derecha t = undefined"

value "extremo_derecha (N e (N c (H a) (H d)) (N g (H f) (H h))) = h"

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 12. Demostrar o refutar
     last (inOrden a) = extremo_derecha a
  ---------------------------------------------------------------------›

theorem "last (inOrden a) = extremo_derecha a"
oops

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 13. Demostrar o refutar
     hd (inOrden a) = extremo_izquierda a
  ---------------------------------------------------------------------›

theorem "hd (inOrden a) = extremo_izquierda a"
oops

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 14. Demostrar o refutar
     hd (preOrden a) = last (postOrden a)
  ---------------------------------------------------------------------›

theorem "hd (preOrden a) = last (postOrden a)"
oops

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 15. Demostrar o refutar
     hd (preOrden a) = raiz a
  ---------------------------------------------------------------------›

theorem "hd (preOrden a) = raiz a"
oops

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 16. Demostrar o refutar
     hd (inOrden a) = raiz a
  ---------------------------------------------------------------------›

theorem "hd (inOrden a) = raiz a"
oops

text ‹------------------------------------------------------------------ 
  Ejercicio 17. Demostrar o refutar
     last (postOrden a) = raiz a
  ---------------------------------------------------------------------›

theorem "last (postOrden a) = raiz a"
oops

end

</source>