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chapter ‹ R8 Programación funcional en Isabelle ›

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text ‹ ----------------------------------------------------------------
  Ejercicio 0. Definir, por recursión, la función
     factorial :: nat ⇒ nat
  tal que (factorial n) es el factorial de n. Por ejemplo,
     factorial 4 = 24
  ------------------------------------------------------------------- ›

  (*enrniecar alesancan1 antrivmar dessanriv anapalsan3 belbenzam dantruvar inehenluq marsigfon anagongir 
jespergue elivazser manmorgar12 anamosper juanarcon laudiasan1 anaferpec carboncar monlagare rauestage*)
fun factorial :: "nat ⇒ nat" where
  "factorial 0 = 1"
| "factorial (Suc m) = (Suc m)*factorial m"

(*inmrodmon*)
fun factorial1 :: "nat ⇒ nat" where
  "factorial1 n = ( if n=0 then 1 else n * factorial1 (n-1)) "

(*hernavsan*)
fun factorial2 :: "nat ⇒ nat" where
   "factorial2 0 = 1"
 | "factorial2 n = n*factorial2 (n-1)"

 
text ‹ ----------------------------------------------------------------
  Ejercicio 1. Definir, por recursión, la función
     longitud :: 'a list ⇒ nat
  tal que (longitud xs) es la longitud de la listas xs. Por ejemplo,
     longitud [4,2,5] = 3
  ------------------------------------------------------------------- ›

(*enrniecar antrivmar alesancan1 dessanriv anapalsan3 belbenzam dantruvar inehenluq marsigfon anagongir 
jespergue elivazser manmorgar12 anamosper juanarcon laudiasan1 rauestage monlagare*)
fun longitud :: "'a list ⇒ nat" where
  "longitud [] = 0"
| "longitud xs = 1 + longitud (tl(xs))"
   
(*inmrodmon carboncar*)
fun longitud1 :: "'a list ⇒ nat" where
  "longitud1 xs = ( if xs=[] then 0 else 1 + longitud1 (tl xs) )" 

(*anaferpec hernavsan*)
fun longitud2 :: "'a list ⇒ nat" where
  "longitud2 [] = 0"
| "longitud2 (x#xs) = 1 + longitud2 xs"


value "longitud [a,b,c] = 3"

text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Definir la función
     fun intercambia :: 'a × 'b ⇒ 'b × 'a
  tal que (intercambia p) es el par obtenido intercambiando las
  componentes del par p. Por ejemplo,
     intercambia (u,v) = (v,u)
  ------------------------------------------------------------------ ›

(*enrniecar antrivmar alesancan1 dessanriv anapalsan3 belbenzam dantruvar inehenluq marsigfon anagongir
 jespergue elivazser manmorgar12 juanarcon laudiasan1 anaferpec carboncar monlagare rauestage hernavsan*)
fun intercambia :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a" where
  "intercambia (x,y) = (y,x)"

fun intercambia2 :: "'a × 'b ⇒ 'b × 'a" where
  "intercambia2 (x,y) = (snd(x,y), fst(x,y))"


value "intercambia (u,v) = (v,u)"

text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Definir, por recursión, la función
     inversa :: 'a list ⇒ 'a list
  tal que (inversa xs) es la lista obtenida invirtiendo el orden de los
  elementos de xs. Por ejemplo,
     inversa [a,d,c] = [c,d,a]
  ------------------------------------------------------------------ ›

(*enrniecar antrivmar alesancan1 dessanriv belbenzam dantruvar marsigfon jespergue elivazser manmorgar12 laudiasan1
 monlagare *)
fun inversa :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversa [] = []"
| "inversa xs = Cons (last(xs)) (inversa(butlast xs))"

(* anapalsan3 inehenluq anagongir anamosper juanarcon anaferpec carboncar*)
fun inversa2 :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversa2 [] = []"
| "inversa2 (x#xs) =  (inversa2 xs) @[x]"

(*hernavsan*)
fun inversa3 :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversa3 [] = []"
| "inversa3 xs = (last xs)#(inversa3 (butlast xs))"

value "inversa [a,d,c] = [c,d,a]"
value "inversa2 [a,d,c] = [c,d,a]"
value "inversa3 [a,b,c,d] = [d,c,b,a]"

text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Definir la función
     repite :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (repite n x) es la lista formada por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     repite 3 a = [a,a,a]
  ------------------------------------------------------------------ ›
(*antrivmar  belbenzam  alesancan1 enrniecar dessanriv dantruvar inehenluq marsigfon jespergue elivazser 
manmorgar12 juanarcon laudiasan1 monlagare rauestage *)
fun repite :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "repite 0 x       = []"
 |"repite (Suc m) x = Cons x (repite m x)  "

(* anapalsan3 anagongir carboncar*)
fun repite2 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "repite2 0 x = []"
 |"repite2 (Suc n) x = x#(repite n x)" 

(*inmrodmon*)
fun repite3 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "repite3 n x = ( if n=0 then [] else x#(repite3 (n-1) x) )" 

(*anamosper anaferpec*)
fun repite4 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "repite4 0 x = []"
| "repite4 (Suc n) x = (repite4 n x)@[x]"

(*hernavsan*)
fun repite5 :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
 "repite5 0 x =[]"
|"repite5 n x =Cons x (repite5 (n-1) x) "

value "repite 3 a = [a,a,a]"

text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Definir la función
     conc :: 'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list
  tal que (conc xs ys) es la concatención de las listas xs e ys. Por
  ejemplo, 
     conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c]
  ------------------------------------------------------------------ ›
(*antrivmar enrniecar dessanriv  alesancan1 belbenzam dantruvar inehenluq marsigfon anagongir
 jespergue elivazser manmorgar12 juanarcon laudiasan1 carboncar*)
fun conc :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "conc [] ys       = ys"
| "conc (Cons x xs) ys = Cons x (conc xs ys)"

(* anapalsan3*)
fun conc2 :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "conc2 xs [] = xs"
 |"conc2 xs (y#ys) = conc2 (xs @[y]) ys"

(* Comentario a la función conc2: 
   no se debe usar la función para concatenar listas (@) *)

(*anamosper monlagare*)
fun conc3 :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "conc3 [] ys = ys "
| "conc3 (x#xs) ys = Cons x (conc3 xs ys)" 

(*anaferpec*)
fun conc4 :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "conc4 xs ys = xs @ ys"

(* Comentario a la función conc4: 
   no se debe usar la función para concatenar listas (@) *)

(*hernavsan*)
fun conc5 :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
"conc5 [] ys = ys"
|"conc5 xs [] = xs"
|"conc5 xs (y#ys) = conc5 (xs@[y]) ys"

(* Comentario a la función conc5: 
   no se debe usar la función para concatenar listas (@) *)

value "conc [a,d] [b,d,a,c] = [a,d,b,d,a,c]"

text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Definir la función
     coge :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list
  tal que (coge n xs) es la lista de los n primeros elementos de xs. Por 
  ejemplo, 
     coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c]
  ------------------------------------------------------------------ ›
(*antrivmar*)
fun coge :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
"coge 0 xs = []"
| "coge m [] = []"
| "coge (Suc m) (Cons x xs) =  x # coge m xs" 

(*enrniecar dessanriv belbenzam alesancan1 dantruvar inehenluq anagongir jespergue elivazser 
manmorgar12 juanarcon laudiasan1*)
fun coge1 :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "coge1 0 xs =[] "
| "coge1 m [] = []"
| "coge1 (Suc m) (Cons x xs) = Cons x (coge1 m xs)"


(* anapalsan3 anamosper monlagare *)
fun coge2 :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "coge2 0 xs = []"
| "coge2 (Suc n) [] = []"
| "coge2 (Suc n) (x#xs) = x# (coge2 n xs)"

(*anaferpec*)
fun coge3 :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "coge3 0 _ = [] "
| "coge3 _ [] = [] "
| "coge3 (Suc n) xs =[hd xs] @ coge3 n (tl xs)"

(*carboncar*)
fun coge4 :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "coge4 0 xs = []"
| "coge4 n [] = []" 
| "coge4 (Suc n) xs = hd xs # coge4 n (tl xs)" 

(*hernavsan*)
fun coge5 :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
 "coge5 0 xs = []"
|"coge5 n [] = []"
|"coge5 n (x#xs) = x#(coge5 (n-1) xs)" 

value "coge 2 [a,c,d,b,e] = [a,c]"

text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Definir la función
     elimina :: nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list
  tal que (elimina n xs) es la lista obtenida eliminando los n primeros
  elementos de xs. Por ejemplo, 
     elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e]
  ------------------------------------------------------------------ ›
(*antrivmar alesancan1 belbenzam enrniecar dessanriv dantruvar inehenluq marsigfon anagongir 
jespergue elivazser manmorgar12 anamosper juanarcon laudiasan1*)
fun elimina :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
 "elimina 0 xs = xs"
| "elimina m [] =[]"
| "elimina (Suc m) (Cons x xs) = elimina m xs"


(* anapalsan3 monlagare*)
fun elimina2 :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "elimina2 0 xs = xs"
| "elimina2 (Suc n) [] = []"
| "elimina2 (Suc n) (x#xs) = elimina2 n xs"

(*inmrodmon*)
fun elimina3 :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "elimina3 n xs = ( if n=0 then xs else elimina3 (n-1) (tl xs))"

(*anaferpec carboncar*)
(* fun elimina4 :: "nat ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "elimina4 0 _ = _"
| "elimina4 _ [] = []"
| "elimina4 (Suc n) xs = elimina4 n (tl xs)" *)

(* Comentario: la función elimina4 no es correcta. En la primera ecuación
el resultado es un valor indeterminado, por lo que Isabelle no admite la
definición. *)

value "elimina 2 [a,c,d,b,e] = [d,b,e]"

text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Definir la función
     esVacia :: 'a list ⇒ bool
  tal que (esVacia xs) se verifica si xs es la lista vacía. Por ejemplo,
     esVacia []  = True
     esVacia [1] = False
  ------------------------------------------------------------------ ›
(*antrivmar alesancan1 enrniecar dessanriv belbenzam dantruvar inehenluq marsigfon anagongir
 jespergue elivazser manmorgar12 juanarcon laudiasan1 carboncar monlagare hernavsan*)
fun esVacia :: "'a list ⇒ bool" where
    "esVacia [] = True"
|   "esVacia _ = False"

(* anapalsan3*)
fun esVacia2 :: "'a list ⇒ bool" where
  "esVacia2 xs = (elimina 0 xs = [])"

(*anamosper anaferpec*)
fun esVacia3:: "'a list ⇒ bool" where
  "esVacia3 xs = (if xs=[] then True else False) " 


value "esVacia [a] = False"

text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Definir la función
     inversaAc :: 'a list ⇒ 'a list
  tal que (inversaAc xs) es a inversa de xs calculada usando
  acumuladores. Por ejemplo, 
     inversaAc [a,c,b,e] = [e,b,c,a]
  ------------------------------------------------------------------ ›
(*antrivmar*)
fun inversaAcAux :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAcAux [] ys = ys"
| "inversaAcAux (Cons x xs) ys = inversaAcAux xs ( x# ys)"

fun inversaAc :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAc xs = inversaAcAux xs [] "

(*enrniecar dessanriv alesancan1 belbenzam dantruvar inehenluq anagongir elivazser 
manmorgar12 juanarcon laudiasan1 carboncar jespergue*)
fun inversaAcAux2 :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAcAux2 [] ys = ys"
| "inversaAcAux2 (Cons x xs) ys = inversaAcAux2 xs (Cons x ys)"

fun inversaAc2 :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAc2 [] = []"
| "inversaAc2 (Cons x xs) = inversaAcAux2 xs [x]"

(* Comentario a la función inversaAc2: la primera ecuación no es necesaria.*)

(* anapalsan3 anamosper anaferpec monlagare*)
fun inversaAcAux3 :: "'a list ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAcAux3 [] ys = ys" 
| "inversaAcAux3 (x#xs) ys = inversaAcAux3 xs (x#ys)"

fun inversaAc3 :: "'a list ⇒ 'a list" where
  "inversaAc3 xs = inversaAcAux3 xs []"


value "inversaAc3 [a,c,b,e] = [e,b,c,a]"

text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Definir la función
     sum :: nat list ⇒ nat
  tal que (sum xs) es la suma de los elementos de xs. Por ejemplo,
     sum [3,2,5] = 10
  ------------------------------------------------------------------ ›
(*antrivmar enrniecar alesancan1 dessanriv belbenzam dantruvar inehenluq anagongir elivazser manmorgar12
juanarcon laudiasan1 rauestage jespergue*)
fun sum :: "nat list ⇒ nat" where
   "sum []  = 0"
| "sum (Cons x xs) = x+ sum xs"

(* anapalsan3 anamosper anaferpec monlagare hernavsan*)
fun sum2 :: "nat list ⇒ nat" where
  "sum2 [] = 0"
| "sum2 (x#xs) = x + sum2 xs"

(*inmrodmon*)
fun sum3 :: "nat list ⇒ nat" where
  "sum3 xs = ( if xs = [] then 0 else (hd xs) + sum3 (tl xs))"

(*carboncar*)
fun sum4 :: "nat list ⇒ nat" where
  "sum4 [] = 0"
| "sum4 xs = hd xs + sum4 (tl xs)"

value "sum [3,2,5] = 10"

text ‹ --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Definir la función
     map :: ('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list
  tal que (map f xs) es la lista obtenida aplicando la función f a los
  elementos de xs. Por ejemplo,
     map (λx. 2*x) [3,2,5] = [6,4,10]
  ------------------------------------------------------------------ ›
(*antrivmar*)
fun map :: "(int ⇒ int) ⇒ int list ⇒ int list" where
  "map f [] = []"
| "map f (Cons x xs) = f x # map f xs  "


(* Comentario a la función map: el tipo de la función ha ser genérico,
no restringido a el tipo de los enteros (int)
map :: ('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list
*)


(*enrniecar dessanriv alesancan1 belbenzam dantruvar inehenluq 
anagongir manmorgar12 juanarcon laudiasan1 jespergue*)

fun map2 :: "(int ⇒ int) ⇒ int list ⇒ int list" where
  "map2 f [] = []"
| "map2 f (Cons x xs) = Cons (f x) (map2 f xs)"

(* Comentario a la función map2: el tipo de la función ha ser genérico,
no restringido a el tipo de los enteros (int)
map :: ('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list
*)

(* anapalsan3 anaferpec carboncar*)
fun map3 :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where
  "map3 f [] = []"
| "map3 f (x#xs) = (f x) # (map3 f xs)"

(*elivazser*)
fun map4 :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where
  "map4 f [] = []"
| "map4 f (Cons x xs) = Cons (f x) (map4 f xs)"


(*anamosper monlagare *)
fun map5 :: "('a ⇒ 'b) ⇒ 'a list ⇒ 'b list" where
  "map5 f [] = []"
| "map5 f (x#xs) = Cons (f x) (map5 f xs)"

value "map3 (λx. 2*x) [3::nat,2,5] = [6,4,10]"

end
</source>