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text ‹Ejercicio 5 de Lógica Matemática y Fundamentos (2-junio-2020)›

theory ej_2jun
imports Main 
begin

text ‹
  Apellidos:
  Nombre: 
› 

text ‹Sustituye la palabra ej_2jun por tu usuario de la Universidad de
  Sevilla y graba el fichero con dicho usuario.thy› 

text ‹Nota 1: El tiempo de realización del ejercicio, incluida su
   entrega en la PEV, es de 15:30 a 17:30.› 

text ‹Nota 2: Además de las reglas básicas de deducción natural de la 
  lógica proposicional y de primer orden, también se pueden usar las 
  reglas notnotI y mt que demostramos a  continuación.›

text ‹Nota 3: En el proceso de corrección del ejercicio, y antes de la
  publicación de las calificaciones del mismo, se podrá requerir
  aclaraciones sobre su respuesta. Estas aclaraciones se harán por 
  alguno de los procedimientos virtuales previstos en la PEV. ›

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
  by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto


text ‹-----------------------------------------------------------------
  Ejercicio 1. Consideremos el árbol binario definido por
     datatype 'a arbol = H  
                       | N "'a" "'a arbol" "'a arbol"
  
  Por ejemplo, el árbol
          e
         / \
        /   \
       c     g
      / \   / \
             
  se representa por "N e (N c H H) (N g H H)".

  Se define las funciones
     fun preOrden :: "'a arbol ⇒ 'a list" where
       "preOrden H         = []"
     | "preOrden (N x i d) = x#(preOrden i)@(preOrden d)"

     fun preOrdenAaux :: "'a arbol ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
       "preOrdenAaux H         xs = xs"
     | "preOrdenAaux (N x i d) xs = (preOrdenAaux d (preOrdenAaux i (xs@[x])))"

     definition preOrdenA :: "'a arbol ⇒ 'a list" where
       "preOrdenA a ≡ preOrdenAaux a []"
  tales que 
  + (preOrden a) es el recorrido post orden del árbol a. Por
    ejemplo, 
       preOrden (N e (N c H H) (N g H H)) = [c, g, e]
  + (preOrdenA a) es el recorrido post orden del árbol a, calculado 
    con la función auxiliar preOrdenAaux que usa un acumulador. Por 
    ejemplo, 
       preOrdenA (N e (N c H H) (N g H H)) = [c, g, e]
 
  Demostrar detalladamente que las funciones preOrden y preOrdenA son
  equivalentes; es decir,
     preOrdenA a = preOrden a
  -------------------------------------------------------------------›

section ‹Definiciones›

datatype 'a arbol = H  
                  | N "'a" "'a arbol" "'a arbol"

fun preOrden :: "'a arbol ⇒ 'a list" where
  "preOrden H         = []"
| "preOrden (N x i d) = x#(preOrden i)@(preOrden d)"

fun preOrdenAaux :: "'a arbol ⇒ 'a list ⇒ 'a list" where
  "preOrdenAaux H         xs = xs"
| "preOrdenAaux (N x i d) xs = (preOrdenAaux d (preOrdenAaux i (xs@[x])))"

definition preOrdenA :: "'a arbol ⇒ 'a list" where
  "preOrdenA a ≡ preOrdenAaux a []"

― ‹Lema preOrdenAux›

― ‹Demostración en lenguaje natural›

― ‹Demostración detallada de preOrdenAux›

lemma preOrdenAux:
  "preOrdenAaux a xs = xs @ preOrden a"
  oops

― ‹Demostraciones de preOrdenA›

― ‹Demostración en lenguaje natural›

― ‹Demostración detallada›

theorem preOrdenA:
  "preOrdenA a = preOrden a"
  oops


text ‹------------------------------------------------------------------
  Ejercicio 2. Sea G un grupo. Demostrar detalladamente lo siguiente:
     x = y ⋅ z^ si y sólo si y = x ⋅ z

  Nota: No usar ninguno de los métodos automáticos: auto, blast, force,
  fast, arith o metis 
  ------------------------------------------------------------------ ›

locale grupo =
  fixes prod :: "['a, 'a] ⇒ 'a" (infixl "⋅" 70)
    and neutro ("𝟭") 
    and inverso ("_^" [100] 100)
  assumes asociativa: "(x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z)"
      and neutro_i:   "𝟭 ⋅ x = x"
      and neutro_d:   "x ⋅ 𝟭 = x"
      and inverso_i:  "x^ ⋅ x = 𝟭"

(* Notas sobre notación:
   * El producto es ⋅ y se escribe con \ cdot (sin espacio entre ellos). 
   * El neutro es 𝟭 y se escribe con \ y one (sin espacio entre ellos).
   * El inverso de x es x^ y se escribe pulsando 2 veces en ^. *)

context grupo
begin

― ‹Demostración detallada›
lemma 
  "x = y ⋅ z^ ⟷ y = x  ⋅ z" 
  oops

end
    
end
</source>