Ver el código de «R1» - Lógica matemática y fundamentos (2018-19)

=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===

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'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento 
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''Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.''
</blockquote> 
Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.
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'''Solución:''' 

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'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento 
<blockquote>
''Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje  de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en  estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.'' 
</blockquote>
Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento 
<blockquote>
''Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.'' 
</blockquote>
Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento 
<blockquote>
''En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.'' 
</blockquote>
Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 5.''' Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
: prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,
: nv(F) ≤ 2^prof(F)
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 6.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 7.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 8.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen tautologías tales que todas sus subfórmulas son tautologías.
# Si F → G es insatisfacible, entonces F es tautología.
# Si F → G es tautología, entonces F es insatisfacible.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 9.'''
Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes
afirmaciones: 
* Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.
* Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.

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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 10.'''
Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea
insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea
satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.
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'''Solución:'''

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'''Ejercicio 11.'''
* Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología  
* Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?
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'''Solución:'''