Acciones

R11

De Lógica matemática y fundamentos (2018-19)

Revisión del 11:59 30 abr 2019 de Mjoseh (discusión | contribuciones)
(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)
chapter {* R11: Razonamiento sobre programas en Isabelle/HOL *}
 
theory R11
imports Main 
begin

text {* --------------------------------------------------------------- 
   En toda la relación de ejercicios las demostraciones han de realizarse
   de las formas siguientes:
    (*) detallada
    (*) estructurada
    (*) aplicativa
    (*) automática
  ------------------------------------------------------------------ *}
    
    
text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 1. Definir la función
     sumaPotenciasDeDosMasUno :: nat ⇒ nat
  tal que 
     (sumaPotenciasDeDosMasUno n) = 1 + 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n. 
  Por ejemplo, 
     sumaPotenciasDeDosMasUno 3  =  16
  ------------------------------------------------------------------ *}
 
fun sumaPotenciasDeDosMasUno :: "nat ⇒ nat" where
  "sumaPotenciasDeDosMasUno 0 = 2"
| "sumaPotenciasDeDosMasUno (Suc n) = 
      sumaPotenciasDeDosMasUno n + 2^(n+1)"
 
value "sumaPotenciasDeDosMasUno 3" ― ‹= 16›
 
text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 2. Demostrar que 
     sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)
  ------------------------------------------------------------------- *}

lemma sumaPotenciasDeDosMasUno_d: 
  "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
oops

lemma sumaPotenciasDeDosMasUno_e: 
  "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
oops

lemma sumaPotenciasDeDosMasUno_a: 
  "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
oops

lemma sumaPotenciasDeDosMasUno_auto: 
  "sumaPotenciasDeDosMasUno n = 2^(n+1)"
oops

 
text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 3. Definir la función
     copia :: nat ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (copia n x) es la lista formado por n copias del elemento
  x. Por ejemplo, 
     copia 3 x = [x,x,x]
  ------------------------------------------------------------------ *}
 
fun copia :: "nat ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "copia 0 x       = []"
| "copia (Suc n) x = x # copia n x"
 
value "copia 3 x" ― ‹= [x,x,x]›
 
text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 4. Definir la función
     todos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (todos p xs) se verifica si todos los elementos de xs cumplen
  la propiedad p. Por ejemplo,
     todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4] = True
     todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4] = False
  Nota: La conjunción se representa por ∧
  ----------------------------------------------------------------- *}
 
fun todos :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
  "todos p []     = True"
| "todos p (x#xs) = (p x ∧ todos p xs)"
 
value "todos (λx. x>(1::nat)) [2,6,4]" ― ‹= True›
value "todos (λx. x>(2::nat)) [2,6,4]" ― ‹= False›
 
text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 5. Demostrar que todos los elementos de (copia n x) son
  iguales a x. 
  ------------------------------------------------------------------- *}
 
lemma todos_copia_d: "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  oops

lemma todos_copia_e: "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  oops
    
lemma todos_copia_a: "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  oops

lemma todos_copia_auto: "todos (λy. y=x) (copia n x)"
  oops

text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 6. Definir la función
    factR :: nat ⇒ nat
  tal que (factR n) es el factorial de n. Por ejemplo,
    factR 4 = 24
  ------------------------------------------------------------------ *}
 
fun factR :: "nat ⇒ nat" where
  "factR 0 = 1"
| "factR (Suc n) = Suc n * factR n"
 
value "factR 4" ― ‹= 24›
 
text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 7. Se considera la siguiente definición iterativa de la
  función factorial 
     factI :: "nat ⇒ nat" where
     factI n = factI' n 1
 
     factI' :: nat ⇒ nat ⇒ nat" where
     factI' 0       x = x
     factI' (Suc n) x = factI' n (Suc n)*x
  Demostrar que, para todo n y todo x, se tiene 
     factI' n x = x * factR n
  ------------------------------------------------------------------- *}
 
fun factI' :: "nat ⇒ nat ⇒ nat" where
  "factI' 0       x = x"
| "factI' (Suc n) x = factI' n (x* (Suc n))"
 
fun factI :: "nat ⇒ nat" where
  "factI n = factI' n 1"
 
 
lemma fact_d: "factI' n x = x * factR n"
oops

lemma fact_e: "factI' n x = x * factR n"
oops

lemma fact_a: "factI' n x = x * factR n"
oops

lemma fact_auto: "factI' n x = x * factR n"
oops
 
text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 8. Demostrar que
     factI n = factR n
  ------------------------------------------------------------------- *}
 
corollary fact_equiv: "factI n = factR n"
oops
 
text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 9. Definir, recursivamente y sin usar (@), la función
     amplia :: 'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list
  tal que (amplia xs y) es la lista obtenida añadiendo el elemento y al
  final de la lista xs. Por ejemplo,
     amplia [d,a] t = [d,a,t]
  ------------------------------------------------------------------ *}
 
fun amplia :: "'a list ⇒ 'a ⇒ 'a list" where
  "amplia []     y = [y]"
| "amplia (x#xs) y = x # amplia xs y"
 
value "amplia [d,a] t" ― ‹= [d,a,t]›
 
text {* --------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 10. Demostrar que 
     amplia xs y = xs @ [y]
  ------------------------------------------------------------------- *}
 
lemma amplia_append_d: "amplia xs y = xs @ [y]"
  oops

lemma amplia_append_e: "amplia xs y = xs @ [y]"
  oops
    
lemma amplia_append_a: "amplia xs y = xs @ [y]"
  oops

lemma amplia_append_auto: "amplia xs y = xs @ [y]"
  oops


text {* 
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 11. Definir la función 
     algunos :: ('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (algunos p xs) se verifica si algunos elementos de la lista 
  xs cumplen la propiedad p. Por ejemplo, se verifica 
     algunos (λx. 1<length x) [[2,1,4],[3]]
     ¬algunos (λx. 1<length x) [[],[3]]"

  Nota: La función algunos es equivalente a la predefinida list_ex. 
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

fun algunos  :: "('a ⇒ bool) ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"algunos p [] = False"
| "algunos p (x#xs) = ((p x) ∨ (algunos p xs))"


text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 12. Demostrar o refutar
     todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

lemma todos_conj_d: "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
  oops

lemma todos_conj_e: "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
  oops
    
lemma todos_conj_a: "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
  oops

lemma todos_conj_auto: "todos (λx. P x ∧ Q x) xs = (todos P xs ∧ todos Q xs)"
  oops


text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 13. Demostrar o refutar
     todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

lemma todos_append_d: "todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)"
oops

lemma todos_append_e: "todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)"
oops

lemma todos_append_a: "todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)"
oops

lemma todos_append_auto: "todos P (x @ y) = (todos P x ∧ todos P y)"
oops

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 14. Demostrar o refutar
     todos P (rev xs) = todos P xs
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

lemma todos_rev_d: "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops

lemma todos_rev_e: "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops

lemma todos_rev_a: "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops

lemma todos_rev_auto: "todos P (rev xs) = todos P xs"
oops

  
text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 15. Demostrar o refutar:
    algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

lemma "algunos (λx. P x ∧ Q x) xs = (algunos P xs ∧ algunos Q xs)"
oops

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 16. Demostrar o refutar
     algunos P (map f xs) = algunos (P ∘ f) xs
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

lemma algunos_map_d: "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
oops

lemma algunos_map_e: "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
oops

lemma algunos_map_a: "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
oops

lemma algunos_map_auto: "algunos P (map f xs) = algunos (P o f) xs"
oops
  
text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 17. Demostrar o refutar
     algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

lemma algunos_append_d: "algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops

lemma algunos_append_e: "algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops

lemma algunos_append_a: "algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops

lemma algunos_append_auto: "algunos P (xs @ ys) = (algunos P xs ∨ algunos P ys)"
oops


text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 18. Demostrar o refutar
     algunos P (rev xs) = algunos P xs
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

lemma algunos_rev_d: "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops

lemma algunos_rev_e: "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops

lemma algunos_rev_a: "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops

lemma algunos_rev_auto: "algunos P (rev xs) = algunos P xs"
oops


text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 19. Encontrar un término no trivial Z tal que sea cierta la 
  siguiente ecuación:
     algunos (λx. P x ∨ Q x) xs = Z
  y demostrar la equivalencia de forma automática y detallada.
  --------------------------------------------------------------------- 
*}



text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 20. Demostrar o refutar
     algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}


lemma algunos_no_todos_d: "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops

lemma algunos_no_todos_e: "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops

lemma algunos_no_todos_a: "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops

lemma algunos_no_todos_auto: "algunos P xs = (¬ todos (λx. (¬ P x)) xs)"
oops


 text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 21. Definir la función
     estaEn :: 'a ⇒ 'a list ⇒ bool
  tal que (estaEn x xs) se verifica si el elemento x está en la lista
  xs. Por ejemplo, 
     estaEn (2::nat) [3,2,4] = True
     estaEn (1::nat) [3,2,4] = False
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

fun estaEn :: "'a ⇒ 'a list ⇒ bool" where
"estaEn x [] = False"
| "estaEn x (a#xs) = (x=a ∨ estaEn x xs)"


text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 22. Expresar la relación existente entre estaEn y algunos. 
  Demostrar dicha relación de forma automática y detallada.
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

text {* 
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 23. Definir la función
     sinDuplicados :: 'a list ⇒ bool
  tal que (sinDuplicados xs) se verifica si la lista xs no contiene
  duplicados. Por ejemplo,  
     sinDuplicados [1::nat,4,2]   = True
     sinDuplicados [1::nat,4,2,4] = False
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

fun sinDuplicados :: "'a list ⇒ bool" where
"sinDuplicados [] = True"
| "sinDuplicados (a#xs) = ((¬ estaEn a xs) ∧ sinDuplicados xs)"


text {* 
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 24. Definir la función
     borraDuplicados :: 'a list ⇒ bool
  tal que (borraDuplicados xs) es la lista obtenida eliminando los
  elementos duplicados de la lista xs. Por ejemplo, 
     borraDuplicados [1::nat,2,4,2,3] = [1,4,2,3]

  Nota: La función borraDuplicados es equivalente a la predefinida 
  remdups. 
  --------------------------------------------------------------------- 
*}


fun borraDuplicados :: "'a list ⇒ 'a list" where
"borraDuplicados [] = []"
| "borraDuplicados (a#xs) = (if estaEn a xs
  then borraDuplicados xs
  else (a#borraDuplicados xs))"



text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 25. Demostrar o refutar
     length (borraDuplicados xs) ≤ length xs
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

lemma length_borraDuplicados_d:
"length (borraDuplicados xs) ≤ length xs"
oops

lemma length_borraDuplicados_e:
"length (borraDuplicados xs) ≤ length xs"
oops

lemma length_borraDuplicados_a:
"length (borraDuplicados xs) ≤ length xs"
oops

lemma length_borraDuplicados_auto:
"length (borraDuplicados xs) ≤ length xs"
oops


text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 26. Demostrar o refutar
     estaEn a (borraDuplicados xs) = estaEn a xs
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

lemma estaEn_borraDuplicados_d:
"estaEn a (borraDuplicados xs) = estaEn a xs"
oops

lemma estaEn_borraDuplicados_e:
"estaEn a (borraDuplicados xs) = estaEn a xs"
oops

lemma estaEn_borraDuplicados_a:
"estaEn a (borraDuplicados xs) = estaEn a xs"
oops

lemma estaEn_borraDuplicados_auto:
"estaEn a (borraDuplicados xs) = estaEn a xs"
oops

text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 27. Demostrar o refutar
     sinDuplicados (borraDuplicados xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

lemma sinDuplicados_borraDuplicados_d:
"sinDuplicados (borraDuplicados xs)"
oops

lemma sinDuplicados_borraDuplicados_e:
"sinDuplicados (borraDuplicados xs)"
oops

lemma sinDuplicados_borraDuplicados_a:
"sinDuplicados (borraDuplicados xs)"
oops

lemma sinDuplicados_borraDuplicados_auto:
"sinDuplicados (borraDuplicados xs)"
oops


text {*
  --------------------------------------------------------------------- 
  Ejercicio 28. Demostrar o refutar:
    borraDuplicados (rev xs) = rev (borraDuplicados xs)
  --------------------------------------------------------------------- 
*}

lemma "borraDuplicados (rev xs) = rev (borraDuplicados xs)"
oops


end
Obtenido de «https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2019/index.php?title=R11&oldid=616»