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<source lang = "isabelle">
chapter {* R13: Definiciones inductivas: clausuras *}

theory R13
imports Main
begin

section {* La clausura reflexiva transitiva *}

text {*
· Las definiciones inductivas aceptan parámetros; por tanto, permite
expresar funciones que construyen conjuntos.

· La relaciones binarias son conjuntos de pares; por tanto, se pueden
definir inductivamente.
*}

text {*
· La clausura reflexiva y transitiva de una relación r es la menor
relación reflexiva y transitiva que contiene a r.

· Se representa por r*.

· Se puede definir inductivamente, como conjunto:
· (x,x) ∈ r*
· Si (x,y) ∈ r e (y,z) ∈ r*, entonces (x,z) ∈ r*

· La definición inductiva, como conjunto, se puede expresar en
Isabelle/HOL como sigue:
*}

inductive_set
crt :: "('a × 'a) set ⇒ ('a × 'a) set" ("_*" [1000] 999)
for r :: "('a × 'a) set"
where
crt_refl [iff]: "(x,x) ∈ r*"
| crt_paso: "⟦(x,y) ∈ r; (y,z) ∈ r* ⟧ ⟹ (x,z) ∈ r*"

text {*
Notas:
· La sintaxis concreta permite escribir r* en lugar de (crt r).
· La definición consta de dos reglas.
· A la regla reflexiva se le añade el atributo iff para aumentar la
automatización.
· A la regla del paso no se le añade ningún atributo, porque r* ocurre
en la izquierda.
· En el resto de esta sección se demuestra que esta definición
coincide con la menor relación reflexiva y transitiva que contiene a
r.
*}

text {*
Lema. La relación r* es reflexiva.
*}

lemma "(x,x) ∈ r*"
oops

text {*
Lema. La relación r* contiene a r.
*}

(* La demostración aplicativa es *)
lemma "(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

(* La demostración automática es *)
lemma r_contenida_clausura [intro]:
"(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

(* La demostración declarativa es *)
lemma "(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

text {*
Notas:
· La ventaja del lema es que se puede declarar como regla de
introducción, porque r* ocurre sólo en la derecha.
· Con la declaración, algunas demostraciones que usan crt_paso se
hacen de manera automática.
*}

text {*
El esquema de inducción de la clausura reflexiva transitiva es
· crt.induct:
⟦(x1, x2) ∈ r*;
⋀x. P x x;
⋀x y z. ⟦(x,y) ∈ r; (y,z) ∈ r*; P y z⟧ ⟹ P x z⟧
⟹ P x1 x2
*}

text {*
Lema. La relación r* es transitiva.
*}

(* La demostración aplicativa es *)
lemma "⟦(x,y) ∈ r*; (y,z) ∈ r*⟧ ⟹ (x,z) ∈ r*"
oops

lemma "⟦ (x,y) ∈ r*; (y,z) ∈ r* ⟧ ⟹ (x,z) ∈ r*"
oops

text {*
Otra formulación del lema, con la variable y a la derecha.
*}

(* La demostración aplicativa es *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r* ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

(* La demostración automática es *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r* ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

(* La demostración declarativa es *)
lemma crt_trans [rule_format]:
"(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r* ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

text {*
Notas:
· La reformulación anterior es un caso particular de la siguiente
heurística:
"Para probar una fórmula por inducción sobre (x1,...,xn) ∈ R,
poner todas las premisas conteniendo cualquiera de lax xi en la
conclusión usando ⟶".
· El atributo "rule_format" transforma ⟶ en ⟹.
*}

text {*
La relación r* está contenida en cualquier relación reflexiva y
transitiva que contenga a r.

Mediante (crt2 r) se define la menor relación reflexiva y transitiva
que contiene a r.
*}

inductive_set
crt2 :: "('a × 'a)set ⇒ ('a × 'a)set"
for r :: "('a × 'a)set"
where
"(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ crt2 r" (* contiene a r *)
| "(x,x) ∈ crt2 r" (* reflexiva *)
| "⟦(x,y) ∈ crt2 r; (y,z) ∈ crt2 r⟧ ⟹ (x,z) ∈ crt2 r" (* transitiva *)

text {* Probaremos que r* coincide con (crt2 r) *}

text {*
Lema. La relación (crt2 r) está contenida en r*.
*}

(* La demostración aplicativa es *)
lemma "(x,y) ∈ crt2 r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

(* La demostración automática es *)
lemma "(x,y) ∈ crt2 r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

(* La demostración declarativa es *)
lemma "(x,y) ∈ crt2 r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

text {*
Lema. La relación r* está contenida en (crt2 r).
*}

(* La demostración aplicativa es *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (x,y) ∈ crt2 r"
oops

(* La demostración automática es *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (x,y) ∈ crt2 r"
oops

(* La demostración declarativa es *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (x,y) ∈ crt2 r"
oops

text {* ----------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar que si (x,y) ∈ r* e (y,z) ∈ r, entonces
(x,z) ∈ r*
------------------------------------------------------------------- *}

(* Demostración aplicativa *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

(* Demostración aplicativa *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

(* Demostración declarativa *)
lemma crt_paso2 [rule_format]:
"(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

text {* ----------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Considerar la siguiente definición de la clausura tran-
sitiva de una relación r, y probar que es la menor relación reflexiva
y transitiva que contiene a r.

Nota: Establecer los lemas necesarios.
------------------------------------------------------------------- *}

inductive star' :: "('a ⇒ 'a ⇒ bool) ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" for r where
refl': "star' r x x"
| step': "star' r x y ⟹ r y z ⟹ star' r x z"

(* Demostración de que (star' r) es reflexiva *)
lemma star'Refl: "star' r x x"
oops

(* Demostración aplicativa de r contenida en (star' r) *)
lemma "r x y ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración automática de r contenida en (star' r) *)
lemma "r x y ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración declarativa de r contenida en (star' r) *)
lemma rsubsetStar': "r x y ⟹ star' r x y"
oops

text {* A continuación se prueba una condición suficiente para star' r *}

(* Demostración aplicativa *)
lemma
"⟦star' r y z; r x y⟧ ⟹ star' r x z"
oops

(* Demostración automática *)
lemma star'_subset_star'_l1:
"⟦star' r y z; r x y⟧ ⟹ star' r x z"
oops

(* Demostraciones de que (star' r) es transitiva *)

(* Demostración aplicativa *)
lemma "⟦star' r x y; star' r y z⟧ ⟹ star' r x z"
oops

(* Demostración automática *)
lemma star'Trans:
"⟦star' r x y; star' r y z⟧ ⟹ star' r x z"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Considerar la siguiente definición inductiva. Probar que
"star' r x y syss (∃n. iter r n x y)"
------------------------------------------------------------------- *}

inductive iter :: "('a ⇒ 'a ⇒ bool) ⇒ nat ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool"
for r where
iterRefl: "iter r 0 x x"
| iterStep: "⟦iter r n x y; r y z⟧ ⟹ iter r (n+1) x z"

(* El esquema de inducción correspondiente es *)
thm iter.induct
(*
⟦iter ?r ?x1.0 ?x2.0 ?x3.0;
⋀x. ?P 0 x x;
⋀n x y z. ⟦iter ?r n x y; ?P n x y; ?r y z⟧ ⟹ ?P (n + 1) x z⟧
⟹ ?P ?x1.0 ?x2.0 ?x3.0
*)

(* Algunos teoremas derivados son *)

thm iterRefl
(* iter ?r 0 ?x ?x *)

thm iterRefl [of r y]
(* iter r 0 y y *)

thm iterStep
(* ⟦iter ?r ?n ?x ?y; ?r ?y ?z⟧ ⟹ iter ?r (?n + 1) ?x ?z *)

thm iterStep [of r x y n z]
(* ⟦iter r x y n; r n z⟧ ⟹ iter r (x + 1) y z *)

thm iterStep [of r x y 0 y]
(* ⟦iter r x y 0; r 0 y⟧ ⟹ iter r (x + 1) y y *)

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.1. Demostrar
star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)
------------------------------------------------------------------- *}

(* Demostración aplicativa *)
lemma "star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)"
oops

(* Demostración automática *)
lemma [rule_format]: "star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)"
oops

(* Demostración declarativa *)
lemma [rule_format]: "star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.2. Demostrar
(∃n. iter r n x y) ⟹ star' r x y
------------------------------------------------------------------- *}

(* En la demostración se usará el siguiente lema:
iter r n x y ⟹ star' r x y *)

(* Demostración aplicativa del lema *)
lemma iter_star'_subset: "iter r n x y ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración automática del lema *)
lemma "iter r n x y ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración aplicativa *)
lemma "(∃n. iter r n x y) ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración automática *)
lemma "(∃n. iter r n x y) ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración declarativa *)
lemma assumes "(∃n. iter r n x y)"
shows "star' r x y"
oops

end
chapter {* R13: Definiciones inductivas: clausuras *}

theory R13
imports Main
begin

section {* La clausura reflexiva transitiva *}

text {*
· Las definiciones inductivas aceptan parámetros; por tanto, permite
expresar funciones que construyen conjuntos.

· La relaciones binarias son conjuntos de pares; por tanto, se pueden
definir inductivamente.
*}

text {*
· La clausura reflexiva y transitiva de una relación r es la menor
relación reflexiva y transitiva que contiene a r.

· Se representa por r*.

· Se puede definir inductivamente, como conjunto:
· (x,x) ∈ r*
· Si (x,y) ∈ r e (y,z) ∈ r*, entonces (x,z) ∈ r*

· La definición inductiva, como conjunto, se puede expresar en
Isabelle/HOL como sigue:
*}

inductive_set
crt :: "('a × 'a) set ⇒ ('a × 'a) set" ("_*" [1000] 999)
for r :: "('a × 'a) set"
where
crt_refl [iff]: "(x,x) ∈ r*"
| crt_paso: "⟦(x,y) ∈ r; (y,z) ∈ r* ⟧ ⟹ (x,z) ∈ r*"

text {*
Notas:
· La sintaxis concreta permite escribir r* en lugar de (crt r).
· La definición consta de dos reglas.
· A la regla reflexiva se le añade el atributo iff para aumentar la
automatización.
· A la regla del paso no se le añade ningún atributo, porque r* ocurre
en la izquierda.
· En el resto de esta sección se demuestra que esta definición
coincide con la menor relación reflexiva y transitiva que contiene a
r.
*}

text {*
Lema. La relación r* es reflexiva.
*}

lemma "(x,x) ∈ r*"
oops

text {*
Lema. La relación r* contiene a r.
*}

(* La demostración aplicativa es *)
lemma "(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

(* La demostración automática es *)
lemma r_contenida_clausura [intro]:
"(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

(* La demostración declarativa es *)
lemma "(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

text {*
Notas:
· La ventaja del lema es que se puede declarar como regla de
introducción, porque r* ocurre sólo en la derecha.
· Con la declaración, algunas demostraciones que usan crt_paso se
hacen de manera automática.
*}

text {*
El esquema de inducción de la clausura reflexiva transitiva es
· crt.induct:
⟦(x1, x2) ∈ r*;
⋀x. P x x;
⋀x y z. ⟦(x,y) ∈ r; (y,z) ∈ r*; P y z⟧ ⟹ P x z⟧
⟹ P x1 x2
*}

text {*
Lema. La relación r* es transitiva.
*}

(* La demostración aplicativa es *)
lemma "⟦(x,y) ∈ r*; (y,z) ∈ r*⟧ ⟹ (x,z) ∈ r*"
oops

lemma "⟦ (x,y) ∈ r*; (y,z) ∈ r* ⟧ ⟹ (x,z) ∈ r*"
oops

text {*
Otra formulación del lema, con la variable y a la derecha.
*}

(* La demostración aplicativa es *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r* ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

(* La demostración automática es *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r* ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

(* La demostración declarativa es *)
lemma crt_trans [rule_format]:
"(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r* ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

text {*
Notas:
· La reformulación anterior es un caso particular de la siguiente
heurística:
"Para probar una fórmula por inducción sobre (x1,...,xn) ∈ R,
poner todas las premisas conteniendo cualquiera de lax xi en la
conclusión usando ⟶".
· El atributo "rule_format" transforma ⟶ en ⟹.
*}

text {*
La relación r* está contenida en cualquier relación reflexiva y
transitiva que contenga a r.

Mediante (crt2 r) se define la menor relación reflexiva y transitiva
que contiene a r.
*}

inductive_set
crt2 :: "('a × 'a)set ⇒ ('a × 'a)set"
for r :: "('a × 'a)set"
where
"(x,y) ∈ r ⟹ (x,y) ∈ crt2 r" (* contiene a r *)
| "(x,x) ∈ crt2 r" (* reflexiva *)
| "⟦(x,y) ∈ crt2 r; (y,z) ∈ crt2 r⟧ ⟹ (x,z) ∈ crt2 r" (* transitiva *)

text {* Probaremos que r* coincide con (crt2 r) *}

text {*
Lema. La relación (crt2 r) está contenida en r*.
*}

(* La demostración aplicativa es *)
lemma "(x,y) ∈ crt2 r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

(* La demostración automática es *)
lemma "(x,y) ∈ crt2 r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

(* La demostración declarativa es *)
lemma "(x,y) ∈ crt2 r ⟹ (x,y) ∈ r*"
oops

text {*
Lema. La relación r* está contenida en (crt2 r).
*}

(* La demostración aplicativa es *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (x,y) ∈ crt2 r"
oops

(* La demostración automática es *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (x,y) ∈ crt2 r"
oops

(* La demostración declarativa es *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (x,y) ∈ crt2 r"
oops

text {* ----------------------------------------------------------------
Ejercicio 1. Demostrar que si (x,y) ∈ r* e (y,z) ∈ r, entonces
(x,z) ∈ r*
------------------------------------------------------------------- *}

(* Demostración aplicativa *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

(* Demostración aplicativa *)
lemma "(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

(* Demostración declarativa *)
lemma crt_paso2 [rule_format]:
"(x,y) ∈ r* ⟹ (y,z) ∈ r ⟶ (x,z) ∈ r*"
oops

text {* ----------------------------------------------------------------
Ejercicio 2. Considerar la siguiente definición de la clausura tran-
sitiva de una relación r, y probar que es la menor relación reflexiva
y transitiva que contiene a r.

Nota: Establecer los lemas necesarios.
------------------------------------------------------------------- *}

inductive star' :: "('a ⇒ 'a ⇒ bool) ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool" for r where
refl': "star' r x x"
| step': "star' r x y ⟹ r y z ⟹ star' r x z"

(* Demostración de que (star' r) es reflexiva *)
lemma star'Refl: "star' r x x"
oops

(* Demostración aplicativa de r contenida en (star' r) *)
lemma "r x y ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración automática de r contenida en (star' r) *)
lemma "r x y ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración declarativa de r contenida en (star' r) *)
lemma rsubsetStar': "r x y ⟹ star' r x y"
oops

text {* A continuación se prueba una condición suficiente para star' r *}

(* Demostración aplicativa *)
lemma
"⟦star' r y z; r x y⟧ ⟹ star' r x z"
oops

(* Demostración automática *)
lemma star'_subset_star'_l1:
"⟦star' r y z; r x y⟧ ⟹ star' r x z"
oops

(* Demostraciones de que (star' r) es transitiva *)

(* Demostración aplicativa *)
lemma "⟦star' r x y; star' r y z⟧ ⟹ star' r x z"
oops

(* Demostración automática *)
lemma star'Trans:
"⟦star' r x y; star' r y z⟧ ⟹ star' r x z"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3. Considerar la siguiente definición inductiva. Probar que
"star' r x y syss (∃n. iter r n x y)"
------------------------------------------------------------------- *}

inductive iter :: "('a ⇒ 'a ⇒ bool) ⇒ nat ⇒ 'a ⇒ 'a ⇒ bool"
for r where
iterRefl: "iter r 0 x x"
| iterStep: "⟦iter r n x y; r y z⟧ ⟹ iter r (n+1) x z"

(* El esquema de inducción correspondiente es *)
thm iter.induct
(*
⟦iter ?r ?x1.0 ?x2.0 ?x3.0;
⋀x. ?P 0 x x;
⋀n x y z. ⟦iter ?r n x y; ?P n x y; ?r y z⟧ ⟹ ?P (n + 1) x z⟧
⟹ ?P ?x1.0 ?x2.0 ?x3.0
*)

(* Algunos teoremas derivados son *)

thm iterRefl
(* iter ?r 0 ?x ?x *)

thm iterRefl [of r y]
(* iter r 0 y y *)

thm iterStep
(* ⟦iter ?r ?n ?x ?y; ?r ?y ?z⟧ ⟹ iter ?r (?n + 1) ?x ?z *)

thm iterStep [of r x y n z]
(* ⟦iter r x y n; r n z⟧ ⟹ iter r (x + 1) y z *)

thm iterStep [of r x y 0 y]
(* ⟦iter r x y 0; r 0 y⟧ ⟹ iter r (x + 1) y y *)

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.1. Demostrar
star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)
------------------------------------------------------------------- *}

(* Demostración aplicativa *)
lemma "star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)"
oops

(* Demostración automática *)
lemma [rule_format]: "star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)"
oops

(* Demostración declarativa *)
lemma [rule_format]: "star' r x y ⟹ (∃n. iter r n x y)"
oops

text {*
---------------------------------------------------------------------
Ejercicio 3.2. Demostrar
(∃n. iter r n x y) ⟹ star' r x y
------------------------------------------------------------------- *}

(* En la demostración se usará el siguiente lema:
iter r n x y ⟹ star' r x y *)

(* Demostración aplicativa del lema *)
lemma iter_star'_subset: "iter r n x y ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración automática del lema *)
lemma "iter r n x y ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración aplicativa *)
lemma "(∃n. iter r n x y) ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración automática *)
lemma "(∃n. iter r n x y) ⟹ star' r x y"
oops

(* Demostración declarativa *)
lemma assumes "(∃n. iter r n x y)"
shows "star' r x y"
oops

end
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