https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Josrodjim2 Lógica matemática y fundamentos (2017-18) - Contribuciones del usuario [es] 2026-07-22T13:12:47Z Contribuciones del usuario MediaWiki 1.31.14 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_4&diff=100 Relación 4 2018-03-14T22:58:49Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> chapter {* R4: Deducción natural proposicional *}<br /> <br /> theory R4<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios<br /> usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica<br /> proposicional (sin usar el método auto).<br /> <br /> Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:<br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · notnotI: P ⟹ ¬¬ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> section {* Implicaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> p ⟶ q, p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_1: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;q&quot;<br /> <br /> proof -<br /> show 1: &quot;q&quot; using 1 2 by (rule mp)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_2: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;q ⟶ r&quot; and<br /> 3: &quot;p&quot; <br /> shows &quot;r&quot;<br /> <br /> <br /> proof-<br /> have 4: &quot;q&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> show &quot;r&quot; using 2 4 by (rule mp)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_3: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; and<br /> 2: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 3: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;r&quot;<br /> <br /> proof-<br /> have 4: &quot;q&quot; using 2 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;(q ⟶ r)&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> show &quot;r&quot; using 5 4 by (rule mp)<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_4: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ r&quot;<br /> <br /> proof-<br /> { assume 3: &quot;p&quot;<br /> have 4: &quot;q&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;r&quot; using 2 4 by (rule mp)}<br /> hence 6: &quot;p ⟶ r&quot; using 3 5 by (rule impI)<br /> show &quot;p⟶r&quot; using 6 by this<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_5: josrodjim2 (NO DA ERROR, PERO SI ALERTA)<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> <br /> proof -<br /> <br /> { assume 2: &quot;q&quot;<br /> {assume 3: &quot;p&quot;<br /> have 4: &quot;q ⟶r&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;r&quot; using 4 2 by (rule mp)}<br /> hence 6: &quot;p⟶r&quot; using 3 5 by (rule impI)}<br /> hence 7: &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot; using 2 6 by (rule impI)<br /> show &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot; using 7 by this<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_6:josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> <br /> proof- <br /> <br /> {assume 2: &quot;p⟶q&quot; <br /> {assume 3: &quot;p&quot;<br /> have 4: &quot;q⟶r&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;q&quot; using 2 3 by (rule mp)<br /> have 6: &quot;r&quot; using 4 5 by (rule mp)}<br /> hence 7: &quot;p⟶r&quot; using 3 6 by (rule impI)}<br /> hence 8: &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot; using 2 7 by (rule impI)<br /> show &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot; using 8 by this<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> p ⊢ q ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7: (NO SE QUE ESTA MAL)<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ p&quot;<br /> <br /> proof -<br /> <br /> { assume 2: &quot;q&quot;<br /> have 3: &quot;p&quot; using 1<br /> }<br /> hence 4: &quot;q⟶p&quot; using 2 3 by (rule impI)<br /> <br /> show &quot;q⟶p&quot; using 4 by this<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ⊢ p ⟶ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_8:<br /> &quot;p ⟶ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot; <br /> shows &quot;(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_10:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))&quot; <br /> shows &quot;r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_11:<br /> &quot;(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Conjunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> p, q ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_13:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> &quot;q&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_14:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_15:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> shows &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20:<br /> assumes &quot;p ⟶ q ∧ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;p ∧ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Disyunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> q ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes &quot;q&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ q ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> shows &quot;q ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar<br /> q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ p ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar<br /> p ∨ p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29:<br /> assumes &quot;p ∨ p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;p ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar<br /> p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar<br /> p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar<br /> p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar<br /> (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37:<br /> assumes &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 38. Demostrar<br /> p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_38:<br /> assumes &quot;p ∨ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Negaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 39. Demostrar<br /> p ⊢ ¬¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_39:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;¬¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_40:<br /> assumes &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 41. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_41:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> shows &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p∨q, ¬q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_42:<br /> assumes &quot;p∨q&quot;<br /> &quot;¬q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p ∨ q, ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_43:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_44:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 45. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_45:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 46. Demostrar<br /> ¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_46:<br /> assumes &quot;¬(p ∨ q)&quot; <br /> shows &quot;¬p ∧ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 47. Demostrar<br /> ¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_47:<br /> assumes &quot;¬p ∧ ¬q&quot; <br /> shows &quot;¬(p ∨ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 48. Demostrar<br /> ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_48:<br /> assumes &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> shows &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 49. Demostrar<br /> ⊢ ¬(p ∧ ¬p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_49:<br /> &quot;¬(p ∧ ¬p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 50. Demostrar<br /> p ∧ ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_50:<br /> assumes &quot;p ∧ ¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 51. Demostrar<br /> ¬¬p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_51:<br /> assumes &quot;¬¬p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 52. Demostrar<br /> ⊢ p ∨ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_52:<br /> &quot;p ∨ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 53. Demostrar<br /> ⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_53:<br /> &quot;((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 54. Demostrar<br /> ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_54:<br /> assumes &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 55. Demostrar<br /> ¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_55:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 56. Demostrar<br /> ¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_56:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 57. Demostrar<br /> ¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_57:<br /> assumes &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> shows &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 58. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_58:<br /> &quot;(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> <br /> &lt;/source&gt;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_4&diff=99 Relación 4 2018-03-14T22:43:39Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> chapter {* R4: Deducción natural proposicional *}<br /> <br /> theory R4<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios<br /> usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica<br /> proposicional (sin usar el método auto).<br /> <br /> Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:<br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · notnotI: P ⟹ ¬¬ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> section {* Implicaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> p ⟶ q, p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_1: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;q&quot;<br /> <br /> proof -<br /> show 1: &quot;q&quot; using 1 2 by (rule mp)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_2: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;q ⟶ r&quot; and<br /> 3: &quot;p&quot; <br /> shows &quot;r&quot;<br /> <br /> <br /> proof-<br /> have 4: &quot;q&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> show &quot;r&quot; using 2 4 by (rule mp)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_3: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; and<br /> 2: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 3: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;r&quot;<br /> <br /> proof-<br /> have 4: &quot;q&quot; using 2 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;(q ⟶ r)&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> show &quot;r&quot; using 5 4 by (rule mp)<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_4: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ r&quot;<br /> <br /> proof-<br /> { assume 3: &quot;p&quot;<br /> have 4: &quot;q&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;r&quot; using 2 4 by (rule mp)}<br /> hence 6: &quot;p ⟶ r&quot; using 3 5 by (rule impI)<br /> show &quot;p⟶r&quot; using 6 by this<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_5: josrodjim2 (NO DA ERROR, PERO SI ALERTA)<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> <br /> proof -<br /> <br /> { assume 2: &quot;q&quot;<br /> {assume 3: &quot;p&quot;<br /> have 4: &quot;q ⟶r&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;r&quot; using 4 2 by (rule mp)}<br /> hence 6: &quot;p⟶r&quot; using 3 5 by (rule impI)}<br /> hence 7: &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot; using 2 6 by (rule impI)<br /> show &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot; using 7 by this<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_6:josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> <br /> proof- <br /> <br /> {assume 2: &quot;p⟶q&quot; <br /> {assume 3: &quot;p&quot;<br /> have 4: &quot;q⟶r&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;q&quot; using 2 3 by (rule mp)<br /> have 6: &quot;r&quot; using 4 5 by (rule mp)}<br /> hence 7: &quot;p⟶r&quot; using 3 6 by (rule impI)}<br /> hence 8: &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot; using 2 7 by (rule impI)<br /> show &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot; using 8 by this<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> p ⊢ q ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ⊢ p ⟶ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_8:<br /> &quot;p ⟶ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot; <br /> shows &quot;(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_10:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))&quot; <br /> shows &quot;r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_11:<br /> &quot;(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Conjunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> p, q ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_13:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> &quot;q&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_14:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_15:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> shows &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20:<br /> assumes &quot;p ⟶ q ∧ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;p ∧ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Disyunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> q ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes &quot;q&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ q ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> shows &quot;q ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar<br /> q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ p ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar<br /> p ∨ p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29:<br /> assumes &quot;p ∨ p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;p ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar<br /> p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar<br /> p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar<br /> p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar<br /> (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37:<br /> assumes &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 38. Demostrar<br /> p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_38:<br /> assumes &quot;p ∨ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Negaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 39. Demostrar<br /> p ⊢ ¬¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_39:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;¬¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_40:<br /> assumes &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 41. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_41:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> shows &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p∨q, ¬q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_42:<br /> assumes &quot;p∨q&quot;<br /> &quot;¬q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p ∨ q, ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_43:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_44:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 45. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_45:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 46. Demostrar<br /> ¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_46:<br /> assumes &quot;¬(p ∨ q)&quot; <br /> shows &quot;¬p ∧ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 47. Demostrar<br /> ¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_47:<br /> assumes &quot;¬p ∧ ¬q&quot; <br /> shows &quot;¬(p ∨ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 48. Demostrar<br /> ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_48:<br /> assumes &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> shows &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 49. Demostrar<br /> ⊢ ¬(p ∧ ¬p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_49:<br /> &quot;¬(p ∧ ¬p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 50. Demostrar<br /> p ∧ ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_50:<br /> assumes &quot;p ∧ ¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 51. Demostrar<br /> ¬¬p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_51:<br /> assumes &quot;¬¬p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 52. Demostrar<br /> ⊢ p ∨ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_52:<br /> &quot;p ∨ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 53. Demostrar<br /> ⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_53:<br /> &quot;((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 54. Demostrar<br /> ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_54:<br /> assumes &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 55. Demostrar<br /> ¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_55:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 56. Demostrar<br /> ¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_56:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 57. Demostrar<br /> ¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_57:<br /> assumes &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> shows &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 58. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_58:<br /> &quot;(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> <br /> &lt;/source&gt;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_4&diff=98 Relación 4 2018-03-14T22:20:29Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> chapter {* R4: Deducción natural proposicional *}<br /> <br /> theory R4<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios<br /> usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica<br /> proposicional (sin usar el método auto).<br /> <br /> Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:<br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · notnotI: P ⟹ ¬¬ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> section {* Implicaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> p ⟶ q, p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_1: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;q&quot;<br /> <br /> proof -<br /> show 1: &quot;q&quot; using 1 2 by (rule mp)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_2: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;q ⟶ r&quot; and<br /> 3: &quot;p&quot; <br /> shows &quot;r&quot;<br /> <br /> <br /> proof-<br /> have 4: &quot;q&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> show &quot;r&quot; using 2 4 by (rule mp)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_3: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; and<br /> 2: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 3: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;r&quot;<br /> <br /> proof-<br /> have 4: &quot;q&quot; using 2 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;(q ⟶ r)&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> show &quot;r&quot; using 5 4 by (rule mp)<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_4: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ r&quot;<br /> <br /> proof-<br /> { assume 3: &quot;p&quot;<br /> have 4: &quot;q&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;r&quot; using 2 4 by (rule mp)}<br /> hence 6: &quot;p ⟶ r&quot; using 3 5 by (rule impI)<br /> show &quot;p⟶r&quot; using 6 by this<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_5: josrodjim2 (NO DA ERROR, PERO SI ALERTA)<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> <br /> proof -<br /> <br /> { assume 2: &quot;q&quot;<br /> {assume 3: &quot;p&quot;<br /> have 4: &quot;q ⟶r&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;r&quot; using 4 2 by (rule mp)}<br /> hence 6: &quot;p⟶r&quot; using 3 5 by (rule impI)}<br /> hence 7: &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot; using 2 6 by (rule impI)<br /> show &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot; using 7 by this<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> p ⊢ q ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ⊢ p ⟶ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_8:<br /> &quot;p ⟶ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot; <br /> shows &quot;(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_10:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))&quot; <br /> shows &quot;r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_11:<br /> &quot;(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Conjunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> p, q ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_13:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> &quot;q&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_14:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_15:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> shows &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20:<br /> assumes &quot;p ⟶ q ∧ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;p ∧ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Disyunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> q ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes &quot;q&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ q ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> shows &quot;q ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar<br /> q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ p ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar<br /> p ∨ p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29:<br /> assumes &quot;p ∨ p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;p ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar<br /> p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar<br /> p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar<br /> p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar<br /> (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37:<br /> assumes &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 38. Demostrar<br /> p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_38:<br /> assumes &quot;p ∨ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Negaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 39. Demostrar<br /> p ⊢ ¬¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_39:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;¬¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_40:<br /> assumes &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 41. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_41:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> shows &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p∨q, ¬q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_42:<br /> assumes &quot;p∨q&quot;<br /> &quot;¬q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p ∨ q, ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_43:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_44:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 45. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_45:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 46. Demostrar<br /> ¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_46:<br /> assumes &quot;¬(p ∨ q)&quot; <br /> shows &quot;¬p ∧ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 47. Demostrar<br /> ¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_47:<br /> assumes &quot;¬p ∧ ¬q&quot; <br /> shows &quot;¬(p ∨ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 48. Demostrar<br /> ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_48:<br /> assumes &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> shows &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 49. Demostrar<br /> ⊢ ¬(p ∧ ¬p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_49:<br /> &quot;¬(p ∧ ¬p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 50. Demostrar<br /> p ∧ ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_50:<br /> assumes &quot;p ∧ ¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 51. Demostrar<br /> ¬¬p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_51:<br /> assumes &quot;¬¬p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 52. Demostrar<br /> ⊢ p ∨ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_52:<br /> &quot;p ∨ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 53. Demostrar<br /> ⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_53:<br /> &quot;((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 54. Demostrar<br /> ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_54:<br /> assumes &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 55. Demostrar<br /> ¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_55:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 56. Demostrar<br /> ¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_56:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 57. Demostrar<br /> ¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_57:<br /> assumes &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> shows &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 58. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_58:<br /> &quot;(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> <br /> &lt;/source&gt;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_4&diff=97 Relación 4 2018-03-14T21:55:13Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> chapter {* R4: Deducción natural proposicional *}<br /> <br /> theory R4<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios<br /> usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica<br /> proposicional (sin usar el método auto).<br /> <br /> Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:<br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · notnotI: P ⟹ ¬¬ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> section {* Implicaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> p ⟶ q, p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_1: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;q&quot;<br /> <br /> proof -<br /> show 1: &quot;q&quot; using 1 2 by (rule mp)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_2: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;q ⟶ r&quot; and<br /> 3: &quot;p&quot; <br /> shows &quot;r&quot;<br /> <br /> <br /> proof-<br /> have 4: &quot;q&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> show &quot;r&quot; using 2 4 by (rule mp)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_3: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; and<br /> 2: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 3: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;r&quot;<br /> <br /> proof-<br /> have 4: &quot;q&quot; using 2 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;(q ⟶ r)&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> show &quot;r&quot; using 5 4 by (rule mp)<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_4: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ r&quot;<br /> <br /> proof-<br /> { assume 3: &quot;p&quot;<br /> have 4: &quot;q&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;r&quot; using 2 4 by (rule mp)}<br /> hence 6: &quot;p ⟶ r&quot; using 3 5 by (rule impI)<br /> show &quot;p⟶r&quot; using 6 by this<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> p ⊢ q ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ⊢ p ⟶ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_8:<br /> &quot;p ⟶ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot; <br /> shows &quot;(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_10:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))&quot; <br /> shows &quot;r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_11:<br /> &quot;(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Conjunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> p, q ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_13:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> &quot;q&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_14:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_15:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> shows &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20:<br /> assumes &quot;p ⟶ q ∧ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;p ∧ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Disyunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> q ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes &quot;q&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ q ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> shows &quot;q ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar<br /> q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ p ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar<br /> p ∨ p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29:<br /> assumes &quot;p ∨ p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;p ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar<br /> p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar<br /> p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar<br /> p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar<br /> (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37:<br /> assumes &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 38. Demostrar<br /> p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_38:<br /> assumes &quot;p ∨ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Negaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 39. Demostrar<br /> p ⊢ ¬¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_39:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;¬¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_40:<br /> assumes &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 41. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_41:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> shows &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p∨q, ¬q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_42:<br /> assumes &quot;p∨q&quot;<br /> &quot;¬q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p ∨ q, ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_43:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_44:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 45. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_45:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 46. Demostrar<br /> ¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_46:<br /> assumes &quot;¬(p ∨ q)&quot; <br /> shows &quot;¬p ∧ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 47. Demostrar<br /> ¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_47:<br /> assumes &quot;¬p ∧ ¬q&quot; <br /> shows &quot;¬(p ∨ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 48. Demostrar<br /> ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_48:<br /> assumes &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> shows &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 49. Demostrar<br /> ⊢ ¬(p ∧ ¬p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_49:<br /> &quot;¬(p ∧ ¬p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 50. Demostrar<br /> p ∧ ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_50:<br /> assumes &quot;p ∧ ¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 51. Demostrar<br /> ¬¬p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_51:<br /> assumes &quot;¬¬p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 52. Demostrar<br /> ⊢ p ∨ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_52:<br /> &quot;p ∨ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 53. Demostrar<br /> ⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_53:<br /> &quot;((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 54. Demostrar<br /> ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_54:<br /> assumes &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 55. Demostrar<br /> ¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_55:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 56. Demostrar<br /> ¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_56:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 57. Demostrar<br /> ¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_57:<br /> assumes &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> shows &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 58. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_58:<br /> &quot;(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> <br /> &lt;/source&gt;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_4&diff=92 Relación 4 2018-03-14T21:44:01Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> chapter {* R4: Deducción natural proposicional *}<br /> <br /> theory R4<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios<br /> usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica<br /> proposicional (sin usar el método auto).<br /> <br /> Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:<br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · notnotI: P ⟹ ¬¬ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> section {* Implicaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> p ⟶ q, p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_1: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;q&quot;<br /> <br /> proof -<br /> show 1: &quot;q&quot; using 1 2 by (rule mp)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_2: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;q ⟶ r&quot; and<br /> 3: &quot;p&quot; <br /> shows &quot;r&quot;<br /> <br /> <br /> proof-<br /> have 4: &quot;q&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> show &quot;r&quot; using 2 4 by (rule mp)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_3: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; and<br /> 2: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 3: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;r&quot;<br /> <br /> proof-<br /> have 4: &quot;q&quot; using 2 3 by (rule mp)<br /> have 5: &quot;(q ⟶ r)&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> show &quot;r&quot; using 5 4 by (rule mp)<br /> <br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_4:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> p ⊢ q ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ⊢ p ⟶ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_8:<br /> &quot;p ⟶ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot; <br /> shows &quot;(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_10:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))&quot; <br /> shows &quot;r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_11:<br /> &quot;(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Conjunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> p, q ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_13:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> &quot;q&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_14:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_15:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> shows &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20:<br /> assumes &quot;p ⟶ q ∧ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;p ∧ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Disyunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> q ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes &quot;q&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ q ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> shows &quot;q ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar<br /> q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ p ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar<br /> p ∨ p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29:<br /> assumes &quot;p ∨ p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;p ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar<br /> p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar<br /> p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar<br /> p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar<br /> (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37:<br /> assumes &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 38. Demostrar<br /> p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_38:<br /> assumes &quot;p ∨ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Negaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 39. Demostrar<br /> p ⊢ ¬¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_39:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;¬¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_40:<br /> assumes &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 41. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_41:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> shows &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p∨q, ¬q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_42:<br /> assumes &quot;p∨q&quot;<br /> &quot;¬q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p ∨ q, ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_43:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_44:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 45. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_45:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 46. Demostrar<br /> ¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_46:<br /> assumes &quot;¬(p ∨ q)&quot; <br /> shows &quot;¬p ∧ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 47. Demostrar<br /> ¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_47:<br /> assumes &quot;¬p ∧ ¬q&quot; <br /> shows &quot;¬(p ∨ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 48. Demostrar<br /> ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_48:<br /> assumes &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> shows &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 49. Demostrar<br /> ⊢ ¬(p ∧ ¬p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_49:<br /> &quot;¬(p ∧ ¬p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 50. Demostrar<br /> p ∧ ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_50:<br /> assumes &quot;p ∧ ¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 51. Demostrar<br /> ¬¬p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_51:<br /> assumes &quot;¬¬p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 52. Demostrar<br /> ⊢ p ∨ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_52:<br /> &quot;p ∨ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 53. Demostrar<br /> ⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_53:<br /> &quot;((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 54. Demostrar<br /> ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_54:<br /> assumes &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 55. Demostrar<br /> ¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_55:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 56. Demostrar<br /> ¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_56:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 57. Demostrar<br /> ¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_57:<br /> assumes &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> shows &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 58. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_58:<br /> &quot;(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> <br /> &lt;/source&gt;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_4&diff=91 Relación 4 2018-03-14T21:37:33Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> chapter {* R4: Deducción natural proposicional *}<br /> <br /> theory R4<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios<br /> usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica<br /> proposicional (sin usar el método auto).<br /> <br /> Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:<br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · notnotI: P ⟹ ¬¬ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> section {* Implicaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> p ⟶ q, p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_1: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;q&quot;<br /> <br /> proof -<br /> show 1: &quot;q&quot; using 1 2 by (rule mp)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_2: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;q ⟶ r&quot; and<br /> 3: &quot;p&quot; <br /> shows &quot;r&quot;<br /> <br /> <br /> proof-<br /> have 4: &quot;q&quot; using 1 3 by (rule mp)<br /> show &quot;r&quot; using 2 4 by (rule mp)<br /> oops<br /> <br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_3:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> &quot;p ⟶ q&quot;<br /> &quot;p&quot;<br /> shows &quot;r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_4:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> p ⊢ q ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ⊢ p ⟶ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_8:<br /> &quot;p ⟶ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot; <br /> shows &quot;(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_10:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))&quot; <br /> shows &quot;r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_11:<br /> &quot;(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Conjunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> p, q ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_13:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> &quot;q&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_14:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_15:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> shows &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20:<br /> assumes &quot;p ⟶ q ∧ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;p ∧ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Disyunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> q ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes &quot;q&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ q ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> shows &quot;q ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar<br /> q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ p ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar<br /> p ∨ p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29:<br /> assumes &quot;p ∨ p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;p ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar<br /> p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar<br /> p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar<br /> p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar<br /> (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37:<br /> assumes &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 38. Demostrar<br /> p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_38:<br /> assumes &quot;p ∨ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Negaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 39. Demostrar<br /> p ⊢ ¬¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_39:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;¬¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_40:<br /> assumes &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 41. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_41:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> shows &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p∨q, ¬q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_42:<br /> assumes &quot;p∨q&quot;<br /> &quot;¬q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p ∨ q, ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_43:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_44:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 45. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_45:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 46. Demostrar<br /> ¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_46:<br /> assumes &quot;¬(p ∨ q)&quot; <br /> shows &quot;¬p ∧ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 47. Demostrar<br /> ¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_47:<br /> assumes &quot;¬p ∧ ¬q&quot; <br /> shows &quot;¬(p ∨ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 48. Demostrar<br /> ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_48:<br /> assumes &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> shows &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 49. Demostrar<br /> ⊢ ¬(p ∧ ¬p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_49:<br /> &quot;¬(p ∧ ¬p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 50. Demostrar<br /> p ∧ ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_50:<br /> assumes &quot;p ∧ ¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 51. Demostrar<br /> ¬¬p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_51:<br /> assumes &quot;¬¬p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 52. Demostrar<br /> ⊢ p ∨ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_52:<br /> &quot;p ∨ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 53. Demostrar<br /> ⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_53:<br /> &quot;((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 54. Demostrar<br /> ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_54:<br /> assumes &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 55. Demostrar<br /> ¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_55:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 56. Demostrar<br /> ¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_56:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 57. Demostrar<br /> ¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_57:<br /> assumes &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> shows &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 58. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_58:<br /> &quot;(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> <br /> &lt;/source&gt;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_4&diff=89 Relación 4 2018-03-14T21:26:31Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> chapter {* R4: Deducción natural proposicional *}<br /> <br /> theory R4<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios<br /> usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica<br /> proposicional (sin usar el método auto).<br /> <br /> Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:<br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · notnotI: P ⟹ ¬¬ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> section {* Implicaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> p ⟶ q, p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_1: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot; and<br /> 2: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;q&quot;<br /> <br /> proof -<br /> show 1: &quot;q&quot; using 1 2 by (rule mp)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_2:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> &quot;q ⟶ r&quot;<br /> &quot;p&quot; <br /> shows &quot;r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_3:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> &quot;p ⟶ q&quot;<br /> &quot;p&quot;<br /> shows &quot;r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_4:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> p ⊢ q ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ⊢ p ⟶ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_8:<br /> &quot;p ⟶ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot; <br /> shows &quot;(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_10:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))&quot; <br /> shows &quot;r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_11:<br /> &quot;(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Conjunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> p, q ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_13:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> &quot;q&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_14:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_15:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> shows &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20:<br /> assumes &quot;p ⟶ q ∧ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;p ∧ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Disyunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> q ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes &quot;q&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ q ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> shows &quot;q ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar<br /> q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ p ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar<br /> p ∨ p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29:<br /> assumes &quot;p ∨ p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;p ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar<br /> p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar<br /> p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar<br /> p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar<br /> (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37:<br /> assumes &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 38. Demostrar<br /> p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_38:<br /> assumes &quot;p ∨ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Negaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 39. Demostrar<br /> p ⊢ ¬¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_39:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;¬¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_40:<br /> assumes &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 41. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_41:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> shows &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p∨q, ¬q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_42:<br /> assumes &quot;p∨q&quot;<br /> &quot;¬q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p ∨ q, ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_43:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_44:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 45. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_45:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 46. Demostrar<br /> ¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_46:<br /> assumes &quot;¬(p ∨ q)&quot; <br /> shows &quot;¬p ∧ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 47. Demostrar<br /> ¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_47:<br /> assumes &quot;¬p ∧ ¬q&quot; <br /> shows &quot;¬(p ∨ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 48. Demostrar<br /> ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_48:<br /> assumes &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> shows &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 49. Demostrar<br /> ⊢ ¬(p ∧ ¬p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_49:<br /> &quot;¬(p ∧ ¬p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 50. Demostrar<br /> p ∧ ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_50:<br /> assumes &quot;p ∧ ¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 51. Demostrar<br /> ¬¬p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_51:<br /> assumes &quot;¬¬p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 52. Demostrar<br /> ⊢ p ∨ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_52:<br /> &quot;p ∨ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 53. Demostrar<br /> ⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_53:<br /> &quot;((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 54. Demostrar<br /> ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_54:<br /> assumes &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 55. Demostrar<br /> ¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_55:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 56. Demostrar<br /> ¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_56:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 57. Demostrar<br /> ¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_57:<br /> assumes &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> shows &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 58. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_58:<br /> &quot;(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> <br /> &lt;/source&gt;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_4&diff=88 Relación 4 2018-03-14T21:25:44Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>&lt;source lang = &quot;isar&quot;&gt;<br /> <br /> chapter {* R4: Deducción natural proposicional *}<br /> <br /> theory R4<br /> imports Main <br /> begin<br /> <br /> text {*<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> El objetivo de esta relación es demostrar cada uno de los ejercicios<br /> usando sólo las reglas básicas de deducción natural de la lógica<br /> proposicional (sin usar el método auto).<br /> <br /> Las reglas básicas de la deducción natural son las siguientes:<br /> · conjI: ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q<br /> · conjunct1: P ∧ Q ⟹ P<br /> · conjunct2: P ∧ Q ⟹ Q <br /> · notnotD: ¬¬ P ⟹ P<br /> · notnotI: P ⟹ ¬¬ P<br /> · mp: ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q <br /> · mt: ⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F <br /> · impI: (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q<br /> · disjI1: P ⟹ P ∨ Q<br /> · disjI2: Q ⟹ P ∨ Q<br /> · disjE: ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R <br /> · FalseE: False ⟹ P<br /> · notE: ⟦¬P; P⟧ ⟹ R<br /> · notI: (P ⟹ False) ⟹ ¬P<br /> · iffI: ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q<br /> · iffD1: ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P <br /> · iffD2: ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P<br /> · ccontr: (¬P ⟹ False) ⟹ P<br /> --------------------------------------------------------------------- <br /> *}<br /> <br /> text {*<br /> Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación. *}<br /> <br /> lemma notnotI: &quot;P ⟹ ¬¬ P&quot;<br /> by auto<br /> <br /> lemma mt: &quot;⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F&quot;<br /> by auto<br /> <br /> section {* Implicaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 1. Demostrar<br /> p ⟶ q, p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_1: josrodjim2<br /> assumes 1: &quot;p ⟶ q&quot;<br /> 2: &quot;p&quot;<br /> shows &quot;q&quot;<br /> <br /> proof -<br /> show 1: &quot;q&quot; using 1 2 by (rule mp)<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 2. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_2:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> &quot;q ⟶ r&quot;<br /> &quot;p&quot; <br /> shows &quot;r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 3. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r), p ⟶ q, p ⊢ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_3:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> &quot;p ⟶ q&quot;<br /> &quot;p&quot;<br /> shows &quot;r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 4. Demostrar<br /> p ⟶ q, q ⟶ r ⊢ p ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_4:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 5. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ q ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_5:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 6. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_6:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 7. Demostrar<br /> p ⊢ q ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_7:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;q ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 8. Demostrar<br /> ⊢ p ⟶ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_8:<br /> &quot;p ⟶ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 9. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ (q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_9:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot; <br /> shows &quot;(q ⟶ r) ⟶ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 10. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s)) ⊢ r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_10:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ (r ⟶ s))&quot; <br /> shows &quot;r ⟶ (q ⟶ (p ⟶ s))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 11. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_11:<br /> &quot;(p ⟶ (q ⟶ r)) ⟶ ((p ⟶ q) ⟶ (p ⟶ r))&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 12. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_12:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Conjunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 13. Demostrar<br /> p, q ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_13:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> &quot;q&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 14. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_14:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 15. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_15:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 16. Demostrar<br /> p ∧ (q ∧ r) ⊢ (p ∧ q) ∧ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_16:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> shows &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 17. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∧ r ⊢ p ∧ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_17:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∧ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 18. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_18:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 19. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r) ⊢ p ⟶ q ∧ r <br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_19:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q ∧ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 20. Demostrar<br /> p ⟶ q ∧ r ⊢ (p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_20:<br /> assumes &quot;p ⟶ q ∧ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ∧ (p ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 21. Demostrar<br /> p ⟶ (q ⟶ r) ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_21:<br /> assumes &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 22. Demostrar<br /> p ∧ q ⟶ r ⊢ p ⟶ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_22:<br /> assumes &quot;p ∧ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 23. Demostrar<br /> (p ⟶ q) ⟶ r ⊢ p ∧ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_23:<br /> assumes &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 24. Demostrar<br /> p ∧ (q ⟶ r) ⊢ (p ⟶ q) ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_24:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ q) ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Disyunciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 25. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_25:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 26. Demostrar<br /> q ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_26:<br /> assumes &quot;q&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 27. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ q ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_27:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> shows &quot;q ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 28. Demostrar<br /> q ⟶ r ⊢ p ∨ q ⟶ p ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_28:<br /> assumes &quot;q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ p ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 29. Demostrar<br /> p ∨ p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_29:<br /> assumes &quot;p ∨ p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 30. Demostrar<br /> p ⊢ p ∨ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_30:<br /> assumes &quot;p&quot; <br /> shows &quot;p ∨ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 31. Demostrar<br /> p ∨ (q ∨ r) ⊢ (p ∨ q) ∨ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_31:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 32. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∨ r ⊢ p ∨ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_32:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∨ r&quot; <br /> shows &quot;p ∨ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 33. Demostrar<br /> p ∧ (q ∨ r) ⊢ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_33:<br /> assumes &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 34. Demostrar<br /> (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ⊢ p ∧ (q ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_34:<br /> assumes &quot;(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ (q ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 35. Demostrar<br /> p ∨ (q ∧ r) ⊢ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_35:<br /> assumes &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot; <br /> shows &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 36. Demostrar<br /> (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ⊢ p ∨ (q ∧ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_36:<br /> assumes &quot;(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ (q ∧ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 37. Demostrar<br /> (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r) ⊢ p ∨ q ⟶ r<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_37:<br /> assumes &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot; <br /> shows &quot;p ∨ q ⟶ r&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 38. Demostrar<br /> p ∨ q ⟶ r ⊢ (p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_38:<br /> assumes &quot;p ∨ q ⟶ r&quot; <br /> shows &quot;(p ⟶ r) ∧ (q ⟶ r)&quot;<br /> oops<br /> <br /> section {* Negaciones *}<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 39. Demostrar<br /> p ⊢ ¬¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_39:<br /> assumes &quot;p&quot;<br /> shows &quot;¬¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_40:<br /> assumes &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 41. Demostrar<br /> p ⟶ q ⊢ ¬q ⟶ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_41:<br /> assumes &quot;p ⟶ q&quot;<br /> shows &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p∨q, ¬q ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_42:<br /> assumes &quot;p∨q&quot;<br /> &quot;¬q&quot; <br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 42. Demostrar<br /> p ∨ q, ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_43:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot;<br /> &quot;¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 40. Demostrar<br /> p ∨ q ⊢ ¬(¬p ∧ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_44:<br /> assumes &quot;p ∨ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 45. Demostrar<br /> p ∧ q ⊢ ¬(¬p ∨ ¬q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_45:<br /> assumes &quot;p ∧ q&quot; <br /> shows &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 46. Demostrar<br /> ¬(p ∨ q) ⊢ ¬p ∧ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_46:<br /> assumes &quot;¬(p ∨ q)&quot; <br /> shows &quot;¬p ∧ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 47. Demostrar<br /> ¬p ∧ ¬q ⊢ ¬(p ∨ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_47:<br /> assumes &quot;¬p ∧ ¬q&quot; <br /> shows &quot;¬(p ∨ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 48. Demostrar<br /> ¬p ∨ ¬q ⊢ ¬(p ∧ q)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_48:<br /> assumes &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> shows &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 49. Demostrar<br /> ⊢ ¬(p ∧ ¬p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_49:<br /> &quot;¬(p ∧ ¬p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 50. Demostrar<br /> p ∧ ¬p ⊢ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_50:<br /> assumes &quot;p ∧ ¬p&quot; <br /> shows &quot;q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 51. Demostrar<br /> ¬¬p ⊢ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_51:<br /> assumes &quot;¬¬p&quot;<br /> shows &quot;p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 52. Demostrar<br /> ⊢ p ∨ ¬p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_52:<br /> &quot;p ∨ ¬p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 53. Demostrar<br /> ⊢ ((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_53:<br /> &quot;((p ⟶ q) ⟶ p) ⟶ p&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 54. Demostrar<br /> ¬q ⟶ ¬p ⊢ p ⟶ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_54:<br /> assumes &quot;¬q ⟶ ¬p&quot;<br /> shows &quot;p ⟶ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 55. Demostrar<br /> ¬(¬p ∧ ¬q) ⊢ p ∨ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_55:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∧ ¬q)&quot;<br /> shows &quot;p ∨ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 56. Demostrar<br /> ¬(¬p ∨ ¬q) ⊢ p ∧ q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_56:<br /> assumes &quot;¬(¬p ∨ ¬q)&quot; <br /> shows &quot;p ∧ q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 57. Demostrar<br /> ¬(p ∧ q) ⊢ ¬p ∨ ¬q<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_57:<br /> assumes &quot;¬(p ∧ q)&quot;<br /> shows &quot;¬p ∨ ¬q&quot;<br /> oops<br /> <br /> text {* --------------------------------------------------------------- <br /> Ejercicio 58. Demostrar<br /> ⊢ (p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)<br /> ------------------------------------------------------------------ *}<br /> <br /> lemma ejercicio_58:<br /> &quot;(p ⟶ q) ∨ (q ⟶ p)&quot;<br /> oops<br /> <br /> end<br /> <br /> &lt;/source&gt;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_2&diff=69 Relación 2 2018-02-24T15:25:14Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 2: Deducción natural en lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 0.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → q, p → r} ⊧ p → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> [[Archivo:R2E0a.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) → r ⊧ p → (q → r)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/f6ad7b1deab0dd5ba927bcf0b0d73c6f.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/cb016e19514071b5c9240f992f970f2d.png]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/d47ef41c989cccab33908c6debdf57dc.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/3c2c9799cfa2c74230d50cb0c1542281.png]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬p ∧ ¬q ⊧ ¬(p ∨ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/700aa57e081894401d184f5797fb070d.png]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ⊧ ((p → q) → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∨ (q → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/ba9485c972e0d26a49c0502ce8d307c0.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬(¬p ∧ ¬q) ⊧ p ∨ q<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_2&diff=68 Relación 2 2018-02-23T19:33:07Z <p>Josrodjim2: /* Relación 2: Deducción natural en lógica proposicional */</p> <hr /> <div><br /> === Relación 2: Deducción natural en lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 0.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → q, p → r} ⊧ p → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> [[Archivo:R2E0a.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) → r ⊧ p → (q → r)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/f6ad7b1deab0dd5ba927bcf0b0d73c6f.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/cb016e19514071b5c9240f992f970f2d.png]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/d47ef41c989cccab33908c6debdf57dc.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/3c2c9799cfa2c74230d50cb0c1542281.png]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬p ∧ ¬q ⊧ ¬(p ∨ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/700aa57e081894401d184f5797fb070d.png]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ⊧ ((p → q) → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∨ (q → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬(¬p ∧ ¬q) ⊧ p ∨ q<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_2&diff=67 Relación 2 2018-02-23T18:31:23Z <p>Josrodjim2: /* Relación 2: Deducción natural en lógica proposicional */</p> <hr /> <div><br /> === Relación 2: Deducción natural en lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 0.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → q, p → r} ⊧ p → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> [[Archivo:R2E0a.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) → r ⊧ p → (q → r)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/f6ad7b1deab0dd5ba927bcf0b0d73c6f.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/cb016e19514071b5c9240f992f970f2d.png]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/d47ef41c989cccab33908c6debdf57dc.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/3c2c9799cfa2c74230d50cb0c1542281.png]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬p ∧ ¬q ⊧ ¬(p ∨ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ⊧ ((p → q) → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∨ (q → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬(¬p ∧ ¬q) ⊧ p ∨ q<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_2&diff=66 Relación 2 2018-02-23T18:26:34Z <p>Josrodjim2: /* Relación 2: Deducción natural en lógica proposicional */</p> <hr /> <div><br /> === Relación 2: Deducción natural en lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 0.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → q, p → r} ⊧ p → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> [[Archivo:R2E0a.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) → r ⊧ p → (q → r)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/f6ad7b1deab0dd5ba927bcf0b0d73c6f.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/cb016e19514071b5c9240f992f970f2d.png]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/d47ef41c989cccab33908c6debdf57dc.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬p ∧ ¬q ⊧ ¬(p ∨ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ⊧ ((p → q) → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∨ (q → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬(¬p ∧ ¬q) ⊧ p ∨ q<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_2&diff=65 Relación 2 2018-02-23T18:19:32Z <p>Josrodjim2: /* Relación 2: Deducción natural en lógica proposicional */</p> <hr /> <div><br /> === Relación 2: Deducción natural en lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 0.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → q, p → r} ⊧ p → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> [[Archivo:R2E0a.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) → r ⊧ p → (q → r)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/f6ad7b1deab0dd5ba927bcf0b0d73c6f.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/cb016e19514071b5c9240f992f970f2d.png]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬p ∧ ¬q ⊧ ¬(p ∨ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ⊧ ((p → q) → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∨ (q → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬(¬p ∧ ¬q) ⊧ p ∨ q<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_2&diff=64 Relación 2 2018-02-23T18:15:13Z <p>Josrodjim2: /* Relación 2: Deducción natural en lógica proposicional */</p> <hr /> <div><br /> === Relación 2: Deducción natural en lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 0.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → q, p → r} ⊧ p → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> [[Archivo:R2E0a.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) → r ⊧ p → (q → r)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> <br /> [[https://i.gyazo.com/f6ad7b1deab0dd5ba927bcf0b0d73c6f.png]]<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∧ (p → r) ⊧ p → q ∧ r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → r) ∧ (q → r) ⊧ p ∨ q → r<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : {p → r, r → ¬ q} ⊧ ¬(p ∧ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬p ∧ ¬q ⊧ ¬(p ∨ q)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ⊧ ((p → q) → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : (p → q) ∨ (q → p)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar mediante deducción natural:<br /> : ¬(¬p ∧ ¬q) ⊧ p ∨ q<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=39 Relación 1 2018-02-13T15:58:22Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> Sea S = { F1= ¬(P v ¬P), F2= P ∧ ¬P, F3= P}<br /> <br /> F3 es sastifacible I(P) = 1.<br /> <br /> Pero cualquiera de sus subformulas incluida ella misma, son inconsistente por construccion o usando el ejercicio 9 apartado primero.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y no es válida ya que puede ser falsa.<br /> <br /> josrodjim2<br /> 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> 1. Por reduccion al absurdo, supongamos que S v T es consistente.<br /> Significa que existe I modelo para todas sus formulas, pero el subconjunto de formulas T es inconsistent, por lo que no tiene modelo. Contradccion.<br /> <br /> 2. S ∩ T puede ser vacio cual es consistente.<br /> S ∩ T si no es vacio es S o un subconjunto suyo el cual es consistente por hipotesis.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> <br /> javdelcru, josrodjim2<br /> <br /> F_1 = p; F_2 = q; F_3 = ¬(p ∧ q)<br /> F_1 ∧ F_2 ∧ F_3 es insatisfacible pero dos a dos si son satisfacible.<br /> <br /> Generalizamos a n formulas <br /> F_1 = p_1, F_2=p_2 ... F_(n-1) = p_(n-1), F_n = ¬(p_1 ∧ p_2 ∧ .... ∧ p_(n-1))<br /> Igual que en el caso de 3 formulas, la conjuncion de todas en insatisfacible ya que F_n es verdadera solo si las anteriores son falsas y las conjunciones de todas menos una (k) son satisfacibles con la interpretacion I(p_t)= 1 para todos los t distintos de k y I(p_k) = 0.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> 1. Se puede escribir la formula como ¬(¬(¬P v Q) v P) v P<br /> <br /> Aplico tabla de verdad<br /> <br /> Para I(P)=1 y I(Q) cualquiera, se ve que siempre es verdad.<br /> <br /> Veamos los demas casos.<br /> <br /> I(P)=0,I(Q)=0 se tiene ¬(¬(1 v 0)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> <br /> I(P)=0,I(Q)=1 se tiene ¬(¬(1 v 1)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> <br /> Entonces la formula es tautologia.<br /> <br /> 2. Para n &gt;= 2 A(n)=p, teniendose ¬P v P cual es tautologia.</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=38 Relación 1 2018-02-13T15:56:35Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> Sea S = { F1= ¬(P v ¬P), F2= P ∧ ¬P, F3= P}<br /> <br /> F3 es sastifacible I(P) = 1.<br /> <br /> Pero cualquiera de sus subformulas incluida ella misma, son inconsistente por construccion.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y no es válida ya que puede ser falsa.<br /> <br /> josrodjim2<br /> 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> 1. Por reduccion al absurdo, supongamos que S v T es consistente.<br /> Significa que existe I modelo para todas sus formulas, pero el subconjunto de formulas T es inconsistent, por lo que no tiene modelo. Contradccion.<br /> <br /> 2. S ∩ T puede ser vacio cual es consistente.<br /> S ∩ T si no es vacio es S o un subconjunto suyo el cual es consistente por hipotesis.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> <br /> javdelcru, josrodjim2<br /> <br /> F_1 = p; F_2 = q; F_3 = ¬(p ∧ q)<br /> F_1 ∧ F_2 ∧ F_3 es insatisfacible pero dos a dos si son satisfacible.<br /> <br /> Generalizamos a n formulas <br /> F_1 = p_1, F_2=p_2 ... F_(n-1) = p_(n-1), F_n = ¬(p_1 ∧ p_2 ∧ .... ∧ p_(n-1))<br /> Igual que en el caso de 3 formulas, la conjuncion de todas en insatisfacible ya que F_n es verdadera solo si las anteriores son falsas y las conjunciones de todas menos una (k) son satisfacibles con la interpretacion I(p_t)= 1 para todos los t distintos de k y I(p_k) = 0.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> 1. Se puede escribir la formula como ¬(¬(¬P v Q) v P) v P<br /> <br /> Aplico tabla de verdad<br /> <br /> Para I(P)=1 y I(Q) cualquiera, se ve que siempre es verdad.<br /> <br /> Veamos los demas casos.<br /> <br /> I(P)=0,I(Q)=0 se tiene ¬(¬(1 v 0)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> <br /> I(P)=0,I(Q)=1 se tiene ¬(¬(1 v 1)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> <br /> Entonces la formula es tautologia.<br /> <br /> 2. Para n &gt;= 2 A(n)=p, teniendose ¬P v P cual es tautologia.</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=37 Relación 1 2018-02-13T14:41:13Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y no es válida ya que puede ser falsa.<br /> <br /> josrodjim2<br /> 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> 1. Por reduccion al absurdo, supongamos que S v T es consistente.<br /> Significa que existe I modelo para todas sus formulas, pero el subconjunto de formulas T es inconsistent, por lo que no tiene modelo. Contradccion.<br /> <br /> 2. S ∩ T puede ser vacio cual es consistente.<br /> S ∩ T si no es vacio es S o un subconjunto suyo el cual es consistente por hipotesis.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> <br /> javdelcru, josrodjim2<br /> <br /> F_1 = p; F_2 = q; F_3 = ¬(p ∧ q)<br /> F_1 ∧ F_2 ∧ F_3 es insatisfacible pero dos a dos si son satisfacible.<br /> <br /> Generalizamos a n formulas <br /> F_1 = p_1, F_2=p_2 ... F_(n-1) = p_(n-1), F_n = ¬(p_1 ∧ p_2 ∧ .... ∧ p_(n-1))<br /> Igual que en el caso de 3 formulas, la conjuncion de todas en insatisfacible ya que F_n es verdadera solo si las anteriores son falsas y las conjunciones de todas menos una (k) son satisfacibles con la interpretacion I(p_t)= 1 para todos los t distintos de k y I(p_k) = 0.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> 1. Se puede escribir la formula como ¬(¬(¬P v Q) v P) v P<br /> <br /> Aplico tabla de verdad<br /> <br /> Para I(P)=1 y I(Q) cualquiera, se ve que siempre es verdad.<br /> <br /> Veamos los demas casos.<br /> <br /> I(P)=0,I(Q)=0 se tiene ¬(¬(1 v 0)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> <br /> I(P)=0,I(Q)=1 se tiene ¬(¬(1 v 1)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> <br /> Entonces la formula es tautologia.<br /> <br /> 2. Para n &gt;= 2 A(n)=p, teniendose ¬P v P cual es tautologia.</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=36 Relación 1 2018-02-13T14:31:01Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y no es válida ya que puede ser falsa.<br /> <br /> josrodjim2<br /> 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> <br /> javdelcru, josrodjim2<br /> <br /> F_1 = p; F_2 = q; F_3 = ¬(p ∧ q)<br /> F_1 ∧ F_2 ∧ F_3 es insatisfacible pero dos a dos si son satisfacible.<br /> <br /> Generalizamos a n formulas <br /> F_1 = p_1, F_2=p_2 ... F_(n-1) = p_(n-1), F_n = ¬(p_1 ∧ p_2 ∧ .... ∧ p_(n-1))<br /> Igual que en el caso de 3 formulas, la conjuncion de todas en insatisfacible ya que F_n es verdadera solo si las anteriores son falsas y las conjunciones de todas menos una (k) son satisfacibles con la interpretacion I(p_t)= 1 para todos los t distintos de k y I(p_k) = 0.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> 1. Se puede escribir la formula como ¬(¬(¬P v Q) v P) v P<br /> <br /> Aplico tabla de verdad<br /> <br /> Para I(P)=1 y I(Q) cualquiera, se ve que siempre es verdad.<br /> <br /> Veamos los demas casos.<br /> <br /> I(P)=0,I(Q)=0 se tiene ¬(¬(1 v 0)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> <br /> I(P)=0,I(Q)=1 se tiene ¬(¬(1 v 1)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> <br /> Entonces la formula es tautologia.<br /> <br /> 2. Para n &gt;= 2 A(n)=p, teniendose ¬P v P cual es tautologia.</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=35 Relación 1 2018-02-13T14:27:53Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y no es válida ya que puede ser falsa.<br /> <br /> josrodjim2<br /> 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> <br /> javdelcru, josrodjim2<br /> <br /> F_1 = p; F_2 = q; F_3 = ¬(p ∧ q)<br /> F_1 ∧ F_2 ∧ F_3 es insatisfacible pero dos a dos si son satisfacible.<br /> <br /> Generalizamos a n formulas <br /> F_1 = p_1, F_2=p_2 ... F_(n-1) = p_(n-1), F_n = ¬(p_1 ∧ p_2 ∧ .... ∧ p_(n-1))<br /> Igual que en el caso de 3 formulas, la conjuncion de todas en insatisfacible ya que F_n es verdadera solo si las anteriores son falsas y las conjunciones de todas menos una (k) son satisfacibles con la interpretacion I(p_t)= 1 para todos los t distintos de k y I(p_k) = 0.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> 1. Se puede escribir la formula como ¬(¬(¬P v Q) v P) v P<br /> <br /> Aplico tabla de verdad<br /> <br /> Para I(P)=1 y I(Q) cualquiera, se ve que siempre es verdad.<br /> <br /> Veamos los demas casos.<br /> <br /> I(P)=0,I(Q)=0 se tiene ¬(¬(1 v 0)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> <br /> I(P)=0,I(Q)=1 se tiene ¬(¬(1 v 1)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> <br /> Entonces la formula es tautologia.</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=34 Relación 1 2018-02-13T14:27:25Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y no es válida ya que puede ser falsa.<br /> <br /> josrodjim2<br /> 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> <br /> javdelcru, josrodjim2<br /> <br /> F_1 = p; F_2 = q; F_3 = ¬(p ∧ q)<br /> F_1 ∧ F_2 ∧ F_3 es insatisfacible pero dos a dos si son satisfacible.<br /> <br /> Generalizamos a n formulas <br /> F_1 = p_1, F_2=p_2 ... F_(n-1) = p_(n-1), F_n = ¬(p_1 ∧ p_2 ∧ .... ∧ p_(n-1))<br /> Igual que en el caso de 3 formulas, la conjuncion de todas en insatisfacible ya que F_n es verdadera solo si las anteriores son falsas y las conjunciones de todas menos una (k) son satisfacibles con la interpretacion I(p_t)= 1 para todos los t distintos de k y I(p_k) = 0.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> 1. Se puede escribir la formula como ¬(¬(¬P v Q) v P) v P<br /> <br /> Aplico tabla de verdad<br /> <br /> Para I(P)=1 y I(Q) cualquiera, se ve que siempre es verdad.<br /> <br /> Veamos los demas casos.<br /> <br /> I(P)=0,I(Q)=0 se tiene ¬(¬(1 v 0)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> I(P)=0,I(Q)=1 se tiene ¬(¬(1 v 1)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> <br /> Entonces la formula es tautologia.</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=33 Relación 1 2018-02-13T14:26:55Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y no es válida ya que puede ser falsa.<br /> <br /> josrodjim2<br /> 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> <br /> javdelcru, josrodjim2<br /> <br /> F_1 = p; F_2 = q; F_3 = ¬(p ∧ q)<br /> F_1 ∧ F_2 ∧ F_3 es insatisfacible pero dos a dos si son satisfacible.<br /> <br /> Generalizamos a n formulas <br /> F_1 = p_1, F_2=p_2 ... F_(n-1) = p_(n-1), F_n = ¬(p_1 ∧ p_2 ∧ .... ∧ p_(n-1))<br /> Igual que en el caso de 3 formulas, la conjuncion de todas en insatisfacible ya que F_n es verdadera solo si las anteriores son falsas y las conjunciones de todas menos una (k) son satisfacibles con la interpretacion I(p_t)= 1 para todos los t distintos de k y I(p_k) = 0.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> <br /> 1. Se puede escribir la formula como ¬(¬(¬P v Q) v P) v P<br /> Aplico tabla de verdad<br /> Para I(P)=1 y I(Q) cualquiera, se ve que siempre es verdad.<br /> Veamos los demas casos.<br /> I(P)=0,I(Q)=0 se tiene ¬(¬(1 v 0)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> I(P)=0,I(Q)=1 se tiene ¬(¬(1 v 1)) v 0 ----&gt; ¬(¬1) v 0 ----&gt;1 v 0 ----&gt;1 es verdad<br /> Entonces la formula es tautologia.</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=32 Relación 1 2018-02-13T14:17:19Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y no es válida ya que puede ser falsa.<br /> <br /> josrodjim2<br /> 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> <br /> javdelcru, josrodjim2<br /> <br /> F_1 = p; F_2 = q; F_3 = ¬(p ∧ q)<br /> F_1 ∧ F_2 ∧ F_3 es insatisfacible pero dos a dos si son satisfacible.<br /> <br /> Generalizamos a n formulas <br /> F_1 = p_1, F_2=p_2 ... F_(n-1) = p_(n-1), F_n = ¬(p_1 ∧ p_2 ∧ .... ∧ p_(n-1))<br /> Igual que en el caso de 3 formulas, la conjuncion de todas en insatisfacible ya que F_n es verdadera solo si las anteriores son falsas y las conjunciones de todas menos una (k) son satisfacibles con la interpretacion I(p_t)= 1 para todos los t distintos de k y I(p_k) = 0.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=31 Relación 1 2018-02-13T14:12:27Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y no es válida ya que puede ser falsa.<br /> <br /> josrodjim2<br /> 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> <br /> Sea P1,P2,....,Pn-1 formulas atomicas y considero la formula Pn=¬P1<br /> <br /> P1∧P2∧....∧Pn-1 es satisfacible para I(Pi)=1 con i=1,...,n-1<br /> <br /> Pero P1∧P2∧...∧Pn es insatisfacible, pues lo es P1∧Pn que es lo mismo P1∧¬P1.<br /> Y por construccion existe solo una subformula insatisfacible P1∧Pn<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> F_1 = p; F_2 = q; F_3 = ¬(p ∧ q)<br /> F_1 ∧ F_2 ∧ F_3 es insatisfacible pero dos a dos si son satisfacible.<br /> <br /> Generalizamos a n formulas <br /> F_1 = p_1, F_2=p_2 ... F_(n-1) = p_(n-1), F_n = ¬(p_1 ∧ p_2 ∧ .... ∧ p_(n-1))<br /> Igual que en el caso de 3 formulas, la conjuncion de todas en insatisfacible ya que F_n es verdadera solo si las anteriores son falsas y las conjunciones de todas menos una (k) son satisfacibles con la interpretacion I(p_t)= 1 para todos los t distintos de k y I(p_k) = 0.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=30 Relación 1 2018-02-13T14:11:40Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y no es válida ya que puede ser falsa.<br /> <br /> josrodjim2<br /> 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; josrodjim2<br /> Sea P1,P2,....,Pn-1 formulas atomicas y considero la formula Pn=¬P1<br /> P1∧P2∧....∧Pn-1 es satisfacible para I(Pi)=1 con i=1,...,n-1<br /> Pero P1∧P2∧...∧Pn es insatisfacible, pues lo es P1∧Pn que es lo mismo P1∧¬P1.<br /> Y por construccion existe solo una subformula insatisfacible P1∧Pn<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> F_1 = p; F_2 = q; F_3 = ¬(p ∧ q)<br /> F_1 ∧ F_2 ∧ F_3 es insatisfacible pero dos a dos si son satisfacible.<br /> <br /> Generalizamos a n formulas <br /> F_1 = p_1, F_2=p_2 ... F_(n-1) = p_(n-1), F_n = ¬(p_1 ∧ p_2 ∧ .... ∧ p_(n-1))<br /> Igual que en el caso de 3 formulas, la conjuncion de todas en insatisfacible ya que F_n es verdadera solo si las anteriores son falsas y las conjunciones de todas menos una (k) son satisfacibles con la interpretacion I(p_t)= 1 para todos los t distintos de k y I(p_k) = 0.<br /> <br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=28 Relación 1 2018-02-13T14:03:36Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y nunca es válida.<br /> <br /> josrodjim2<br /> 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=27 Relación 1 2018-02-13T14:01:33Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> javdelcru,josrodjim2<br /> <br /> 1) Falso. (p -&gt; ¬p) -&gt; p es satisfacible, pero la subformula p -&gt; ¬p no lo es<br /> 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y nunca es válida.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=24 Relación 1 2018-02-13T13:56:11Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> Si F -&gt; G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.<br /> Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1.<br /> La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=23 Relación 1 2018-02-13T13:39:11Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=22 Relación 1 2018-02-13T13:38:28Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)<br /> nv(F*G) = nv(F) + nv(G) &lt;= 2^prof(F) + 2^prof(G) &lt;= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)})<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=21 Relación 1 2018-02-13T13:31:43Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= ¬D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F) <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=20 Relación 1 2018-02-13T13:22:41Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> <br /> Caso base: F atomica. 1 = nv(F) &lt;= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.<br /> Supongo que se cumple para F y G.<br /> nv(¬F) = nv(F) &lt;= 2^prof(F) &lt;= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F) <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=19 Relación 1 2018-02-13T13:08:44Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> <br /> prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=18 Relación 1 2018-02-13T13:02:30Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=17 Relación 1 2018-02-13T13:01:01Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> [1 si F atomica<br /> nv(F)=[nv(G) si F es ¬G<br /> [nv(G)+nv(H) si F es (G*H)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=16 Relación 1 2018-02-13T12:54:32Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (A ∧ ¬B) -&gt; M. A v B. ¬B |= M<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=15 Relación 1 2018-02-13T12:50:55Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (T ∧ P) -&gt; ¬L. T |= (L -&gt; ¬P)<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=14 Relación 1 2018-02-13T12:47:32Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> (V v P) -&gt; (R ∧ F). (F v N) -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=13 Relación 1 2018-02-13T12:46:57Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> V v P -&gt; R ∧ F. F v N -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=12 Relación 1 2018-02-13T12:46:36Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D -&gt; C. ¬C |= D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> V v P -&gt; R ∧ f. F v N -&gt; A. V |= A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=11 Relación 1 2018-02-13T12:46:05Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D-&gt;C. ¬C|=D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> V v P-&gt;R ∧ f. F v N-&gt;A. V|=A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=10 Relación 1 2018-02-13T12:45:21Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D-&gt;C. ¬C|=D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> josrodjim2<br /> VvP-&gt;R∧f. FvN-&gt;A. V|=A<br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2 https://www.glc.us.es/~jalonso/LMF2018/index.php?title=Relaci%C3%B3n_1&diff=9 Relación 1 2018-02-13T12:38:36Z <p>Josrodjim2: </p> <hr /> <div>=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 1.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.&#039;&#039;<br /> &lt;/blockquote&gt; <br /> Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039; <br /> josrodjim2<br /> D-&gt;C. ¬C|=D<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 2.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 3.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 4.&#039;&#039;&#039; Formalizar el siguiente argumento <br /> &lt;blockquote&gt;<br /> &#039;&#039;En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.&#039;&#039; <br /> &lt;/blockquote&gt;<br /> Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 5.&#039;&#039;&#039; Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones<br /> <br /> * nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : nv(p → p ∨ q) = 3.<br /> * prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,<br /> : prof(p → p ∨ q) = 2.<br /> <br /> Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,<br /> : nv(F) ≤ 2^prof(F)<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 6.&#039;&#039;&#039; ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 7.&#039;&#039;&#039; ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 8.&#039;&#039;&#039; Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:<br /> <br /> # Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.<br /> # Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 9.&#039;&#039;&#039;<br /> Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes<br /> afirmaciones: <br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.<br /> * Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 10.&#039;&#039;&#039;<br /> Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea<br /> insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea<br /> satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> ----<br /> &#039;&#039;&#039;Ejercicio 11.&#039;&#039;&#039;<br /> * Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología <br /> * Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?<br /> ----<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Solución:&#039;&#039;&#039;</div> Josrodjim2