=== Relación 1: Sintaxis y semántica de la lógica proposicional ===

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'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.''
</blockquote>
Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.
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'''Solución:'''
josrodjim2, jescammor1, inmbenber

D -> C. ¬C |= ¬D

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'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.''
</blockquote>
Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.
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'''Solución:'''
josrodjim2, jescammor1

(V v P) -> (R ∧ F). (F v N) -> A. V |= A

inmbenber

(V v P) -> (R v F), (F v N) -> A |= (V -> A)
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'''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.''
</blockquote>
Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve
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'''Solución:'''
josrodjim2, jescammor1, inmbenber

(T ∧ P) -> ¬L. T |= (L -> ¬P)
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'''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.''
</blockquote>
Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.
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'''Solución:'''
josrodjim2

(A ∧ ¬B) -> M. A v B. ¬B |= M

jescammor1

(A ∧ ¬B) -> M, (A v B) |= (¬B -> M)

inmbenber

A -> (M <-> ¬B), A v B |= (¬B -> M)

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'''Ejercicio 5.''' Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones
* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
: prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,
: nv(F) ≤ 2^prof(F)
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'''Solución:'''
josrodjim2, jescammor1, inmbenber

*nv(F)= 1 si F atomica, nv(G) si F es ¬G, nv(G)+nv(H) si F es (G*H)

* prof(F)= 0 si F atomica, 1+prof(G) si F es ¬G, 1+max{prof(G),prof(H)} si F es (G*H)

* Caso base: F atomica. 1 = nv(F) <= 2^prof(F) = 2^0 = 1. Se cumple.

* Supongo que se cumple para F y G.

nv(¬F) = nv(F) <= 2^prof(F) <= 2^(1+prof(F)) = 2^prof(¬F)

nv(F*G) = nv(F) + nv(G) <= 2^prof(F) + 2^prof(G) <= 2^(1 + max{prof(F),prof(G)}) = 2^prof(F*G)

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'''Ejercicio 6.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
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'''Solución:'''
josrodjim2, jescammor1

Sea S = { F1= ¬(P v ¬P), F2= P ∧ ¬P, F3= P}

F3 es sastifacible I(P) = 1.

Pero cualquiera de sus subformulas incluida ella misma, son inconsistente por construccion o usando el ejercicio 9 apartado primero.

inmbenber

Sí, basta tomar S un conjunto que tenga una fórmula satisfacible y las otras insatisfacibles, así solo el subconjunto formado por la fórmula satisfacible es consistente. Pongamos un ejemplo: S = {F,G,H} donde F = p <-> q, G = p ^ ¬p, H = (p <-> q)^(p -> ¬q)^p. Se comprueba que F es satisfacible (un modelo es I(p)=I(q)=1) y que G y H son insatisfacibles. Se ve que de todos los subconjuntos posibles de S, el único que es consistente es S1={F}

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'''Ejercicio 7.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
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'''Solución:'''
josrodjim2, jescammor1

Si F -> G es satisfacible y F es satisfacible para el mismo modelo, entonces existe I(¬F v G) = 1, I(F)=1.

Que I(¬F v G) = 1 implica que I(¬F) = 0 o bien I(G)=1, como ya tenemos I(F) = 1. La unica posibilidad es que I(G) = 1. Por lo tanto G es satisfacible.

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'''Ejercicio 8.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
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'''Solución:'''

javdelcru, jescammor1

* 1) Falso. (p -> ¬p) -> p es satisfacible, pero la subformula p -> ¬p no lo es
* 2) Falso. Todas las formulas tienen al menos una subformula que es atómica y no es válida ya que puede ser falsa.

josrodjim2

* 1) Falso. (P ∧ ¬P) es insatisfacible, cual es una subformula de la tautologia ¬(P ∧ ¬P).

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'''Ejercicio 9.'''
Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes
afirmaciones:
* Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.
* Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.
* Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.
* Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.
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'''Solución:'''
josrodjim2

* 1. Por reducción al absurdo, supongamos que S v T es consistente.
Significa que existe I modelo para todas sus fórmulas, pero el subconjunto de formulas T es inconsistente, por lo que no tiene modelo. Contradcción.

* 2. S ∩ T puede ser vacío cual es consistente.
S ∩ T si no es vacío es S o un subconjunto suyo el cual es consistente por hipótesis.

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'''Ejercicio 10.'''
Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea
insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea
satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.
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'''Solución:'''

javdelcru, josrodjim2, jescammor1

F_1 = p; F_2 = q; F_3 = ¬(p ∧ q)
F_1 ∧ F_2 ∧ F_3 es insatisfacible pero dos a dos si son satisfacible.

Generalizamos a n formulas
F_1 = p_1, F_2=p_2 ... F_(n-1) = p_(n-1), F_n = ¬(p_1 ∧ p_2 ∧ .... ∧ p_(n-1))
Igual que en el caso de 3 formulas, la conjunción de todas en insatisfacible ya que F_n es verdadera solo si las anteriores son falsas y las conjunciones de todas menos una (k) son satisfacibles con la interpretación I(p_t)= 1 para todos los t distintos de k y I(p_k) = 0.

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'''Ejercicio 11.'''
* Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología
* Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?
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'''Solución:'''
josrodjim2

* 1. Se puede escribir la formula como ¬(¬(¬P v Q) v P) v P

Aplico tabla de verdad

Para I(P)=1 y I(Q) cualquiera, se ve que siempre es verdad.

Veamos los demas casos.

I(P)=0,I(Q)=0 se tiene ¬(¬(1 v 0)) v 0 ----> ¬(¬1) v 0 ---->1 v 0 ---->1 es verdad

I(P)=0,I(Q)=1 se tiene ¬(¬(1 v 1)) v 0 ----> ¬(¬1) v 0 ---->1 v 0 ---->1 es verdad

Entonces la formula es tautologia.

* 2. Para n >= 2 A(n)=p, teniendose ¬P v P cual es tautologia.

jescammor1

* 2. Estudiando los casos básicos podemos generalizar fácilmente. Como ya se ha dicho si I(P)=1 siempre es válida de n=1 en adelante así que nos ocupamos del caso I(P)=0. En A(1) esta interpretación nos da 1->0 independientemente del valor de Q (es decir, no es tautología). Por otro lado, A(2) nos da 0->1 en la misma interpretación, lo que nos da la tautología.

Está claro que si seguimos el proceso tenemos que A(3) no es tautología (1->0), A(4) si (0->1),... Luego es tautología para los n pares.