Relación 2b

Relación 2b: Sintaxis y semántica de la Lógica proposicional

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Ejercicio 1. Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a dos puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitación correspondiente. Se informa al prisionero que en cada una de las habitaciones puede haber un tigre o una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

• puerta 1: en esta habitación hay una dama y en la otra un tigre.
• puerta 2: en una de estas habitaciones hay una dama y en una de estas habitaciones

hay un tigre.

Sabiendo que uno de los carteles dice la verdad y el otro no, determinar la puerta que debe de elegir el prisionero.

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Solución:

<math>Regla \quad 1: I(Puerta \quad 1) \neq I(Puerta \quad 2)</math>
<math>Regla \quad 2: \exists x=1,2 \quad : \quad I(Puerta \quad x) =1</math>
<math>I(Puerta \quad 1) = 1 \rightarrow I(Puerta \quad 2) = 1 \rightarrow \leftarrow \quad (R1) </math>
<math>\rightarrow I(Puerta \quad 1) = 0\rightarrow I(Puerta \quad 2) =1</math>
Luego, hay que entrar en la puerta 2.

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Ejercicio 2.

Sean S y T conjuntos de fórmulas. Demostrar o refutar las siguientes afirmaciones:

• Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∪ T es inconsistente.
• Si S es consistente y T es inconsistente, entonces S ∩ T es consistente.

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Solución: Probemos la primera afirmación:

Sea S = {F₁,F₂..Fn} y T = {G₁,G₂..Gn}

Sabemos que un conjunto de fórmulas es consistente syss existe un modelo para la conjuncion de todas sus formulas Por tanto como T es inconsistente G₁∧G₂∧...∧Gn no tienes modelos es decir I(G₁∧G₂∧...∧Gn)= Para cualquier I Como (S ∪ T)<math>\equiv</math>(F₁∧F₂∧..∧Fn∧G₁∧G₂∧..∧Gn) =(F₁∧F₂∧..∧Fn)∧(G₁∧G₂∧..∧Gn) no existe modelo para (F₁∧F₂∧..∧Fn)∧(G₁∧G₂∧..∧Gn), lo que implica que S ∪ T es inconsistente Q.E.D

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Ejercicio 3.

Da un ejemplo de tres fórmulas F₁ , F₂ , y F₃ tales que F₁ ∧ F₂ ∧ F₃ sea insatisfactible y donde cualquier conjunción de todas ellas menos una sea satisfactible. Generalízalo a n fórmulas.

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Solución:

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Ejercicio 4.

• Probar que la fórmula (((p → q) → p) → p) es una tautología
• Si definimos recursivamente A(0) = (p → q) y A(n+1) = (A(n) → p), ¿para qué valores de n es A es una tautología?

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Solución: