Relación 1

<source lang = "haskell"> -- LMF 2015-16: Rel_1.hs -- Introducción a la programación con Haskell. -- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A. -- Universidad de Sevilla -- =====================================================================

-- --------------------------------------------------------------------- -- Introducción -- -- ---------------------------------------------------------------------

-- En esta relación de ejercicios hacemos una introducción a Haskell, en -- la que se recuerdan: -- * las definiciones elementales de funciones, -- * las definiciones de funciones por comprensión, -- * las definiciones de funciones por recursión y -- * los tipos de datos.

-- --------------------------------------------------------------------- -- Importación de librerías auxiliares -- ---------------------------------------------------------------------

import Test.QuickCheck import Data.Char import Control.Monad

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 1. Definir la función media3 tal que (media3 x y z) es -- la media aritmética de los números x, y y z. Por ejemplo, -- media3 1 3 8 == 4.0 -- media3 (-1) 0 7 == 2.0 -- media3 (-3) 0 3 == 0.0 -- ---------------------------------------------------------------------

media3 :: Float -> Float -> Float -> Float media3 x y z = (x+y+z)/3

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 2. Definir la función ultimaCifra tal que (ultimaCifra x) -- es la última cifra del nímero x. Por ejemplo, -- ultimaCifra 325 == 5 -- ---------------------------------------------------------------------

ultimaCifra :: Integer -> Integer ultimaCifra x = abs(rem x 10)

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 3. Definir la función rota tal que (rota n xs) es la lista -- obtenida poniendo los n primeros elementos de xs al final de la -- lista. Por ejemplo, -- rota 1 [3,2,5,7] == [2,5,7,3] -- rota 2 [3,2,5,7] == [5,7,3,2] -- rota 3 [3,2,5,7] == [7,3,2,5] -- ---------------------------------------------------------------------

rota :: Int -> [a] -> [a] rota n xs | n < length xs = (drop n xs)++(take n xs)

         |otherwise = rota ( mod n (length xs)) xs 

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.1. La disyunción excluyente xor de dos fórmulas se -- verifica si una es verdadera y la otra es falsa. -- -- Definir la función xor_1 que calcule la disyunción excluyente a -- partir de la tabla de verdad. Usar 4 ecuaciones, una por cada línea -- de la tabla. -- ---------------------------------------------------------------------

xor_1 :: Bool -> Bool -> Bool xor_1 True True = False xor_1 True False = True xor_1 False True = True xor_1 False False = False

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.2. Definir la función xor_2 que calcule la disyunción -- excluyente a partir de la tabla de verdad y patrones. Usar 2 -- ecuaciones, una por cada valor del primer argumento. -- ---------------------------------------------------------------------

xor_2 :: Bool -> Bool -> Bool xor_2 True q = not q xor_2 False q = q -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.3. Definir la función xor_3 que calcule la disyunción -- excluyente a partir de la disyunción (||), conjunción (&&) y negación -- (not). Usar 1 ecuación. -- ---------------------------------------------------------------------

xor_3 :: Bool -> Bool -> Bool xor_3 p q = (p && (not q)) || ((not p) && q)

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 4.4. Definir la función xor_4 que calcule la disyunción -- excluyente a partir de desigualdad (/=). Usar 1 ecuación. -- ---------------------------------------------------------------------

xor_4 :: Bool -> Bool -> Bool xor_4 p q = p /= q

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 5. Definir, por comprensión, la función -- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer -- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los -- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + 100^2. Por ejemplo, -- sumaDeCuadrados 3 == 14 -- sumaDeCuadrados 100 == 338350 -- ---------------------------------------------------------------------

sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer sumaDeCuadrados n = sum (map (^2) [1..n])

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 6. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si -- x^2 + y^2 = z^2. Usando una lista por comprensión, definir la función -- pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)] -- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas -- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo, -- *Main> pitagoricas 10 -- [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)] -- --------------------------------------------------------------------- pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)] pitagoricas n = [(a,b,c)|a<-[1..n],b<-[1..n], c<-[1..n], a^2 + b^2==c^2]

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 7. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de -- sus factores, excluyendo el propio número. Usando una lista por -- comprensión y la función factores (del tema), definir la función -- perfectos :: Int -> [Int] -- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos -- menores que n. Por ejemplo: -- *Main> perfectos 500 -- [6,28,496] -- --------------------------------------------------------------------- factores :: Int -> [Int] factores n = [x|x<-[1..(div n 2)], mod n x ==0] perfectos :: Int -> [Int] perfectos n = [x|x<-[1..n], sum (factores x)== x]

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.1. Definir, por comprensión, la función -- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (cuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por -- ejemplo, -- cuadradosC [1,2,3] == [1,4,9] -- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosC :: [Integer] -> [Integer] cuadradosC xs= [y^2| y<-xs]

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 8.2. Definir, por recursión, la función -- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (cuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por -- ejemplo, -- cuadradosR [1,2,3] == [1,4,9] -- ---------------------------------------------------------------------

cuadradosR :: [Integer] -> [Integer] cuadradosR [] = [] cuadradoR (x:xs) = [x^2] ++ cuadradosR xs

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.1. Definir, por comprensión, la función -- imparesC :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesC xs) es la lista de los números impares de xs. Por -- ejemplo, -- imparesC [1,2,3] == [1,3] -- ---------------------------------------------------------------------

imparesC :: [Integer] -> [Integer] imparesC xs = [x|x<-xs, odd x] -- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 9.2. Definir, por recursión, la función -- imparesR :: [Integer] -> [Integer] -- tal que (imparesR xs) es la lista de los números impares de xs. Por -- ejemplo, -- imparesR [1,2,3] == [1,3] -- ---------------------------------------------------------------------

imparesR :: [Integer] -> [Integer] imparesR []= [] imparesR (x:xs) | odd x= x: (imparesR xs)

               | otherwise = imparesR xs

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función -- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int] -- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos -- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo, -- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7] -- sumaConsecutivos [3] == [] -- ---------------------------------------------------------------------

sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int] sumaConsecutivos xs = zipWith (+) xs (tail xs)

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 11. La distancia de Hamming entre dos listas es el número -- de posiciones en que los correspondientes elementos son -- distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba" -- es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos -- correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª). -- -- Definir la función distancia tal que (distancia xs ys) es la -- distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo, -- distancia "romano" "comino" == 2 -- distancia "romano" "camino" == 3 -- distancia "roma" "comino" == 2 -- distancia "roma" "camino" == 3 -- distancia "romano" "ron" == 1 -- distancia "romano" "cama" == 2 -- distancia "romano" "rama" == 1 -- ---------------------------------------------------------------------

distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int distancia [] _ = 0 distancia _ [] = 0 distancia (x:xs) (y:ys) | x==y= distancia xs ys

                       |otherwise = 1 + distancia xs ys

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 12. Definir la función -- factoriales :: [Integer] -- tal que factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo, -- take 10 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880] -- ---------------------------------------------------------------------

-- Por comprensión:

factoriales1 :: [Integer] factoriales1 = 1:[factorial x|x<-[1..]] factorial x = product[1..x]

--otra forma sin necesidad de añadir el 1 a la lista

factoriales1 :: [Integer] factoriales1 = [product [1..n]|n<-[0..]]

-- Usando zipWith:

factoriales2 :: [Integer] factoriales2 = 1: zipWith (*) [1..] factoriales2

-- Por recursión:

factoriales3 :: [Integer] factoriales3 = 1: (aux 1 [1..])

   where aux n (x:xs) = (n*x):(aux (n*x) xs)

--otra forma factoriales3 :: [Integer] factoriales3 = aux (1,1)

    where aux (x,y) = x: aux (x*y,y+1)

-- Usando scanl1:

factoriales4 :: [Integer] factoriales4 = 1:scanl1 (*) [1..]

-- Usando iterate:

factoriales5 :: [Integer] factoriales5 = map snd aux

       where aux = iterate aux2 (1,1) where aux2 (x,y) = (x+1,x*y)

--otra forma factoriales5 :: [Integer] factoriales5 = map (fst) (iterate (\(x,y)->(x*y,y+1)) (1,1))

-- Comparación de los tiempos de evaluación: -- *Main> :set +s -- take 100 factoriales1 -> (0.20 secs, 0 bytes) -- take 100 factoriales2 -> (0.05 secs, 0 bytes) -- take 100 factoriales3 -> (0.02 secs, 0 bytes) -- take 100 factoriales4 -> (0.00 secs, 20,605,760 bytes) -- take 100 factoriales5 -> (0.02 secs, 0 bytes)

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.0. En los siguientes ejercicios se demostrarán -- propiedades de los árboles binarios definidos como sigue -- data Arbol a = Hoja -- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a) -- deriving (Show, Eq) -- Como ejemplos se usarán los árboles -- ---------------------------------------------------------------------

data Arbol a = Hoja

            | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
            deriving (Show, Eq)

arbol_1 = Nodo 9

              (Nodo 3 
                    (Nodo 2 Hoja Hoja) 
                    (Nodo 4 Hoja Hoja)) 
              (Nodo 7 Hoja Hoja)

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.1. Definir la función -- espejo :: Arbol a -> Arbol a -- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo, -- *Main> espejo arbol_1 -- Nodo 9 -- (Nodo 7 Hoja Hoja) -- (Nodo 3 -- (Nodo 4 Hoja Hoja) -- (Nodo 2 Hoja Hoja)) -- ---------------------------------------------------------------------

espejo :: Arbol a -> Arbol a espejo Hoja = Hoja espejo (Nodo a i d) = Nodo a (espejo d) (espejo i)

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.2. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x, -- espejo (espejo x) = x -- ---------------------------------------------------------------------

prop_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_espejo x = espejo (espejo x) == x

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.3. Demostrar por inducción que para todo árbol x, -- espejo (espejo x) = x -- --------------------------------------------------------------------- {- -- Demostración por inducción en x -- Caso base: El árbol es una Hoja. Por definición de espejo, espejo Hoja = Hoja, luego espejo (espejo Hoja) = Hoja. -- Caso inductivo: El árbol tiene profundidad n. Se supone cierto que para este árbol se verifica que espejo (espejo x) = x -- Demostración para un árbol de profundidad (n+1). Este árbol es de la forma (Nodo a i d) donde i, d son árboles de profundidad igual o menor -- que n. -- espejo (espejo (Nodo a i d)) = espejo (Nodo a (espejo d) (espejo i)) = Nodo a (espejo(espejo i)) (espejo(espejo d)) por definición de la -- función espejo. Por hipótesis de inducción espejo(espejo i) = i y espejo(espejo d) = d, y queda demostrado. -}

-- ---------------------------------------------------------------------

-- Ejercicio 13.4. Definir la función -- preorden :: Arbol a -> [a] -- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido -- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raíz del árbol, a -- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el -- subárbol derecho. Por ejemplo, -- *Main> arbol_1 -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- *Main> preorden arbol_1 -- [9,3,2,4,7] -- ---------------------------------------------------------------------

preorden :: Arbol a -> [a] preorden Hoja = [] preorden (Nodo a i d)= a:(preorden i)++(preorden d)

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.5. Definir la función -- postorden :: Arbol a -> [a] -- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido -- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol -- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raíz -- del árbol. Por ejemplo, -- *Main> arbol_1 -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- *Main> postorden arbol_1 -- [2,4,3,7,9] -- ---------------------------------------------------------------------

postorden :: Arbol a -> [a] postorden Hoja = [] postorden (Nodo a i d) = (postorden i)++(postorden d)++[a]

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.6. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x, -- postorden (espejo x) = reverse (preorden x) -- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool prop_recorrido x = postorden (espejo x) == reverse (preorden x)

-- La comprobación es

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.7. Demstrar por inducción que para todo árbol x, -- postorden (espejo x) = reverse (preorden x) -- ---------------------------------------------------------------------

{-

Demostración por inducción en x.

-}

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario -- x, se tiene que -- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x -- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_reverse_preorden_espejo x =

  reverse (preorden (espejo x)) == postorden x

-- La comprobación es -- *Main> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo -- OK, passed 100 tests.

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que -- reverse (preorden (espejo x)) = preorden x -- ---------------------------------------------------------------------

{-

Demostración:
   reverse (preorden (espejo x))
   = postorden (espejo (espejo x))    [por ejercicio 13.7]
   = postorden x                      [por ejercicio 13.3]

-}

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.10. Definir la función -- nNodos :: Arbol a -> Int -- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo, -- *Main> arbol_1 -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- *Main> nNodos arbol_1 -- 5 -- ---------------------------------------------------------------------

nNodos :: Arbol a -> Int nNodos = undefined

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.11. Comprobar con QuickCheck que el número de nodos de la -- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del -- árbol. -- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool prop_nNodos_espejo = undefined

-- La comprobación es

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la -- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del -- árbol. -- ---------------------------------------------------------------------

{-

Demostración: 

-}

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista -- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número -- de nodos del árbol. -- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool prop_length_preorden = undefined

-- La comprobación es

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista -- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número -- de nodos del árbol. -- ---------------------------------------------------------------------

{-

Demostración: 

-}

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.15. Definir la función -- profundidad :: Arbol a -> Int -- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo, -- *Main> arbol_1 -- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja) -- *Main> profundidad arbol_1 -- 3 -- ---------------------------------------------------------------------

profundidad :: Arbol a -> Int profundidad = undefined

-- --------------------------------------------------------------------- -- Ejercicio 13.16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario -- x, se tiene que -- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1 -- ---------------------------------------------------------------------

-- La propiedad es prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool prop_nNodosProfundidad = undefined

-- La comprobación es

-- --------------------------------------------------------------------- -- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se -- utilizará el siguiente generador. -- ---------------------------------------------------------------------

instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where

 arbitrary = sized arbol
   where
     arbol 0       = return Hoja 
     arbol n | n>0 = oneof [return Hoja,
                            liftM3 Nodo arbitrary subarbol subarbol]
                     where subarbol = arbol (div n 2)

</haskell>