Edición de «Relación 2a» - Lógica Matemática y fundamentos (2015-16)

<source lang = "haskell">

-- SintaxisSemanticaProp.hs
-- Lógica proposicional: Sintaxis y semántica
-- José A. Alonso Jiménez <jalonso@us.es>
-- ---------------------------------------------------------------------
 
module SintaxisSemantica where
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Librerías auxiliares                                               --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
import Data.List 
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Gramática de fórmulas prosicionales                                --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1: Definir los siguientes tipos de datos:
-- * SímboloProposicional para representar los símbolos de proposiciones
-- * Prop para representar las fórmulas proposicionales usando los
--   constructores Atom, Neg, Conj, Disj, Impl y Equi para las fórmulas
--   atómicas, negaciones, conjunciones, implicaciones y equivalencias,
--   respectivamente.  
-- ---------------------------------------------------------------------
 
type SimboloProposicional = String
 
data Prop = Atom SimboloProposicional
          | Neg Prop 
          | Conj Prop Prop 
          | Disj Prop Prop 
          | Impl Prop Prop 
          | Equi Prop Prop 
          deriving (Eq,Ord)
 
instance Show Prop where
    show (Atom p)   = p
    show (Neg p)    = "no " ++ show p
    show (Conj p q) = "(" ++ show p ++ " /\\ " ++ show q ++ ")"
    show (Disj p q) = "(" ++ show p ++ " \\/ " ++ show q ++ ")"
    show (Impl p q) = "(" ++ show p ++ " --> " ++ show q ++ ")"
    show (Equi p q) = "(" ++ show p ++ " <--> " ++ show q ++ ")"
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2: Definir las siguientes fórmulas proposicionales
-- atómicas: p, p1, p2, q, r, s, t y u.
-- ---------------------------------------------------------------------
 
p, p1, p2, q, r, s, t, u :: Prop
p  = Atom "p"
p1 = Atom "p1"
p2 = Atom "p2"
q  = Atom "q"
r  = Atom "r"
s  = Atom "s"
t  = Atom "t"
u  = Atom "u"
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3: Definir la función
--    no :: Prop -> Prop
-- tal que (no f) es la negación de f.
-- ---------------------------------------------------------------------
 
no :: Prop -> Prop
no = Neg
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4: Definir los siguientes operadores
--    (/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
-- tales que
--    f /\ g      es la conjunción de f y g
--    f \/ g      es la disyunción de f y g
--    f --> g     es la implicación de f a g
--    f <--> g    es la equivalencia entre f y g
-- ---------------------------------------------------------------------
 
infixr 5 \/
infixr 4 /\
infixr 3 -->
infixr 2 <-->
(/\), (\/), (-->), (<-->) :: Prop -> Prop -> Prop
(/\)   = Conj
(\/)   = Disj
(-->)  = Impl
(<-->) = Equi
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de una fórmula                            --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5: Definir la función
--    símbolosPropFórm :: Prop -> [Prop]
-- tal que (símbolosPropFórm f) es el conjunto formado por todos los
-- símbolos proposicionales que aparecen en f. Por ejemplo,
--    símbolosPropFórm (p /\ q --> p)  ==> [p,q]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
simbolosPropForm :: Prop -> [Prop]
simbolosPropForm (Atom f) = [(Atom f)]
simbolosPropForm (Neg f) = simbolosPropForm f
simbolosPropForm (Conj f g) = union (simbolosPropForm f) (simbolosPropForm g)
simbolosPropForm (Disj f g) = union (simbolosPropForm f) (simbolosPropForm g) 
simbolosPropForm (Impl f g) = union (simbolosPropForm f) (simbolosPropForm g)
simbolosPropForm (Equi f g) = union (simbolosPropForm f) (simbolosPropForm g)

--------------------------TIENE UN FALLO, pues devuelve una lista con simbolos repetidos... una posible solución:
--> 

eliminaRepetidos :: [Prop] -> [Prop]
eliminaRepetidos [(Atom x)] = [(Atom x)]
eliminaRepetidos xs = if (head xs) `elem`
                                           (tail xs) then
                                               eliminaRepetidos (tail
                                                                 xs)
else [head xs] ++ eliminaRepetidos (tail xs)                  


simbolosPropForm :: Prop -> [Prop]
simbolosPropForm f = reverse (eliminaRepetidos (simbolosPropFormAUX f))



simbolosPropFormAUX (Atom f) = [(Atom f)]
simbolosPropFormAUX (Neg f) = simbolosPropFormAUX f
simbolosPropFormAUX (Conj f g)= (simbolosPropFormAUX f) ++ (simbolosPropFormAUX g)
simbolosPropFormAUX (Disj f g)= (simbolosPropFormAUX f) ++ (simbolosPropFormAUX g)
simbolosPropFormAUX (Impl f g)= (simbolosPropFormAUX f) ++ (simbolosPropFormAUX g)
simbolosPropFormAUX (Equi f g)= (simbolosPropFormAUX f) ++ (simbolosPropFormAUX g)
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones                                                   --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6: Definir el tipo de datos Interpretación para
-- representar las interpretaciones como listas de fórmulas atómicas.
-- ---------------------------------------------------------------------
 
type Interpretacion = [Prop]
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Significado de una fórmula en una interpretación                   --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7: Definir la función
--    significado :: Prop -> Interpretación -> Bool
-- tal que (significado f i) es el significado de f en i. Por ejemplo,
--    significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [r]    ==>  False
--    significado ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) [p,r]  ==>  True
-- ---------------------------------------------------------------------
 
significado :: Prop -> Interpretacion -> Bool
significado (Atom f) i = (elem (Atom f) i)
significado (Neg f) i = not (significado f i)
significado (Conj f g) i = (significado f i)&&(significado g i)
significado (Disj f g) i = (significado f i)||(significado g i)
significado (Equi f g) i = (significado f i)==(significado g i)
significado (Impl f g) i 
                   |((significado f i)==True)&&((significado g i))==False=False
                   |otherwise = True


{-Otra opción:
esAtomica :: Prop -> Bool
esAtomica (Atom _) = True
esAtomica f = False
significado f y | esAtomica f = elem f y
significado (Neg x) xs = not (significado x xs)
significado (Disj x y) xs = not (all (==False) [significado  x xs,
                                                             significado
                                                             y xs])
significado (Conj x y) xs = all(==True) [significado x xs, significado y xs]
significado (Impl x y) xs |significado x xs == True && significado y xs
                            == False = False
                          |otherwise = True
significado (Equi x y) xs = significado x xs == significado y xs
-}


--otra forma mas rapida es:
significado2 :: Prop -> Interpretacion -> Bool
significado2 (Atom p) xs = elem (Atom p) xs 
significado2 (Neg p) xs = not (significado2 p xs ) 
significado2 (Conj p q) xs = (significado2 p xs) && (significado2 q xs)
significado2 (Disj p q) xs = (significado2 p xs) ||(significado2 q xs) 
significado2 (Impl p q) xs |(significado2 p xs) = (significado2 q xs)
                          |otherwise = True  
significado2 (Equi p q) xs = (significado2 p xs) == (significado2 q xs) 


-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de una fórmula                                    --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8: Definir la función
--    subconjuntos :: [a] -> [[a]]
-- tal que (subconjuntos x) es la lista de los subconjuntos de x. Por
-- ejmplo, 
--    subconjuntos "abc"  ==>  ["abc","ab","ac","a","bc","b","c",""]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
subconjuntos :: [a] -> [[a]]
subconjuntos [] = [[]]
subconjuntos (x:xs) = (map (x:) (subconjuntos xs))++(subconjuntos xs)

--otra manera:
subconjuntos1 :: [a] -> [[a]]
subconjuntos1 [] = [[]]
subconjuntos1 (x:xs)= [x:ys|ys<- subconjuntos1 xs] ++ subconjuntos1 xs

 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9: Definir la función
--    interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretación]
-- tal que (interpretacionesForm f) es la lista de todas las
-- interpretaciones de f. Por ejemplo, 
--    interpretacionesForm (p /\ q --> p)  ==>  [[p,q],[p],[q],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
interpretacionesForm :: Prop -> [Interpretacion]
interpretacionesForm f = subconjuntos (simbolosPropForm f)

{- Otra opción:
interpretacionesForm = subconjuntos.simbolosPropForm
-}
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de fórmulas                                                --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10: Definir la función
--    esModeloFormula :: Interpretacion -> Prop -> Bool
-- tal que (esModeloFormula i f) se verifica si i es un modelo de f. Por
-- ejemplo, 
--    esModeloFormula [r]   ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r))    ==>  False
--    esModeloFormula [p,r] ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r))    ==>  True
-- ---------------------------------------------------------------------
 
esModeloFormula :: Interpretacion -> Prop -> Bool
esModeloFormula i f = significado f i
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11: Definir la función
--    modelosFormula :: Prop -> [Interpretacion]
-- tal que (modelosFormula f) es la lista de todas las interpretaciones
-- de f que son modelo de F. Por ejemplo,
--    modelosFormula ((p \/ q) /\ ((no q) \/ r)) 
--    ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
modelosFormula :: Prop -> [Interpretacion]
modelosFormula f = [i|i <-(interpretacionesForm f), esModeloFormula i f]
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Fórmulas válidas, satisfacibles e insatisfacibles                  --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12: Definir la función
--    esValida :: Prop -> Bool
-- tal que (esValida f) se verifica si f es válida. Por ejemplo,
--    esValida (p --> p)                 ==>  True
--    esValida (p --> q)                 ==>  False
--    esValida ((p --> q) \/ (q --> p))  ==>  True
-- ---------------------------------------------------------------------
 
esValida :: Prop -> Bool
esValida f = null((interpretacionesForm f)\\( modelosFormula f))

{- Otra opción:
esValida f = length(modelosFormula f)==length(interpretacionesForm f)
-}

--mas corta que esta anterior tenemos :
esValida1 :: Prop -> Bool
esValida1 f = modelosFormula f == interpretacionesForm f 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13: Definir la función
--    esInsatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esInsatisfacible f) se verifica si f es insatisfacible. Por
-- ejemplo, 
--    esInsatisfacible (p /\ (no p))             ==>  True
--    esInsatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r))  ==>  False
-- ---------------------------------------------------------------------
 
esInsatisfacible :: Prop -> Bool
esInsatisfacible f = null (modelosFormula f)

{- Otra opción:
esInsatisfacible = null. modelosFormula
-}
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 14: Definir la función
--    esSatisfacible :: Prop -> Bool
-- tal que (esSatisfacible f) se verifica si f es satisfacible. Por
-- ejemplo, 
--    esSatisfacible (p /\ (no p))             ==>  False
--    esSatisfacible ((p --> q) /\ (q --> r))  ==>  True
-- ---------------------------------------------------------------------
 
esSatisfacible :: Prop -> Bool
esSatisfacible f = not( null (modelosFormula f))

{- Otra opción:
esSatisfacible  = not.esInsatisfacible 
-}
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Símbolos proposicionales de un conjunto de fórmulas                --
-- ---------------------------------------------------------------------
 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 15: Definir la función
--    unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
-- tal que (unionGeneral x) es la unión de los conjuntos de la lista de
-- conjuntos x. Por ejemplo,
--    unionGeneral []                 ==>  []
--    unionGeneral [[1]]              ==>  [1]
--    unionGeneral [[1],[1,2],[2,3]]  ==>  [1,2,3]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
unionGeneral :: Eq a => [[a]] -> [a]
unionGeneral [] = []
unionGeneral (xs:xss) = union xs (unionGeneral xss) 
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 16: Definir la función
--    simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
-- tal que (simbolosPropConj s) es el conjunto de los símbolos
-- proposiciones de s. Por ejemplo,
--    simbolosPropConj [p /\ q --> r, p --> s]  ==>  [p,q,r,s]
-- ---------------------------------------------------------------------
 
simbolosPropConj :: [Prop] -> [Prop]
simbolosPropConj s = unionGeneral [simbolosPropForm f|f<-s]

{- Otra Opción:
simbolosPropConj =nub.concat.map(simbolosPropForm) 
-}
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Interpretaciones de un conjunto de fórmulas                        --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 17: Definir la función
--    interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion]
-- tal que (interpretacionesConjunto s) es la lista de las
-- interpretaciones de s. Por ejemplo,
--    interpretacionesConjunto [p --> q, q --> r]
--    ==> [[p,q,r],[p,q],[p,r],[p],[q,r],[q],[r],[]]
-- ---------------------------------------------------------------------

interpretacionesConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion]
interpretacionesConjunto s = subconjuntos.simbolosPropConj

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Modelos de conjuntos de fórmulas                                   --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 18: Definir la función
--    esModeloConjunto :: Interpretacion -> [Prop] -> Bool
-- tal que (esModeloConjunto i s) se verifica si i es modelo de s. Por
-- ejemplo, 
--    esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
--    ==> True
--    esModeloConjunto [p,r] [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
--    ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esModeloConjunto :: Interpretacion -> [Prop] -> Bool
esModeloConjunto i s =  and [esModeloFormula i f|f<-s]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 19: Definir la función
--    modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion]
-- tal que (modelosConjunto s) es la lista de modelos del conjunto
-- s. Por ejemplo,
--    modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), q --> r]
--    ==> [[p,q,r],[p,r],[p],[q,r]]
--    modelosConjunto [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), r --> q]
--    ==> [[p,q,r],[p],[q,r]]
-- ---------------------------------------------------------------------

modelosConjunto :: [Prop] -> [Interpretacion]
modelosConjunto s = [i|i<-interpretacionesConjunto s, esModeloConjunto i s]

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Conjuntos consistentes e inconsistentes de fórmulas                --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 20: Definir la función
--    esConsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esConsistente s) se verifica si s es consistente. Por
-- ejemplo, 
--    esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]        
--    ==> True
--    esConsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]  
--    ==> False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsistente :: [Prop] -> Bool
esConsistente s = not.null.modelosConjunto

--otra seria:
esConsistente1 :: [Prop] -> Bool
esConsistente1 s = modelosConjunto s /= []


-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 21: Definir la función
--    esInconsistente :: [Prop] -> Bool
-- tal que (esInconsistente s) se verifica si s es inconsistente. Por
-- ejemplo, 
--    esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r]        
--    ==> False
--    esInconsistente [(p \/ q) /\ ((no q) \/ r), p --> r, no r]  
--    ==> True
-- ---------------------------------------------------------------------

esInconsistente :: [Prop] -> Bool
esInconsistente s = not.esConsistente
-- usando el comando null tambien lo tendriamos:
esInconsistente1 :: [Prop] -> Bool
esInconsistente1 s = null (modelosConjunto s)
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Consecuencia lógica                                                --
-- ---------------------------------------------------------------------

-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 22: Definir la función
--    esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
-- tal que (esConsecuencia s f) se verifica si f es consecuencia de
-- s. Por ejemplo,
--    esConsecuencia [p --> q, q --> r] (p --> r)  ==>  True
--    esConsecuencia [p] (p /\ q)                  ==>  False
-- ---------------------------------------------------------------------

esConsecuencia :: [Prop] -> Prop -> Bool
esConsecuencia s f = and[esModeloFormula i f|i<- modelosConjunto s]


</source>