Relación 2

2016-02-19T23:15:20Z

Soccuacre: /* Relación 1(b): Representación del conocimiento proposicional */

=== Relación 1(b): Representación del conocimiento proposicional ===

----
'''Ejercicio 1.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Siempre que un número x es divisible por 10, acaba en 0. El número x no acaba en 0. Por lo tanto, x no es divisible por 10.''
</blockquote>
Usando los símbolos D: el número es divisible por 10 y C: el número acaba en cero.
----

'''Solución:'''
<math>D \to C \qquad \lnot C \to \lnot D</math>
----
'''Ejercicio 2.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Si la válvula está abierta o la monitorización está preparada, entonces se envía una señal de reconocimiento y un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador. Si se envía un mensaje de funcionamiento al controlador del ordenador o el sistema está en estado normal, entonces se aceptan las órdenes del operador. Por lo tanto, si la válvula está abierta, entonces se aceptan las órdenes del operador.''
</blockquote>
Usando los símbolos V: La válvula está abierta, P: La monitorización está preparada, R: Envía una señal de reconocimiento, F: Envía un mensaje de funcionamiento, A: Se aceptan órdenes del operador y N: El sistema está en estado normal.
----

'''Solución:'''
<math>
(V \vee P \to R \wedge F) \quad
(F \vee N \to A) \quad \vDash V\to A</math>

----
'''Ejercicio 3.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''Cuando tanto la temperatura como la presión atmosférica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. Por lo tanto, en caso de que llueva, la presión atmosférica no permanece constante.''
</blockquote>
Usando los símbolos T: La temperatura permanece constante, P: La presión atmosférica permanece constante y L: Llueve
----

'''Solución:'''
<math> (T \wedge P) \to \lnot L \vDash L \to \lnot P </math>
Falta un detalle en la solución
<math> (T \wedge P) \to \lnot L T \vDash L \to \lnot P </math>
----
'''Ejercicio 4.''' Formalizar el siguiente argumento
<blockquote>
''En cierto experimento, cuando hemos empleado un fármaco A, el paciente ha mejorado considerablemente en el caso, y sólo en el caso, en que no se haya empleado también un fármaco B. Además, o se ha empleado el fármaco A o se ha empleado el fármaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el fármaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.''
</blockquote>
Usando los símbolos A: Hemos empleado el fármaco A, B: Hemos empleado el fármaco B y M: El paciente ha mejorado notablemente.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 5.''' Definir por recursión sobre fórmulas las siguientes funciones

* nv(F) que calcula el número variables proposicionales que ocurren en la fórmula F. Por ejemplo,
: nv(p → p ∨ q) = 3.
* prof(F) que calcula la profundidad del árbol de análisis de la fórmula F. Por ejemplo,
: prof(p → p ∨ q) = 2.

Demostrar por inducción, que para toda fórmula F,
: nv(F) ≤ 2^prof(F)
----
<math>
nv(F)=
\begin{cases}
1 \quad si \quad F Atomica \\
nv(G) \quad si \quad F= \lnot G \\
nv(G)+nv(H) \quad si \quad F=(G*H)
\end{cases}
</math>

<math>
prof(F)=
\begin{cases}
1 \quad si \quad F Atomica \\
prof(G) \quad si \quad F= \lnot G
1+ max{prof(G),prof(H)} \quad si \quad F=(G*H)
\end{cases}
</math>

Demostración por inducción: 
Se comprueba para lo que consideramos nuestro caso base, cuando F es atómica 
<math>
F \quad atomica \to nv(F)=1 \leqslant 2^{prof(F)}=2^1
</math> 
Posteriormente suponemos que la desigualdad se da para <math>nv(F) \leqslant n+1</math>, y lo comprobamos para <math>nv(F)=n+1</math>: 
<math>nv(F)=n+1 \to F=(G*H) \to n(F)=nv(G)+nv(H) \quad </math> .Pero <math>(nv(G)<n+1) \wedge (nv(H)<n+1) \to nv(F)=nv(G)+nv(H) \leqslant 2^{prof(G)}+2^{prof(H)} \leqslant 2^{prof(F)} </math>

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 6.''' ¿Existe un conjunto S de tres fórmulas tal que de todos los subconjuntos de S sólo uno es consistente?
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 7.''' ¿Es cierto que si F → G y F son satisfacibles, entonces G es satisfacible? Si es cierto, dar una explicación. Si no es cierto, dar un contraejemplo.
----

'''Solución:'''

----
'''Ejercicio 8.''' Demostrar o refutar las siguientes proposiciones:

# Si F es una fórmula satisfacible, entonces todas las subfórmulas de F son satisfacibles.
# Existen fórmulas válidas tales que todas sus subfórmulas son válidas.
----

'''Solución:'''