Ejercicio 5 (a)

header {* Examen de Lógica Matemática y Fundamentos (6 de abril de 2015) *}

theory e5_1_sol
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text {*
  Apellidos:
  Nombre: 
*} 

text {* Sustituye la palabra uvus por tu usuario de la Universidad de
  Sevilla y graba el fichero con dicho usuario .thy
*} 

text {*
  Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas
  básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los
  cuantificadores y de la igualdad: 
  · conjI:      \<lbrakk>P; Q\<rbrakk> \<Longrightarrow> P \<and> Q
  · conjunct1:  P \<and> Q \<Longrightarrow> P
  · conjunct2:  P \<and> Q \<Longrightarrow> Q  
  · notnotD:    \<not>\<not> P \<Longrightarrow> P
  · mp:         \<lbrakk>P \<longrightarrow> Q; P\<rbrakk> \<Longrightarrow> Q 
  · impI:       (P \<Longrightarrow> Q) \<Longrightarrow> P \<longrightarrow> Q
  · disjI1:     P \<Longrightarrow> P \<or> Q
  · disjI2:     Q \<Longrightarrow> P \<or> Q
  · disjE:      \<lbrakk>P \<or> Q; P \<Longrightarrow> R; Q \<Longrightarrow> R\<rbrakk> \<Longrightarrow> R 
  · FalseE:     False \<Longrightarrow> P
  · notE:       \<lbrakk>\<not>P; P\<rbrakk> \<Longrightarrow> R
  · notI:       (P \<Longrightarrow> False) \<Longrightarrow> \<not>P
  · iffI:       \<lbrakk>P \<Longrightarrow> Q; Q \<Longrightarrow> P\<rbrakk> \<Longrightarrow> P = Q
  · iffD1:      \<lbrakk>Q = P; Q\<rbrakk> \<Longrightarrow> P 
  · iffD2:      \<lbrakk>P = Q; Q\<rbrakk> \<Longrightarrow> P
  · ccontr:     (\<not>P \<Longrightarrow> False) \<Longrightarrow> P
  . excluded_middle:(\<not>P \<or> P) 

  · allE:       \<lbrakk>\<forall>x. P x; P x \<Longrightarrow> R\<rbrakk> \<Longrightarrow> R
  · allI:       (\<And>x. P x) \<Longrightarrow> \<forall>x. P x
  · exI:        P x \<Longrightarrow> \<exists>x. P x
  · exE:        \<lbrakk>\<exists>x. P x; \<And>x. P x \<Longrightarrow> Q\<rbrakk> \<Longrightarrow> Q

  · refl:       t = t
  · subst:      \<lbrakk>s = t; P s\<rbrakk> \<Longrightarrow> P t
  · trans:      \<lbrakk>r = s; s = t\<rbrakk> \<Longrightarrow> r = t
  · sym:        s = t \<Longrightarrow> t = s
  · not_sym:    t \<noteq> s \<Longrightarrow> s \<noteq> t
  · ssubst:     \<lbrakk>t = s; P s\<rbrakk> \<Longrightarrow> P t
  · box_equals: \<lbrakk>a = b; a = c; b = d\<rbrakk> \<Longrightarrow> a: = d
  · arg_cong:   x = y \<Longrightarrow> f x = f y
  · fun_cong:   f = g \<Longrightarrow> f x = g x
  · cong:       \<lbrakk>f = g; x = y\<rbrakk> \<Longrightarrow> f x = g y
*}

text {*
  Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.
  *}

lemma notnotI: "P \<Longrightarrow> \<not>\<not> P"
by auto

lemma mt: "\<lbrakk>F \<longrightarrow> G; \<not>G\<rbrakk> \<Longrightarrow> \<not>F"
by auto

lemma Ejercicio5:
  shows "(\<exists>x. \<forall>y. \<not>(P(y) \<longrightarrow> R(x,y)))  \<longrightarrow> \<not>(\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> R(x,x))"
proof (rule impI)
  assume "\<exists>x. \<forall>y. \<not>(P(y) \<longrightarrow> R(x,y))"
  then obtain a where "\<forall>y. \<not>(P(y) \<longrightarrow> R(a,y))" by (rule exE)
  show "\<not>(\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> R(x,x))"
  proof (rule notI)
     assume "\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> R(x,x)"
     then have "P(a) \<longrightarrow> R(a,a)" by (rule allE)
     have "\<not>(P(a) \<longrightarrow> R(a,a))" using `\<forall>y. \<not>(P(y) \<longrightarrow> R(a,y))` by (rule allE)
     then show False using `P(a) \<longrightarrow> R(a,a)` by (rule notE)
  qed
qed

end
De Lógica matemática y fundamentos (2014-15)
