Relación 1
De Lógica matemática y fundamentos (2014-15)
Revisión del 20:27 9 feb 2015 de Pabgermen (discusión | contribuciones)
-- LMF 2014-15: Rel_1.hs (9 de Febrero de 2015)
-- Introducción a la programación con Haskell.
-- Departamento de Ciencias de la Computación e I.A.
-- Universidad de Sevilla
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-- Introducción --
-- ---------------------------------------------------------------------
-- En esta relación de ejercicios hacemos una introducción a Haskell, en
-- la que se recuerdan:
-- * las definiciones elementales de funciones,
-- * las definiciones de funciones por comprensión,
-- * las definiciones de funciones por recursión y
-- * los tipos de datos.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Importación de librerías auxiliares
-- ---------------------------------------------------------------------
import Test.QuickCheck
import Data.Char
import Control.Monad
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 1. Definir la función media3 tal que (media3 x y z) es
-- la media aritmética de los números x, y y z. Por ejemplo,
-- media3 1 3 8 == 4.0
-- media3 (-1) 0 7 == 2.0
-- media3 (-3) 0 3 == 0.0
-- ---------------------------------------------------------------------
media3 x y z = (x+y+z)/3
Miriam R.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 2. Definir la función ultimaCifra tal que (ultimaCifra x)
-- es la última cifra del nímero x. Por ejemplo,
-- ultimaCifra 325 == 5
-- ---------------------------------------------------------------------
ultimaCifra x = rem x 10
Miriam R.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 3. Definir la función rota tal que (rota n xs) es la lista
-- obtenida poniendo los n primeros elementos de xs al final de la
-- lista. Por ejemplo,
-- rota 1 [3,2,5,7] == [2,5,7,3]
-- rota 2 [3,2,5,7] == [5,7,3,2]
-- rota 3 [3,2,5,7] == [7,3,2,5]
-- ---------------------------------------------------------------------
rota n xs= (drop n xs) ++ (take n xs)
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.1. La disyunción excluyente xor de dos fórmulas se
-- verifica si una es verdadera y la otra es falsa.
--
-- Definir la función xor_1 que calcule la disyunción excluyente a
-- partir de la tabla de verdad. Usar 4 ecuaciones, una por cada línea
-- de la tabla.
-- ---------------------------------------------------------------------
xor_1 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_1 True True = False
xor_1 True False = True
xor_1 False True = True
xor_1 False False = False
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.2. Definir la función xor_2 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la tabla de verdad y patrones. Usar 2
-- ecuaciones, una por cada valor del primer argumento.
-- ---------------------------------------------------------------------
xor_2 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_2 True x = if x then False else True
xor_2 False x = if x then True else False
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.3. Definir la función xor_3 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de la disyunción (||), conjunción (&&) y negación
-- (not). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------
xor_3 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_3 x y = (x && (not y)) || ((not x) && y)
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 4.4. Definir la función xor_4 que calcule la disyunción
-- excluyente a partir de desigualdad (/=). Usar 1 ecuación.
-- ---------------------------------------------------------------------
xor_4 :: Bool -> Bool -> Bool
xor_4 x y = x /= y
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 5. Definir, por comprensión, la función
-- sumaDeCuadrados :: Integer -> Integer
-- tal que (sumaDeCuadrados n) es la suma de los cuadrados de los
-- primeros n números; es decir, 1^2 + 2^2 + ... + 100^2. Por ejemplo,
-- sumaDeCuadrados 3 == 14
-- sumaDeCuadrados 100 == 338350
-- ---------------------------------------------------------------------
sumaDeCuadrados n = sum [x^2 | x <- [1..n]]
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 6. Una terna (x,y,z) de enteros positivos es pitagórica si
-- x^2 + y^2 = z^2. Usando una lista por comprensión, definir la función
-- pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
-- tal que (pitagoricas n) es la lista de todas las ternas pitagóricas
-- cuyas componentes están entre 1 y n. Por ejemplo,
-- *Main> pitagoricas 10
-- [(3,4,5),(4,3,5),(6,8,10),(8,6,10)]
-- ---------------------------------------------------------------------
pitagoricas :: Int -> [(Int, Int, Int)]
pitagoricas n = [(x,y,z) | x <- [1..n], y <- [1..n], z <- [1..n], x^2+y^2 == z^2]
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 7. Un entero positivo es perfecto si es igual a la suma de
-- sus factores, excluyendo el propio número. Usando una lista por
-- comprensión y la función factores (del tema), definir la función
-- perfectos :: Int -> [Int]
-- tal que (perfectos n) es la lista de todos los números perfectos
-- menores que n. Por ejemplo:
-- *Main> perfectos 500
-- [6,28,496]
-- ---------------------------------------------------------------------
perfectos :: Int -> [Int]
perfectos n = [x | x <- [1..n], esPerfecto x]
Definimos las funciones auxiliares:
factores :: Int -> [Int]
factores n = [x | x <- [1..n], n `mod` x == 0]
esPerfecto :: Int -> Bool
esPerfecto n = sum (factores n) == 2*n
También podríamos definirla como:
perfectos2 :: Int -> [Int]
perfectos2 n = filter (esPerfecto) [1..n]
Podemos comprobar que ambas definiciones son equivalentes:
prop_perfectos n = perfectos n == perfectos2 n
Si queremos podemos comparar ambos algoritmos:
*Main> perfectos 500
[6,28,496]
(1.44 secs, 15935120 bytes)
*Main> perfectos2 500
[6,28,496]
(0.22 secs, 14803544 bytes)
Es decir, el segundo es más eficiente.
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.1. Definir, por comprensión, la función
-- cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosC xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosC [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------
cuadradosC :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosC xs = [x^2 | x <- xs]
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 8.2. Definir, por recursión, la función
-- cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (cuadradosR xs) es la lista de los cuadrados de xs. Por
-- ejemplo,
-- cuadradosR [1,2,3] == [1,4,9]
-- ---------------------------------------------------------------------
cuadradosR :: [Integer] -> [Integer]
cuadradosR [] = []
cuadradosR (x:xs) = (x^2):(cuadradosR xs)
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.1. Definir, por comprensión, la función
-- imparesC :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesC xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesC [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------
imparesC :: [Integer] -> [Integer]
imparesC xs = [x | x <- xs, odd x]
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 9.2. Definir, por recursión, la función
-- imparesR :: [Integer] -> [Integer]
-- tal que (imparesR xs) es la lista de los números impares de xs. Por
-- ejemplo,
-- imparesR [1,2,3] == [1,3]
-- ---------------------------------------------------------------------
imparesR :: [Integer] -> [Integer]
imparesR [] = []
imparesR (x:xs) | odd x = x:(imparesR xs)
| otherwise = imparesR xs
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 10. Definir, por comprensión, la función
-- sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
-- tal que (sumaConsecutivos xs) es la suma de los pares de elementos
-- consecutivos de la lista xs. Por ejemplo,
-- sumaConsecutivos [3,1,5,2] == [4,6,7]
-- sumaConsecutivos [3] == []
-- ---------------------------------------------------------------------
sumaConsecutivos :: [Int] -> [Int]
sumaConsecutivos xs = [x+y | (x,y) <- zip xs (tail xs)]
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 11. La distancia de Hamming entre dos listas es el número
-- de posiciones en que los correspondientes elementos son
-- distintos. Por ejemplo, la distancia de Hamming entre "roma" y "loba"
-- es 2 (porque hay 2 posiciones en las que los elementos
-- correspondientes son distintos: la 1ª y la 3ª).
--
-- Definir la función distancia tal que (distancia xs ys) es la
-- distancia de Hamming entre xs e ys. Por ejemplo,
-- distancia "romano" "comino" == 2
-- distancia "romano" "camino" == 3
-- distancia "roma" "comino" == 2
-- distancia "roma" "camino" == 3
-- distancia "romano" "ron" == 1
-- distancia "romano" "cama" == 2
-- distancia "romano" "rama" == 1
-- ---------------------------------------------------------------------
distancia :: Eq a => [a] -> [a] -> Int
distancia xs ys = length (distanciaAux xs ys)
Definimos la función auxiliar:
distanciaAux :: Eq a => [a] -> [a] -> [Int]
distanciaAux xs [] = []
distanciaAux [] ys = []
distanciaAux (x:xs) (y:ys) | x == y =distanciaAux xs ys
| otherwise =[1]++(distanciaAux xs ys)
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 12. Definir la función
-- factoriales :: [Integer]
-- tal que factoriales es la lista de los factoriales. Por ejemplo,
-- take 10 factoriales == [1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Por comprensión:
factoriales1 :: [Integer]
factoriales1 = [1]++[product [1..n] | n <-[1..]]
Pablo José Gerlach Mena
-- Usando zipWith:
factoriales2 :: [Integer]
factoriales2 = [1]++(zipWith f [1..] [2..])
where f n y = product ([1..n]++[y])
Emilio Martinez
-- Por recursión:
factoriales3 :: [Integer]
factoriales3 = 1:(aux 1 [1..])
where aux n (x:xs)= (n*x):(aux (n*x) xs)
Emilio Martinez
-- Usando scanl1:
factoriales4 :: [Integer]
factoriales4 = scanl (*) 1 [1..]
Emilio Martinez
-- Usando iterate:
factoriales5 :: [Integer]
factoriales5 = undefined
-- Comparación de los tiempos de evaluación:
*Main> take 10 factoriales1
[1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
(0.02 secs, 0 bytes)
*Main> take 10 factoriales2
[1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800]
(0.00 secs, 0 bytes)
*Main> take 10 factoriales3
[1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
(0.00 secs, 528020 bytes)
*Main> take 10 factoriales4
[1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880]
(0.00 secs, 0 bytes)
Pablo José Gerlach Mena
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.0. En los siguientes ejercicios se demostrarán
-- propiedades de los árboles binarios definidos como sigue
-- data Arbol a = Hoja
-- | Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
-- deriving (Show, Eq)
-- Como ejemplos se usarán los árboles
-- ---------------------------------------------------------------------
data Arbol a = Hoja
| Nodo a (Arbol a) (Arbol a)
deriving (Show, Eq)
arbol_1 = Nodo 9
(Nodo 3
(Nodo 2 Hoja Hoja)
(Nodo 4 Hoja Hoja))
(Nodo 7 Hoja Hoja)
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.1. Definir la función
-- espejo :: Arbol a -> Arbol a
-- tal que (espejo x) es la imagen especular del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> espejo arbol_1
-- Nodo 9
-- (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- (Nodo 3
-- (Nodo 4 Hoja Hoja)
-- (Nodo 2 Hoja Hoja))
-- ---------------------------------------------------------------------
espejo :: Arbol a -> Arbol a
espejo Hoja = Hoja
espejo (Nodo a i d)= Nodo a (espejo d) (espejo i)
--Emilio Martinez
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.2. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------
prop_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_espejo n = (espejo . espejo) n == n
-- quickCheck prop_espejo
-- +++ OK passed 100 tests.
-- Emilio Martinez
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.3. Demostrar por inducción que para todo árbol x,
-- espejo (espejo x) = x
-- ---------------------------------------------------------------------
{-
Demostración por inducción en x
[Caso base: Hoja]
espejo (espejo Hoja) = espejo (Hoja) por definicion de espejo Hoja
espejo (Hoja) = Hoja por definicion de espejo Hoja
Luego espejo (espejo Hoja)= Hoja
qed
[Suponemos que espejo (espejo x) = x , para todo x arbol]
[Sea N a i d con i, d arboles]
espejo (espejo (N a i d))= espejo (N a (espejo d) (espejo i)) por def
espejo (N a (espejo d)(espejo i)) = N a (espejo (espejo i))
(espejo(espejo
d)) por def
como i, d son arboles por hipótesis de induccion
= N a (espejo (espejo i)) (espejo (espejo d))
= N a i d
Luego espejo (espejo (N a i d)) = N a i d.
qed
Emilio Martinez
-}
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.4. Definir la función
-- preorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (preorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- preorden del árbol x; es decir, primero visita la raÃz del árbol, a
-- continuación recorre el subárbol izquierdo y, finalmente, recorre el
-- subárbol derecho. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> preorden arbol_1
-- [9,3,2,4,7]
-- ---------------------------------------------------------------------
preorden :: Arbol a -> [a]
preorden Hoja = []
preorden (Nodo a i d)= [a]++(preorden i)++(preorden d)
--Emilio Martinez
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.5. Definir la función
-- postorden :: Arbol a -> [a]
-- tal que (postorden x) es la lista correspondiente al recorrido
-- postorden del árbol x; es decir, primero recorre el subárbol
-- izquierdo, a continuación el subárbol derecho y, finalmente, la raÃz
-- del árbol. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> postorden arbol_1
-- [2,4,3,7,9]
-- ---------------------------------------------------------------------
postorden :: Arbol a -> [a]
postorden Hoja = []
postorden (Nodo a i d)= postorden i ++ [a]++ postorden d
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.6. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (postorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------
-- La propiedad es
prop_recorrido :: Arbol Int -> Bool
prop_recorrido x = (postorden . espejo) x == (reverse . postorden) x
-- La comprobación es
--quickCheck prop_recorrido
-- +++ OK, passed 100 tests.
--Emilio Martinez Rivero
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.7. Demstrar por inducción que para todo árbol x,
-- postorden (espejo x) = reverse (preorden x)
-- ---------------------------------------------------------------------
{-
Demostración por inducción en x.
-}
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.8. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = postorden x
-- ---------------------------------------------------------------------
-- La propiedad es
prop_reverse_preorden_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_reverse_preorden_espejo x =
reverse (preorden (espejo x)) == postorden x
-- La comprobación es
-- *Main> quickCheck prop_reverse_preorden_espejo
-- OK, passed 100 tests.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.9. Demostrar que para todo árbol binario x, se tiene que
-- reverse (preorden (espejo x)) = preorden x
-- ---------------------------------------------------------------------
{-
Demostración:
reverse (preorden (espejo x))
= postorden (espejo (espejo x)) [por ejercicio 13.7]
= postorden x [por ejercicio 13.3]
-}
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.10. Definir la función
-- nNodos :: Arbol a -> Int
-- tal que (nNodos x) es el número de nodos del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> nNodos arbol_1
-- 5
-- ---------------------------------------------------------------------
nNodos :: Arbol a -> Int
nNodos Hoja = 0
nNodos (Nodo _ i d)= 1+(nNodos i)+(nNodos d)
--Emilio Martinez
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.11. Comprobar con QuickCheck que el número de nodos de la
-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del
-- árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- La propiedad es
prop_nNodos_espejo :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodos_espejo x = nNodos x == (nNodos . espejo) x
-- La comprobación es
-- quickCheck prop_nNodos_espejo
-- +++ OK, passed 100 tests.
--Emilio Martinez
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.12. Demostrar por inducción que el número de nodos de la
-- imagen especular de un árbol es el mismo que el número de nodos del
-- árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------
{-
Demostración:
-}
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.13. Comprobar con QuickCheck que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- La propiedad es
prop_length_preorden :: Arbol Int -> Bool
prop_length_preorden = undefined
-- La comprobación es
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.14. Demostrar por inducción que la longitud de la lista
-- obtenida recorriendo un árbol en sentido preorden es igual al número
-- de nodos del árbol.
-- ---------------------------------------------------------------------
{-
Demostración:
-}
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.15. Definir la función
-- profundidad :: Arbol a -> Int
-- tal que (profundidad x) es la profundidad del árbol x. Por ejemplo,
-- *Main> arbol_1
-- Nodo 9 (Nodo 3 (Nodo 2 Hoja Hoja) (Nodo 4 Hoja Hoja)) (Nodo 7 Hoja Hoja)
-- *Main> profundidad arbol_1
-- 3
-- ---------------------------------------------------------------------
profundidad :: Arbol a -> Int
profundidad Hoja = 0
profundidad (Nodo _ i d) = 1+ max(profundidad i) (profundidad d)
--Emilio Martinez
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Ejercicio 13.16. Comprobar con QuickCheck que para todo árbol binario
-- x, se tiene que
-- nNodos x <= 2^(profundidad x) - 1
-- ---------------------------------------------------------------------
-- La propiedad es
prop_nNodosProfundidad :: Arbol Int -> Bool
prop_nNodosProfundidad = undefined
-- La comprobación es
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Nota. Para comprobar propiedades de árboles con QuickCheck se
-- utilizará el siguiente generador.
-- ---------------------------------------------------------------------
instance Arbitrary a => Arbitrary (Arbol a) where
arbitrary = sized arbol
where
arbol 0 = return Hoja
arbol n | n>0 = oneof [return Hoja,
liftM3 Nodo arbitrary subarbol subarbol]
where subarbol = arbol (div n 2)