Relación 6
De Lógica matemática y fundamentos (2014-15)
Relación 6: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden
Ejercicio 1. Sea F la fórmula P(x) → P (a) , donde a es un símbolo de constante. ¿Es F satisfacible? ¿Tiene modelos? ¿Es F una fórmula válida?
Solución:
Ejercicio 2. Sea L un lenguaje de primer orden con dos símbolos de predicado, P (de aridad 1), Q (de aridad 2) y un símbolo de función, f, de aridad 1. Sea I = (U, I) la estructura dada por: U = {a, b, c, d} ; I (P) = {a, b} , I (Q) = {(a,b), (b,b), (c,b)} , I (f) = {(a,b), (b,b), (c,a), (d,c)} . Decidir cuáles de las siguientes fórmulas de L son válidas en I:
- P(x) → ∃yQ(y,x).
- ∀xQ(f(x),x).
- Q(f(x),x) → Q(x,x).
- Q(x,y) → P(x).
Solución:
Ejercicio 3. En el lenguaje con igualdad L = {a,f} , siendo f un símbolo de función de aridad 1 y a una constante, se consideran las siguientes fórmulas:
- F₁ : = ∀x[f(x) ≠ a],
- F₂ : = ∀x∀y[f(x) = f(y) → x = y],
- F₃ : = ∀x[x ≠ a → ∃y[f(y) = x]] .
Probar que ninguna de estas fórmulas es consecuencia lógica de las dos restantes.
Solución: