Relación 6
De Lógica matemática y fundamentos (2014-15)
Relación 6: Sintaxis y semántica de la Lógica de primer orden
Ejercicio 1. Sea F la fórmula P(x) → P ( a ) , donde a es un símbolo de constante. ¿Es F satisfacible? ¿Tiene modelos? ¿Es F una fórmula válida?
Solución:
Ejercicio 2. Formalizar el siguiente argumento Sea L un lenguaje de primer orden con dos símbolos de predicado, P (de aridad 1), Q (de aridad 2) y un símbolo de función, f , de aridad 1. Sea I = ( U, I ) la estructura dada por: U = { a, b, c, d } ; I ( P ) = { a, b } , I ( Q ) = {( a, b ) , ( b, b ) , ( c, b )} , I ( f ) = {( a, b ) , ( b, b ) , ( c, a ) , ( d, c )} . Decidir cuáles de las siguientes fórmulas de L son válidas en I :
- P ( x ) → ∃ yQ ( y, x ) .
- ∀ xQ ( f ( x ) , x ) .
- Q ( f ( x ) , x ) → Q ( x, x ) .
- Q ( x, y ) → P ( x ) .
Solución:
Ejercicio 3.
En el lenguaje con igualdad L = { a, f } , siendo f un símbolo de función de aridad 1 y a una constante, se consideran las siguientes fórmulas:
- F_1 : = ∀ x [ f ( x ) ≠ a ] ,
- F_2 : = ∀ x ∀ y [ f ( x ) = f ( y ) → x = y ] ,
- F_3 : = ∀ x [ x ≠ a → ∃ y [ f ( y ) = x ]] .
Probar que ninguna de estas fórmulas es consecuencia lógica de las dos restantes.
Solución: