Ejercicio 5 (a)

header {* Examen de Lógica Matemática y Fundamentos (6 de abril de 2015) *}

theory e5_1_sol
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text {*
  Apellidos:
  Nombre: 
*} 

text {* Sustituye la palabra uvus por tu usuario de la Universidad de
  Sevilla y graba el fichero con dicho usuario .thy
*} 

text {*
  Demostrar o refutar los siguientes lemas usando sólo las reglas
  básicas de deducción natural de la lógica proposicional, de los
  cuantificadores y de la igualdad: 
  · conjI:      ⟦P; Q⟧ ⟹ P ∧ Q
  · conjunct1:  P ∧ Q ⟹ P
  · conjunct2:  P ∧ Q ⟹ Q  
  · notnotD:    ¬¬ P ⟹ P
  · mp:         ⟦P ⟶ Q; P⟧ ⟹ Q 
  · impI:       (P ⟹ Q) ⟹ P ⟶ Q
  · disjI1:     P ⟹ P ∨ Q
  · disjI2:     Q ⟹ P ∨ Q
  · disjE:      ⟦P ∨ Q; P ⟹ R; Q ⟹ R⟧ ⟹ R 
  · FalseE:     False ⟹ P
  · notE:       ⟦¬P; P⟧ ⟹ R
  · notI:       (P ⟹ False) ⟹ ¬P
  · iffI:       ⟦P ⟹ Q; Q ⟹ P⟧ ⟹ P = Q
  · iffD1:      ⟦Q = P; Q⟧ ⟹ P 
  · iffD2:      ⟦P = Q; Q⟧ ⟹ P
  · ccontr:     (¬P ⟹ False) ⟹ P
  . excluded_middle:(¬P ∨ P) 

  · allE:       ⟦∀x. P x; P x ⟹ R⟧ ⟹ R
  · allI:       (⋀x. P x) ⟹ ∀x. P x
  · exI:        P x ⟹ ∃x. P x
  · exE:        ⟦∃x. P x; ⋀x. P x ⟹ Q⟧ ⟹ Q

  · refl:       t = t
  · subst:      ⟦s = t; P s⟧ ⟹ P t
  · trans:      ⟦r = s; s = t⟧ ⟹ r = t
  · sym:        s = t ⟹ t = s
  · not_sym:    t ≠ s ⟹ s ≠ t
  · ssubst:     ⟦t = s; P s⟧ ⟹ P t
  · box_equals: ⟦a = b; a = c; b = d⟧ ⟹ a: = d
  · arg_cong:   x = y ⟹ f x = f y
  · fun_cong:   f = g ⟹ f x = g x
  · cong:       ⟦f = g; x = y⟧ ⟹ f x = g y
*}

text {*
  Se usarán las reglas notnotI y mt que demostramos a continuación.
  *}

lemma notnotI: "P ⟹ ¬¬ P"
by auto

lemma mt: "⟦F ⟶ G; ¬G⟧ ⟹ ¬F"
by auto

lemma Ejercicio5:
  shows "(∃x. ∀y. ¬(P(y) ⟶ R(x,y)))  ⟶ ¬(∀x. P(x) ⟶ R(x,x))"
proof (rule impI)
  assume "∃x. ∀y. ¬(P(y) ⟶ R(x,y))"
  then obtain a where "∀y. ¬(P(y) ⟶ R(a,y))" by (rule exE)
  show "¬(∀x. P(x) ⟶ R(x,x))"
  proof (rule notI)
     assume "∀x. P(x) ⟶ R(x,x)"
     then have "P(a) ⟶ R(a,a)" by (rule allE)
     have "¬(P(a) ⟶ R(a,a))" using `∀y. ¬(P(y) ⟶ R(a,y))` by (rule allE)
     then show False using `P(a) ⟶ R(a,a)` by (rule notE)
  qed
qed

end